形之完美表達 數(shù)之完美表現(xiàn)
——對誘導公式教學的深入思考和分析

黃邵華 何 嬌

(1.廣西南寧市第二中學 530022；2.北京師范大學附屬實驗小學 100875)

在“三角函數(shù)的誘導公式”這節(jié)內(nèi)容的教學設計準備過程中，在課堂的教學上以及課后的總結(jié)中，都會不斷讓我們產(chǎn)生思考：對于幾何圖形“圓”與代數(shù)恒等式“誘導公式”，一形一數(shù)，二者之間竟然有著如此美妙的聯(lián)系，這種聯(lián)系是巧合嗎？是否具有一般性呢？筆者經(jīng)過反思和推演，作出以下分析.

平面上存在一些呈中心對稱的幾何圖形，該圖形繞其對稱中心旋轉(zhuǎn)角度π后，依然與原圖形重合，但是圓不僅具有此性質(zhì)，甚至圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后仍與原圖重合.另外，平面上存在一些呈軸對稱的幾何圖形，該圖形可能會有一條或者多條對稱軸，但是圓不僅具有此性質(zhì)，甚至過圓心的任意直線為都可以成為圓的對稱軸.因為上述旋轉(zhuǎn)和對稱的任意性，使得“圓”能夠成為自然界中最完美的圖形之一.

幾何性質(zhì)上的表現(xiàn)，必然能在代數(shù)上進行表達.接下來，我們以單位圓為代表，分別從圓的一般方程和參數(shù)方程的角度出發(fā)，證明圓的兩個完美的幾何性質(zhì)，并從兩種證明過程中探究圓的幾何性質(zhì)在代數(shù)形式上的表達.

1 繞點旋轉(zhuǎn)的任意性

求證：圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后仍與原圖重合(后簡稱“繞點旋轉(zhuǎn)的任意性”).

在不影響結(jié)論的一般性前提下，為了方便證明，我們不妨設該圓為圓心在坐標原點的單位圓(后同).

方法一：設P(x,y)為圓O上任意一點，設其繞著圓心旋轉(zhuǎn)角度θ(θ∈R)后，對應點為P′(x′,y′).

中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是“兩治”現(xiàn)代化的內(nèi)生動力。習近平指出：“我國今天的國家治理體系，是在我國歷史傳承、文化傳統(tǒng)、經(jīng)濟社會發(fā)展的基礎上長期發(fā)展、漸進改進、內(nèi)生性演化的結(jié)果?！盵9]“兩治”現(xiàn)代化，空想不行、閉門造車不行，要善于學習，向老祖宗學習、向國外學習，遵循高等教育發(fā)展規(guī)律，借助傳統(tǒng)的深度挖掘和新時代的重新闡釋，總結(jié)借鑒國外知名高校的辦學理念、辦學模式、管理方法，海納百川、兼容并蓄，創(chuàng)造性內(nèi)化、創(chuàng)新性發(fā)展，在人類命運共同體中講好中國故事。

根據(jù)坐標旋轉(zhuǎn)變換公式可得

(1)

因為

x′2+y′2=(xcosθ-ysinθ)2+(ycosθ+xsinθ)2

=x2+y2=1,

所以，圓上任意一點繞著圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后仍然在該圓上，即其旋轉(zhuǎn)任意角度后，與原圖重合.

方法二：結(jié)合圓O的參數(shù)方程，設圓O上任意一點P的坐標(x,y)為

(2)

則該點繞圓心O旋轉(zhuǎn)角度θ后得到的點P′(x′,y′)滿足

(3)

顯然點P′依然圓O上.

(4)

上述(4)式正是正余弦函數(shù)的兩角和公式.

因此，我們可以認為正余弦函數(shù)的兩角和公式正是圓的幾何性質(zhì)：圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后與原圖重合，在代數(shù)形式上的表達；反之，圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后與原圖重合，也即為正余弦函數(shù)兩角和公式的幾何意義.

2 繞軸對稱的任意性

求證：圓關于任意一條過圓心的直線對稱(后簡稱“繞軸對稱的任意性”).

方法一：設P(x,y)為圓O上任意一點，設其關于直線y=kx(k≠0)的對稱點為P′(x′,y′).

(5)

又因為

因此P′點依然在該圓上.

若k=0或k不存在，易證得P′點依然在該圓上.

因此，證得圓上任意點關于任意過圓心的直線的對稱點依然在該圓上，所以圓具有“繞軸對稱的任意性”.

方法二：若采用圓的參數(shù)方程，設P(cosα,sinα)為圓O上任意一點，過圓心的直線傾斜角為θ.設P關于該直線的對稱點為P′(x′,y′)，若設P′所在終邊所對應角為α′，則有α+α′=2θ，即α′=2θ-α，所以有

(6)

顯然可得點P′也在圓O上.

上述兩種方法分別通過圓的一般方程和參數(shù)方程證得圓“繞軸對稱的任意性”.結(jié)合兩種方法的證明過程，有如下推導:

化簡后得

(7)

由(4)我們可以得到

代入(7)即有

(8)

而(8)式正是正余弦函數(shù)的兩角差公式.

因此，我們可以認為正余弦函數(shù)的兩角差公式正是圓的幾何性質(zhì)：圓關于任意一條過圓心的直線對稱，在代數(shù)形式上的表達；反之，圓關于任意一條過圓心的直線對稱，也即為正余弦函數(shù)兩角差公式的幾何意義.

3 兩類任意性的特殊情形

而這三組公式，恰為高中數(shù)學教材中的誘導公式(一)、(二)和(六)，顯然，這三組誘導公式為正余弦函數(shù)的兩角和公式的特殊情形.

除此之外，通過前面正余弦函數(shù)的兩角和公式的幾何意義，我們可以認為：

而這三組公式，恰為高中數(shù)學教材中的誘導公式(三)、(四)和(五)，顯然，這三組誘導公式為正余弦函數(shù)的兩角差公式的特殊情形.

除此之外，通過前面正余弦函數(shù)的兩角差公式的幾何意義，我們可以認為：

誘導公式(三)、(四)和(五)即為圓的幾何性質(zhì)：圓心在原點的圓關于x軸、y軸、直線y=x對稱，在代數(shù)上的表達；反之，圓心在原點的圓關于x軸、y軸、直線y=x對稱，即為這三組誘導公式的幾何意義.

4 小結(jié)

“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”著名數(shù)學家華羅庚先生的這幾句話，很好地闡述“數(shù)”與“形”的相互關系及其結(jié)合思考數(shù)學問題的重要性.

圓作為一個堪稱完美的圖形，它的幾何性質(zhì)在代數(shù)上的表現(xiàn)，如果用圓的普通方程來刻畫，不僅描述過程繁瑣，而且直觀性不強.但我們引入圓的參數(shù)方程后，將圓上點的坐標用三角函數(shù)來表示，則能非常明顯而直觀地發(fā)現(xiàn)圓的一些特殊性質(zhì).

將兩種方程結(jié)合起來思考的推演后，我們可以得到：

正余弦函數(shù)的兩角和差公式為圓繞點旋轉(zhuǎn)和繞軸對稱的任意性在“數(shù)”上的表達；

圓繞點旋轉(zhuǎn)和繞軸對稱的任意性為正余弦函數(shù)的兩角和差公式在“形”上的表現(xiàn)；

誘導公式為圓繞點旋轉(zhuǎn)和繞軸對稱的特殊性在“數(shù)”上的表達；

圓繞點旋轉(zhuǎn)和繞軸對稱的特殊性為誘導公式在“形”上的表現(xiàn).