發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量實(shí)現(xiàn)教“數(shù)”育人
——以新人教A版教材“指數(shù)函數(shù)”的教學(xué)為例

斯理炯

(浙江省杭州第二中學(xué) 310053)

以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》為依據(jù)的新教材即將于2019年下半年啟用.新課程基于新一輪課程改革“立德樹(shù)人、數(shù)學(xué)育人”的理念，充分體現(xiàn)了“一切為了學(xué)生的發(fā)展”的宗旨，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，通過(guò)落實(shí)“四基”，培養(yǎng)“四能”，達(dá)到“三會(huì)”，即“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”，著眼于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，展示了其全面的育人功能.

與人教A版原教材相比，2017版新教材會(huì)有哪些變化？我們應(yīng)如何以新教材為線索，在課堂中踐行以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)呢？筆者因?yàn)閰⑴c人教A版教材教師用書(shū)的“指數(shù)函數(shù)”示范課錄制工作，得以對(duì)新教材先睹為快，并在這堂課的教學(xué)研討中，對(duì)課堂教學(xué)中如何落實(shí)核心素養(yǎng)形成一些粗淺認(rèn)識(shí).本文對(duì)這些認(rèn)識(shí)做了梳理，呈現(xiàn)給廣大讀者，希望得到大家的批評(píng)指正.

1 新教材中“指數(shù)函數(shù)”內(nèi)容的變化

1.1 注重背景的真實(shí)性

美國(guó)著名的教育家威金斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“學(xué)校教育的目標(biāo)是使學(xué)生在真實(shí)世界能得心應(yīng)手地生活.遷移，即對(duì)理解的反映，是指能夠熟練地解決核心任務(wù)中的真實(shí)挑戰(zhàn).”新人教A版“指數(shù)函數(shù)的概念”的兩個(gè)引入問(wèn)題均來(lái)源于真實(shí)情景.

問(wèn)題1(游客人數(shù)·增長(zhǎng)模型)

隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來(lái)越多家庭的重要生活方式.由于旅游人數(shù)不斷增加，A，B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對(duì)措施，A地提高了景區(qū)門票價(jià)格，而B(niǎo)地則取消了景區(qū)門票.表格中給出了A，B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次.

表4.2-1

問(wèn)題2(考古·衰減模型)當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減(稱為衰減率)，大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

問(wèn)題1來(lái)源于杭州西湖景區(qū)取消門票以來(lái)游客數(shù)量的真實(shí)數(shù)據(jù)；問(wèn)題2來(lái)源于良渚遺址的考古發(fā)現(xiàn).這與原人教A版有較大的不同.真實(shí)的數(shù)據(jù)拉近了教材與生活間的距離，可以讓學(xué)生產(chǎn)生一種解決實(shí)際問(wèn)題的使命感，使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到“數(shù)學(xué)是有用的”.

1.2 尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

1.2.1研究順序的變化

新教材在基本初等函數(shù)的順序上作了調(diào)整，把“冪函數(shù)”提到了 “指數(shù)函數(shù)”的前面.

新教材調(diào)整后順序框圖

顯然，函數(shù)的一般概念和性質(zhì)，是指數(shù)函數(shù)研究的上位知識(shí)；指數(shù)冪及其運(yùn)算，是指數(shù)函數(shù)研究的基礎(chǔ).調(diào)整后，冪函數(shù)的研究過(guò)程和方法，可類比遷移到指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).也就是說(shuō)，在指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)的研究之前，冪函數(shù)的研究已經(jīng)提供了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

這一調(diào)整有兩方面意義：一是在“冪的運(yùn)算”中把指數(shù)的范圍很自然的從“整數(shù)指數(shù)冪”拓展到了“實(shí)數(shù)”，突破了指數(shù)函數(shù)定義域在由實(shí)際問(wèn)題引出時(shí)的“x∈R+”到“x∈R”這個(gè)難點(diǎn)；二是通過(guò)對(duì)冪函數(shù)的研究，形成了較為清晰的研究一類函數(shù)的基本套路，積累了研究一類函數(shù)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為指數(shù)函數(shù)的研究提供了思想方法的基礎(chǔ)，對(duì)降低指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)難度有很大幫助.

1.2.2注重?cái)?shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過(guò)程

愛(ài)因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要”.人教A版原教材是直接通過(guò)兩個(gè)問(wèn)題的引入得出指數(shù)函數(shù)的概念.而新教材則是“用運(yùn)算來(lái)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律”，即要求學(xué)生根據(jù)問(wèn)題1中給出的兩組數(shù)據(jù)，通過(guò)運(yùn)算探究和發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的規(guī)律.這一改變的意義在于，學(xué)生在指數(shù)函數(shù)概念的形成過(guò)程中，由原來(lái)的“被告知”轉(zhuǎn)變?yōu)椤拔野l(fā)現(xiàn)”，強(qiáng)化了用數(shù)學(xué)的方法探究現(xiàn)實(shí)事物規(guī)律的過(guò)程體驗(yàn).

1.2.3重視借助信息技術(shù)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)規(guī)律

2 新教材中“指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)”的變化

在指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的研究過(guò)程中，新教材延續(xù)了原教材由特殊到一般的探究過(guò)程，注重借助信息技術(shù)畫(huà)圖，由圖像進(jìn)行直觀想象，并通過(guò)邏輯推理進(jìn)行歸納、類比、提煉，著重培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).

2.1 明確性質(zhì)的涵義

研究性質(zhì)，首先必須明確需要研究的問(wèn)題是什么，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是如何表現(xiàn)的.由于在指數(shù)函數(shù)概念的形成過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)了解了增長(zhǎng)和衰減兩類模型，他們很容易聯(lián)想到，對(duì)指數(shù)函數(shù)的研究，可將底數(shù)分為兩類(即01)進(jìn)行研究，而且這兩類函數(shù)的增減性與底數(shù)a的取值(與1比)有關(guān).同時(shí)，也要讓學(xué)生明白，研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)既可以從代數(shù)(即數(shù)量關(guān)系)角度入手，也可以從幾何(即圖像特征)角度入手.從代數(shù)角度分析，就是從數(shù)量關(guān)系入手，用不等式、方程等為工具刻畫(huà)函數(shù)的變化規(guī)律以及特殊的取值(函數(shù)圖像過(guò)定點(diǎn)).從幾何角度分析，通過(guò)指數(shù)函數(shù)的圖像不難發(fā)現(xiàn)，指數(shù)函數(shù)圖像都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,1)，函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a的取值.而且，從位置看，指數(shù)函數(shù)的增減性取決于點(diǎn)(1，a)(自變量的值為1時(shí)，函數(shù)值為底數(shù)a)在直線y=1的上方還是下方.

2.2 明確研究性質(zhì)的方法

2.3 重視知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用

新教材“指數(shù)函數(shù)”不僅注重問(wèn)題背景的真實(shí)性，還強(qiáng)調(diào)了知識(shí)的實(shí)用性.新教材不僅對(duì)原教材例8(人口增長(zhǎng)模型)進(jìn)行了改編(改編后為例4)，還增加了例2(經(jīng)濟(jì)模型和考古模型).

例2：(1)在問(wèn)題1中，如果平均每位游客出游一次可給當(dāng)?shù)貛?lái)1000元門票之外的收入，A地景區(qū)的門票價(jià)格為150元，比較這15年間A，B兩地旅游收入變化情況.

(2)在問(wèn)題2中，某生物死亡10000年后，它體內(nèi)碳14的含量衰減為原來(lái)的百分之幾？

浙江大學(xué)劉徽教授曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：現(xiàn)代教學(xué)應(yīng)該“為真實(shí)而教，為真實(shí)而學(xué)，為真實(shí)而考”.從今年的高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ、Ⅱ卷的命題變化可以發(fā)現(xiàn)，這也是新課程理念在高考命題中的一種體現(xiàn).只有這樣才能讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)與生活密不可分，才能凸顯知識(shí)的實(shí)用價(jià)值和教育的時(shí)代力量.

3 如何在課堂教學(xué)實(shí)踐中落實(shí)核心素養(yǎng)

章建躍博士明確指出：“數(shù)學(xué)教育要著眼于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)利益，數(shù)學(xué)育人要發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，充分挖掘數(shù)學(xué)課程所蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源，圍繞學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展需要，以培育學(xué)生的理性精神、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力為核心，使學(xué)生掌握‘四基’、‘四能’，學(xué)會(huì)有邏輯地、創(chuàng)造性地思考，成為善于認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題的人才.”[1]因此，在課堂教學(xué)實(shí)踐中，我們必須積極落實(shí)新一輪課程改革“堅(jiān)持以人為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向” 的教學(xué)理念.堅(jiān)決抵制把課堂演變成以應(yīng)試為目標(biāo)的解題教學(xué)模式.

3.1 重視探索核心素養(yǎng)的培養(yǎng)途徑

3.2 突破核心素養(yǎng)的形成難點(diǎn)

“指數(shù)函數(shù)”這一節(jié)內(nèi)容的難點(diǎn)是從給出問(wèn)題中抽象出指數(shù)函數(shù)的概念、通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法從具體到一般地探索、概括指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).例如在突破“指數(shù)函數(shù)的概念”這一難點(diǎn)時(shí)，可以借助研究方法和途徑的多樣性，通過(guò)運(yùn)算來(lái)發(fā)現(xiàn)數(shù)的變化規(guī)律，利用增長(zhǎng)率和衰減率抽象出指數(shù)函數(shù)的概念.因此，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)注重對(duì)“利用運(yùn)算來(lái)發(fā)現(xiàn)代數(shù)規(guī)律”這一研究方法的引導(dǎo)，滲透數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).一方面，面對(duì)課本提供的問(wèn)題1中兩組數(shù)據(jù)的規(guī)律探究，利用第一組數(shù)據(jù)的“增長(zhǎng)量不變(定差)”的類比和遷移，突破第二組數(shù)據(jù)“增長(zhǎng)率不變(定商)”的規(guī)律發(fā)現(xiàn)；另一方面，鑒于函數(shù)模型源于生活實(shí)際，數(shù)據(jù)較多，不易處理，學(xué)生對(duì)“具體情境——發(fā)現(xiàn)問(wèn)題——數(shù)學(xué)問(wèn)題——數(shù)學(xué)表征——數(shù)學(xué)概念”這樣的抽象過(guò)程存在一定的困難(學(xué)生不習(xí)慣從運(yùn)算的角度去研究?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系，對(duì)層層遞進(jìn)的代數(shù)化過(guò)程，有一定的障礙).在具體教學(xué)過(guò)程中，借助信息技術(shù)的條件支持，利用信息技術(shù)的運(yùn)算功能和作圖功能，佐證學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象過(guò)程中的直觀想象，幫助學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)規(guī)律作出理性判斷，從而彌補(bǔ)學(xué)生在對(duì)“用運(yùn)算來(lái)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律”的認(rèn)識(shí)上存在的不足.

3.3 落實(shí)素養(yǎng)，要著眼于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展

在課堂教學(xué)中滲透核心素養(yǎng)，不僅僅是培養(yǎng)學(xué)生顯性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，更主要的是培養(yǎng)學(xué)生隱性的可持續(xù)發(fā)展的能力.英國(guó)教育家懷海特曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“教育是教人們?nèi)绾芜\(yùn)用知識(shí)的藝術(shù).當(dāng)你丟掉你的課本，燒掉你的聽(tīng)課筆記，忘掉你為了應(yīng)付考試而背誦的細(xì)節(jié)，你的學(xué)習(xí)對(duì)你來(lái)說(shuō)才是有用的.你所需要的那些細(xì)節(jié)的知識(shí)就像頭頂上的太陽(yáng)和月亮一樣，都是顯而易見(jiàn)的事實(shí)；而你偶爾需要的，都能在任何參考文獻(xiàn)里找到答案.”這樣的教育，才能夠“把營(yíng)養(yǎng)輸送給人生.”[2]

在新教材“指數(shù)函數(shù)的概念”這一節(jié)課的設(shè)計(jì)中，教材提供的兩組數(shù)據(jù)，是學(xué)生自主探究的好素材，在引導(dǎo)學(xué)生探究的過(guò)程中，教師對(duì)自己的角色定位非常重要.在學(xué)生探究過(guò)程中，教師既要放手讓學(xué)生探索，又要把握時(shí)機(jī)恰當(dāng)適時(shí)地引領(lǐng)；同時(shí)，在探究中要鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)合作和成果分享，共同解決困難，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作意識(shí)；再次，通過(guò)對(duì)問(wèn)題中數(shù)據(jù)規(guī)律的研究，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方式研究一類變化規(guī)律，以及用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)規(guī)律，在豐富的生活實(shí)例中，培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)所必需的學(xué)習(xí)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力，感受數(shù)學(xué)的文化價(jià)值、科學(xué)價(jià)值與應(yīng)用價(jià)值，這樣才能使學(xué)生牢固樹(shù)立正確的價(jià)值觀，才能凸顯數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.