高中數(shù)學(xué)建模能力訓(xùn)練
——案例教學(xué)中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

王志俊 韓 苗 邵 虎 周圣武

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 221116)

1 高中數(shù)學(xué)建模的意義

高冷的數(shù)學(xué)在以一種高度抽象的形式存在的同時(shí), 又是各門科學(xué)的基礎(chǔ), 它在自然、工程、人文、社會(huì)等方面都發(fā)揮著重要的作用. 數(shù)學(xué)要走向應(yīng)用, 就必須在數(shù)學(xué)與應(yīng)用之間架設(shè)一個(gè)橋梁[1]. 將實(shí)際問(wèn)題首先轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題, 即數(shù)學(xué)模型, 然后對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解, 最后利用其結(jié)果去解決原先的實(shí)際問(wèn)題, 這個(gè)過(guò)程就稱為數(shù)學(xué)建模. 數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的必經(jīng)之路.

高中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)通常以小組為單位進(jìn)行, 這有利于培養(yǎng)學(xué)生的集體意識(shí)和分工協(xié)作精神. 活動(dòng)題目大多來(lái)自工程實(shí)際和社會(huì)生活, 沒(méi)有固定的范圍, 這有利于提高學(xué)生的文獻(xiàn)檢索能力和自學(xué)能力. 活動(dòng)所要解決的問(wèn)題除了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)外, 通常還要用到其它相關(guān)專業(yè)知識(shí)、科學(xué)計(jì)算軟件等, 這有利于發(fā)展學(xué)生不同知識(shí)的交叉融合能力與計(jì)算機(jī)編程能力. 活動(dòng)最終提交的作品一般是研究報(bào)告或小論文, 這有利于提升學(xué)生寫作與文字表述的能力. 總之, 高中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)能夠增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神, 提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì).

2 現(xiàn)狀分析

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》[2]中, 作為數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一, 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等構(gòu)成了一個(gè)有機(jī)的整體. 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系, 提升高中生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力已經(jīng)成為普通高中數(shù)學(xué)課程的基本理念之一. 許多學(xué)者在中學(xué)數(shù)學(xué)建模方面做了理論研究和大膽嘗試. 羅瓊和廖運(yùn)章[3]從數(shù)學(xué)建模的課程定位、實(shí)施策略和信息通信技術(shù)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用等方面介紹了新加坡在數(shù)學(xué)建模教育中的情況；陳呈和王金才[4]、錢月鳳[5]分別對(duì)中新和中德在數(shù)學(xué)建模的課程標(biāo)準(zhǔn)、教材處理、教學(xué)策略、評(píng)價(jià)方式等方面進(jìn)行了詳盡的比較；李明振和喻平[6]、趙思林和崔靜靜[7]分別從數(shù)學(xué)建模的背景解析和數(shù)學(xué)建模對(duì)中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響角度為我們揭示了課程實(shí)施過(guò)程中存在的問(wèn)題, 并初步探索了解決問(wèn)題的有效對(duì)策；周龍虎和劉師妤[8]、劉丹[9]分別以不等式模型和函數(shù)模型為例探求了數(shù)學(xué)建模過(guò)程中的教學(xué)思路和教學(xué)方法.特別需要指出的是, 張思明和喻運(yùn)星[10]為我們提供了12個(gè)不同類型難度適中的中學(xué)數(shù)學(xué)建模素材和案例, 并且設(shè)計(jì)了一種新穎的“使用情節(jié)”引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、啟發(fā)反思.

自上世紀(jì)80年代以來(lái), 在應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者的不懈努力下, 數(shù)學(xué)建模在高等教育領(lǐng)域取得了豐碩的成果, 數(shù)學(xué)建模課程(含數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn))及其理論研究在高校開(kāi)展得如火如荼；以全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽為代表的各類實(shí)踐活動(dòng)更是將數(shù)學(xué)建模推向了高潮, 促進(jìn)了數(shù)學(xué)與工業(yè)之間的深度融合, 為各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的許多具體問(wèn)題提供了切實(shí)可行的解決方案.

數(shù)學(xué)建模不僅僅是一種解決問(wèn)題的“套路”, 更是一種思維方式, 高中生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)水平的高低將直接影響他們未來(lái)接受高等數(shù)學(xué)教育的過(guò)程. 與國(guó)內(nèi)高校遍地開(kāi)花的景象形成對(duì)比的是, 數(shù)學(xué)建模在普通高中的開(kāi)展情況并不盡如人意, 部分高中教師進(jìn)行數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)的意愿不高, 部分學(xué)生也不愿在數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)上花費(fèi)太多時(shí)間, 這樣普通高中組織學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)的積極性也受到很大影響. 顯然造成這一現(xiàn)象的原因有很多. 數(shù)學(xué)建模的特點(diǎn)決定了僅僅從理論上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的思想和方法, 而不借助于一些案例和素材去實(shí)踐是不符合科學(xué)規(guī)律的, 我們認(rèn)為缺乏適合高中教師和學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的案例和素材是其中原因之一. 本文正是希望能夠在此方面做一點(diǎn)工作：以課標(biāo)中數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的水平劃分標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù),將五一數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的部分賽題凝練成適合高中的數(shù)學(xué)建模案例和素材, 供開(kāi)展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)時(shí)參考使用, 并期待與高中數(shù)學(xué)同行交流.

3 案例及分析

高中數(shù)學(xué)的課程包括必修課程、選擇性必修課程和選修課程三大結(jié)構(gòu). 根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn), 必修課程和選擇性必修課程均要求學(xué)生以課題研究的形式開(kāi)展數(shù)學(xué)建模主題的活動(dòng), 經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程, 撰寫研究報(bào)告并進(jìn)行評(píng)價(jià). 選修課程共分五類供學(xué)生根據(jù)個(gè)人志趣自主選擇, 其中A,B,C類課程均在不同程度上以數(shù)學(xué)建模專題作為課程內(nèi)容之一.A類課程雖然沒(méi)有明確數(shù)學(xué)建模專題, 但是要學(xué)習(xí)以線性回歸為代表的應(yīng)用統(tǒng)計(jì)類模型；B類課程側(cè)重于結(jié)合實(shí)際問(wèn)題建立一些基本的函數(shù)模型(如線性模型、二次曲線模型、指數(shù)函數(shù)模型等)；而C類課程則更側(cè)重于一些基于數(shù)學(xué)表達(dá)的經(jīng)濟(jì)模型和社會(huì)模型.

在對(duì)上述三類課程數(shù)學(xué)建模主題的側(cè)重點(diǎn)進(jìn)行分析后,我們以①宜居城市評(píng)價(jià), ②標(biāo)槍尺寸問(wèn)題, ③景區(qū)游覽路線設(shè)計(jì)作為案例, 分別從應(yīng)用統(tǒng)計(jì)類模型、函數(shù)類模型和線性規(guī)劃模型的角度進(jìn)行分析,展示數(shù)學(xué)建模思想和方法, 反映數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展和素養(yǎng)提高的影響.

3.1 宜居城市評(píng)價(jià)

案例建設(shè)宜居城市是現(xiàn)階段我國(guó)城市發(fā)展的重要目標(biāo), 是政府和城市居民密切關(guān)注的焦點(diǎn). 一座宜居的城市不僅應(yīng)具備物質(zhì)豐足、生活便利等條件, 而且應(yīng)注重人們的切身感受. ①請(qǐng)查閱相關(guān)資料和數(shù)據(jù), 篩選評(píng)價(jià)宜居城市的主要指標(biāo), 在闡述這些指標(biāo)合理性的基礎(chǔ)上建立評(píng)價(jià)宜居城市的數(shù)學(xué)模型. ②選擇6-10個(gè)規(guī)模相當(dāng)?shù)某鞘? 利用所建模型對(duì)這些城市進(jìn)行合理研究, 并給出城市宜居排名.

診斷分析該問(wèn)題是數(shù)學(xué)建模綜合評(píng)價(jià)問(wèn)題. 問(wèn)題①首先需要查找資料選擇宜居城市評(píng)價(jià)指標(biāo), 根據(jù)物質(zhì)豐足、生活便利、切身感受等信息, 我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、生態(tài)環(huán)境、教育文化、交通醫(yī)療等是幾個(gè)比較重要的影響因素. 通過(guò)數(shù)據(jù)收集、整理、分析, 可以將這些因素細(xì)化確定出若干指標(biāo). 對(duì)這些指標(biāo)進(jìn)行加權(quán)綜合是建立宜居城市評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵, 而權(quán)重的賦值科學(xué)與否對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果的合理性起著至關(guān)重要的作用. 為此, 我們應(yīng)根據(jù)自己的知識(shí)水平選擇主觀賦權(quán)或客觀賦權(quán)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià), 其中主觀賦權(quán)可以采用層次分析、綜合評(píng)分、指數(shù)加權(quán)等方法根據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行主觀判斷來(lái)確定權(quán)重, 客觀賦權(quán)則可以采用線性回歸、主成分分析、變異系數(shù)等方法根據(jù)各項(xiàng)指標(biāo)的變異系數(shù)或者指標(biāo)之間的相關(guān)關(guān)系來(lái)確定權(quán)重. 對(duì)于問(wèn)題②, 我們首先需要查找與上述指標(biāo)密切相關(guān)的所選城市的數(shù)據(jù), 筆者認(rèn)為各城市的統(tǒng)計(jì)年鑒是能夠全面系統(tǒng)反映該市國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展各方面情況的資料, 具有一定的權(quán)威性, 值得借鑒使用. 然后, 我們可以將這些查找到的數(shù)據(jù)整理分類(比如采用最小二乘法進(jìn)行聚類分析)并對(duì)應(yīng)至問(wèn)題①中的各項(xiàng)指標(biāo). 最后, 將各項(xiàng)指標(biāo)值代入到建立的模型中, 借助于統(tǒng)計(jì)軟件(如SPSS)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算, 并根據(jù)結(jié)果對(duì)所選城市宜居性排序.

小結(jié)通過(guò)對(duì)本案例分析我們發(fā)現(xiàn), 該問(wèn)題屬于數(shù)據(jù)分析, 統(tǒng)計(jì)建模問(wèn)題. 該案例的解決可以讓學(xué)生經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理過(guò)程, 理解統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的建模思路, 并從中學(xué)習(xí)到數(shù)據(jù)分析的方法, 體驗(yàn)常用統(tǒng)計(jì)軟件的使用. 這樣, 學(xué)生通過(guò)數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)事物的思維品質(zhì)得以形成, 基于應(yīng)用統(tǒng)計(jì)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的意識(shí)得以加強(qiáng), 數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)得以提升.

3.2 標(biāo)槍尺寸問(wèn)題

案例標(biāo)槍的投擲是一項(xiàng)歷史悠久的田徑比賽項(xiàng)目. 國(guó)家標(biāo)準(zhǔn) GB/T 22765-2008-標(biāo)槍規(guī)定了標(biāo)槍的分類和比賽標(biāo)槍的基本參數(shù). 表1是某型比賽標(biāo)槍的測(cè)量尺寸數(shù)據(jù), 請(qǐng)估算該型標(biāo)槍沿標(biāo)槍中軸線剖面面積、標(biāo)槍表面積和標(biāo)槍形心的位置, 其中形心是指標(biāo)槍沿中軸線剖面圖形的幾何中心.

表1 某型標(biāo)槍測(cè)量尺寸表(單位mm)

診斷分析根據(jù)該國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中的標(biāo)槍示意圖, 我們相信學(xué)生對(duì)中軸線剖面和表面的理解是明確的.這兩個(gè)面的面積可以用下面兩種方法求得. 我們可以依據(jù)尺寸表將標(biāo)槍分成若干小段, 每一小段的剖面和表面就可以分別近似成一個(gè)梯形和一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面, 因此可以用初等數(shù)學(xué)的方法通過(guò)累加得到剖面面積和表面積的近似值. 更準(zhǔn)確一點(diǎn)的, 我們可以將標(biāo)槍放至坐標(biāo)系中, 借助于Matlab擬合工具箱對(duì)尺寸數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合處理, 將標(biāo)槍剖面輪廓用多項(xiàng)式函數(shù)曲線去近似, 然后利用函數(shù)積分計(jì)算得到剖面面積和表面積. 課標(biāo)中雖然有幾何對(duì)象、位置關(guān)系等內(nèi)容, 但對(duì)于形心并無(wú)明確說(shuō)明, 在尋找標(biāo)槍形心位置之前, 我們需要準(zhǔn)確理解形心的概念, 最好能夠理解物體的形心、質(zhì)心和重心之間的聯(lián)系和區(qū)別. 由于尺寸表給出的是長(zhǎng)軸上某位置的直徑, 我們可以假設(shè)標(biāo)槍的截面是圓面, 這樣標(biāo)槍的形心一定位于中軸線上. 對(duì)于形心位置的確定, 我們也可以借鑒上述兩種處理方法, 借助于梯形、離散點(diǎn)的形心公式和Matlab求形心方法類似得到.

小結(jié)通過(guò)對(duì)本案例分析我們發(fā)現(xiàn), 該問(wèn)題既可以歸結(jié)為幾何問(wèn)題, 根據(jù)直觀圖形直接計(jì)算得出近似結(jié)果, 又可以歸結(jié)為函數(shù)模型, 擬合后利用微積分的方法探索出更好的解決方案. 另外, 該問(wèn)題還可以促使學(xué)生主動(dòng)去獲得新的知識(shí)(比如梯形的形心公式), 尋求新的方法(如擬合工具箱). 不僅如此, 該案例的解決促進(jìn)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合、分析抽象、軟件使用等能力的發(fā)展, 提升了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

3.3 景區(qū)游覽路線設(shè)計(jì)

案例某景區(qū)共有8個(gè)旅游景點(diǎn)(A-H), 任意兩個(gè)景點(diǎn)之間的最短距離如表2所示. ①請(qǐng)找出從A景點(diǎn)出發(fā), 經(jīng)過(guò)B-G所有景點(diǎn)至少1次, 最終到達(dá)H景點(diǎn)距離最短的游覽路線, 并計(jì)算該路線的長(zhǎng)度. ②游客在景區(qū)停留的時(shí)間由景點(diǎn)間步行時(shí)間、等待時(shí)間和景點(diǎn)游覽時(shí)間組成, 其中各景點(diǎn)游覽時(shí)間如表3所示. 某游客計(jì)劃以2 km/h的步行速度12:00從A景點(diǎn)出發(fā), 17:30從H景點(diǎn)離開(kāi). 請(qǐng)為該游客設(shè)計(jì)一條能游覽完全部景點(diǎn)且游覽總時(shí)間最長(zhǎng)的路線, 并計(jì)算出在每個(gè)景點(diǎn)的游覽時(shí)間.

表2 景點(diǎn)間最短距離(單位：m)

表3 各景點(diǎn)游覽時(shí)間(min)

診斷分析本案例是在給定條件下規(guī)劃游覽路線的問(wèn)題, 重點(diǎn)研究分析不同情況下的游覽路線設(shè)計(jì), 通過(guò)建立線性規(guī)劃模型進(jìn)行求解. 對(duì)于問(wèn)題①, 題目要求至少經(jīng)過(guò)每個(gè)景點(diǎn)一次情況下的最短路徑, 該問(wèn)題是一個(gè)典型的最短路問(wèn)題. 在含8個(gè)頂點(diǎn)的無(wú)向圖中求兩頂點(diǎn)之間的最短路線, 建立整數(shù)線性規(guī)劃模型, 應(yīng)用 Dijkstra 算法或遺傳算法求解此問(wèn)題, 得到按總路徑從短到長(zhǎng)的各種不同路線. 另外, 我們還可以將景點(diǎn)間的距離看成是一個(gè)8階矩陣, 通過(guò)矩陣的變換求得最短路線. 例如, 當(dāng)從景點(diǎn)A出發(fā)到景點(diǎn)B時(shí), 此時(shí)不能再到其他景點(diǎn), 可以將矩陣的第A行和第B列去掉. 問(wèn)題②是在問(wèn)題①的基礎(chǔ)上增加了景點(diǎn)開(kāi)放時(shí)間和每個(gè)景點(diǎn)游覽時(shí)長(zhǎng)限制等約束條件, 目標(biāo)是找出總游覽時(shí)間最長(zhǎng)的路線. 考慮到步行速度一定, 要使總游覽時(shí)間最長(zhǎng), 則步行時(shí)間和等待時(shí)間(注：景點(diǎn)D每整點(diǎn)開(kāi)放, 可能會(huì)產(chǎn)生等待時(shí)間)之和最短. 結(jié)合表2中各景點(diǎn)游覽時(shí)間的要求, 增加約束條件, 可以通過(guò)構(gòu)建組合優(yōu)化后的線性規(guī)劃模型進(jìn)行求解.

小結(jié)通過(guò)對(duì)本案例分析我們發(fā)現(xiàn), 若要保證整個(gè)游覽路線的距離最短, 每個(gè)景點(diǎn)只能經(jīng)過(guò)一次, 利用這一約束條件建立整數(shù)線性規(guī)劃模型有利于提高學(xué)生的分析能力和優(yōu)化能力；其次, 8個(gè)景點(diǎn)的組合結(jié)果較多, 完全枚舉費(fèi)時(shí)且耗力, 因此需借助一定的數(shù)學(xué)軟件對(duì)模型加以求解, 這能夠提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)軟件的使用能力；最后, 矩陣的概念在課標(biāo)中已有初步涉及, 本案例中的矩陣有助于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖形的抽象能力, 矩陣變換有助于加強(qiáng)對(duì)幾何和代數(shù)的理解.

4 數(shù)學(xué)建模素材

最后, 我們從五一數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽歷年賽題中凝練出4道題目素材, 其中素材1可以考慮使用統(tǒng)計(jì)類模型解決,素材2—4則更適合使用各種線性規(guī)劃或組合優(yōu)化模型.

素材1 高中生體質(zhì)健康評(píng)價(jià)

《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》是測(cè)量學(xué)生體質(zhì)健康狀況和鍛煉效果的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn). 該標(biāo)準(zhǔn)中測(cè)試指標(biāo)會(huì)隨組別的不同而發(fā)生一定的變化, 但身高、體重、肺活量、50米跑和坐位體前屈是所有組別的共性指標(biāo). 在對(duì)這些指標(biāo)進(jìn)行測(cè)試時(shí), 個(gè)別測(cè)量數(shù)據(jù)可能存在誤差, 不能反映真實(shí)水平. ①請(qǐng)分別分析體重和50米跑對(duì)體質(zhì)健康的影響；②搜集你所在班級(jí)(或年級(jí))中男生(或女生)50米跑的體測(cè)數(shù)據(jù), 建立數(shù)學(xué)模型, 檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性, 找出其中可能存在誤差的數(shù)據(jù), 并說(shuō)明理由.

素材2 木材切割方案設(shè)計(jì)

家具廠在家具加工過(guò)程中需要使用切割工具對(duì)整塊木板進(jìn)行切割以生產(chǎn)出不同規(guī)格的產(chǎn)品. 假設(shè)整塊木板的規(guī)格是3000*1500(單位：mm), 產(chǎn)品P1和P2的規(guī)格分別是373*201和406*229. 請(qǐng)?jiān)诓挥?jì)木板厚度和割縫寬度的情況下思考并分析如下問(wèn)題：①假設(shè)在一塊木板上切割產(chǎn)品P1, 請(qǐng)給出木板利用率最高(即剩余木板面積最小)的切割方案, 并計(jì)算P1的數(shù)量；②假設(shè)在一塊木板上同時(shí)切割產(chǎn)品P1和P2, 請(qǐng)給出按照木板利用率由高到低排序的前3種切割方案, 并計(jì)算P1和P2的數(shù)量；③假設(shè)要生產(chǎn)P1產(chǎn)品774件, P2產(chǎn)品1623件, 請(qǐng)問(wèn)最少需要多少塊木板？

素材3 行程優(yōu)化設(shè)計(jì)

某背包客計(jì)劃從徐州出發(fā)乘火車(含高鐵, 火車票價(jià)以中國(guó)鐵路12306網(wǎng)站公布為準(zhǔn))到常州、青島、北京、洛陽(yáng)、黃山、武漢、西安、九江等八個(gè)城市旅游, 最后回到徐州. ①請(qǐng)為背包客設(shè)計(jì)游覽全部八個(gè)城市且火車票費(fèi)用最省的行程表. ②假設(shè)該背包客只預(yù)算了2000元的火車票費(fèi)用, 請(qǐng)為背包客設(shè)計(jì)行程表使得旅游城市盡可能多.

素材4 救護(hù)車位置優(yōu)化設(shè)計(jì)

某城市的緊急服務(wù)協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)負(fù)責(zé)安排全市三輛救護(hù)車的位置, 目的是最大限度地提高緊急呼叫的居民數(shù)量, 可在8 min內(nèi)到達(dá)指定地點(diǎn). 該城市劃分為6個(gè)區(qū), 從一個(gè)區(qū)到另一個(gè)區(qū)所需的平均時(shí)間如表5, 請(qǐng)確定三輛救護(hù)車的位置使得在120電話打出8 min內(nèi)趕到救援地點(diǎn)所覆蓋的人數(shù)最多.

表4 區(qū)域人口(單位：萬(wàn)人)

表5 各個(gè)區(qū)域間平均路途時(shí)間(min)