中考數(shù)學(xué)(北京卷)評價改革之函數(shù)

王亮亮

(北京教育考試院 100083)

1 引言

從2012年開始，北京市中考數(shù)學(xué)函數(shù)類試題從題型結(jié)構(gòu)、考查內(nèi)容、設(shè)問方式等方面進(jìn)行了改革與創(chuàng)新，引起了廣大師生的關(guān)注.一方面，試題在函數(shù)的基本概念、基礎(chǔ)知識和數(shù)形結(jié)合思想等方面對學(xué)生的要求很高；另一方面，試題的背景新穎、內(nèi)涵豐富、思想深刻，能很好地對考生進(jìn)行區(qū)分；再一方面，試題對初中的函數(shù)教學(xué)起到了正導(dǎo)向作用.但通過調(diào)研、聽課發(fā)現(xiàn)，由于對試題的了解不夠全面，很多教師在講解時遇到了一些問題，如“函數(shù)基本活動經(jīng)驗(yàn)”試題，把側(cè)重點(diǎn)放在了幾何上，忽略了函數(shù)的本質(zhì)及其工具性.本文以2018年中考數(shù)學(xué)(北京卷)函數(shù)類試題為例，對試題進(jìn)行一次理論性和實(shí)踐性的總結(jié)，與大家分享試題背后的思想和試題對教學(xué)的導(dǎo)向作用，希望能給一線教學(xué)提供一定的參考.

2 評價改革基礎(chǔ)

準(zhǔn)確把握《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》對函數(shù)部分提出的本質(zhì)性要求是改革實(shí)施的必要前提，也是了解試題對一線教學(xué)具有正導(dǎo)向作用的基礎(chǔ).

2.1 聯(lián)系與變化是函數(shù)的本質(zhì)特征

在初中階段，雖然沒有系統(tǒng)介紹映射、函數(shù)三要素、函數(shù)性質(zhì)(如單調(diào)性，奇偶性)等理論知識，但結(jié)合具體的函數(shù)，需要有效地滲透、逐步地揭示函數(shù)的本質(zhì)特征——聯(lián)系和變化，以及基本數(shù)學(xué)思想和方法(變化與對應(yīng)的思想、數(shù)形結(jié)合的思想).函數(shù)的本質(zhì)特征須貫穿于函數(shù)教學(xué)的始終，并且是評價改革的理論基石.

2.2 正確理解函數(shù)的概念是函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)

函數(shù)是從數(shù)量的角度反映變化規(guī)律和對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，也就是說變化與對應(yīng)的思想是學(xué)習(xí)函數(shù)的基本思想.正確理解函數(shù)概念，須結(jié)合變化與對應(yīng)的思想，通過對豐富的實(shí)例進(jìn)行歸納和抽象，在這一過程中把握好函數(shù)的實(shí)質(zhì)(兩個變量的相互聯(lián)系，對于自變量確定的每一個值，對應(yīng)的函數(shù)值都唯一確定).函數(shù)的本質(zhì)就是兩個變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系，表示函數(shù)的方法，最常用的是解析式法、列表法、圖象法三種.需要注意的是在函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，不要形式化的引入函數(shù)定義，定義講解的形式化會引起函數(shù)理解的形式化，只是記住了具體的表達(dá)形式，而沒有理解函數(shù)的本質(zhì).

2.3 解決實(shí)際問題是函數(shù)學(xué)習(xí)的主要目標(biāo)

函數(shù)是研究運(yùn)動與變化的數(shù)學(xué)模型，與實(shí)際聯(lián)系十分緊密，它來源于實(shí)際又服務(wù)于實(shí)際，從實(shí)際中抽象出函數(shù)有關(guān)概念，又運(yùn)用函數(shù)解決實(shí)際問題，這是函數(shù)學(xué)習(xí)的主要目標(biāo).

2.4 函數(shù)的圖象與性質(zhì)是函數(shù)學(xué)習(xí)的主體

通過對函數(shù)的圖象與性質(zhì)的研究，從數(shù)量和圖形兩個方面及相互聯(lián)系中，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)本質(zhì)特征是聯(lián)系與變化，這是函數(shù)學(xué)習(xí)的主線.反過來說明，圖象與性質(zhì)是函數(shù)學(xué)習(xí)的主體.

2.5 數(shù)形結(jié)合思想是研究每類函數(shù)的基本思路和方法

平面直角坐標(biāo)系把數(shù)與圖形有機(jī)地結(jié)合起來，有利于用代數(shù)方法研究幾何問題，也有利于借助圖形直觀地探索數(shù)量關(guān)系的規(guī)律性.在初中階段，對函數(shù)的研究是初步的，但研究過程已體現(xiàn)出從函數(shù)的數(shù)量特征以及圖象的幾何特征來刻畫每類函數(shù)的性質(zhì)，這說明數(shù)形結(jié)合思想是研究每類函數(shù)的基本思路和方法.

2.6 正確的學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)是函數(shù)思維形成并利用其解決實(shí)際問題的必要前提

簡單地說，函數(shù)思維就是利用聯(lián)系與變化的觀點(diǎn)，理清對應(yīng)關(guān)系及其規(guī)律，并能解決問題的思維.函數(shù)思維的形成離不開正確的學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)的積累.從具有實(shí)際背景的問題入手，采用列表或列解析式的方法，對其數(shù)量關(guān)系進(jìn)行抽象和梳理；從中認(rèn)識常量和變量的主要特征，并概括出變量間關(guān)系的共同特征；由此理解函數(shù)、自變量和函數(shù)值等概念；在重新認(rèn)知具有類似實(shí)際背景實(shí)例的基礎(chǔ)上，重現(xiàn)函數(shù)及相關(guān)概念的本質(zhì)特征，形成函數(shù)的一般概念；通過函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，領(lǐng)會函數(shù)圖象是具有直觀反映和描述函數(shù)變化規(guī)律的工具；全面、系統(tǒng)地理解函數(shù)的三種表示形式(列表、解析式和圖象)，進(jìn)一步形成對函數(shù)意義的認(rèn)知；利用數(shù)形結(jié)合思想這一基本思路和方法研究每類函數(shù).

3 評價改革實(shí)踐

在“評價改革基礎(chǔ)”中，已經(jīng)系統(tǒng)地介紹了函數(shù)體系，它既是學(xué)習(xí)函數(shù)的理論基礎(chǔ)，也是評價改革的依據(jù)，它們是一脈相承的.

例1下圖是老北京城一些地點(diǎn)的分布示意圖.在圖中，分別以正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，有如下四個結(jié)論：

①當(dāng)表示天安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，0)，表示廣安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-6，-3)時，表示左安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，-6)；

②當(dāng)表示天安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，0)，表示廣安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-12，-6)時，表示左安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(10，-12)；

③當(dāng)表示天安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，1)，表示廣安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-11，-5)時，表示左安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(11，-11)；

④當(dāng)表示天安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1.5，1.5)，表示廣安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-16.5，-7.5)時，表示左安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(16.5，-16.5).

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是

(A)①②③(B)②③④(C)①④(D)①②③④

解析在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)的表示可以是多樣的，坐標(biāo)的核心是對應(yīng)關(guān)系而不是具體表示形式，具體可以表現(xiàn)為根據(jù)實(shí)際問題的背景，選擇合適的坐標(biāo)原點(diǎn)和單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，方便實(shí)際問題的解決.

本題考查的落腳點(diǎn)是對應(yīng)關(guān)系，以老北京城一些地點(diǎn)的分布為背景，以正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，利用給出的天安門和廣安門的坐標(biāo)，判斷左安門的坐標(biāo).在建立平面直角坐標(biāo)系的過程中，無論以哪個位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，從位置關(guān)系來說，天安門、廣安門和左安門兩兩之間的絕對位置不變，從數(shù)量關(guān)系來說，天安門、廣安門和左安門兩兩之間的相對距離也是不變的.絕對位置和相對距離是“對應(yīng)關(guān)系”，它們是不變的.通過對①②③④分析，不難發(fā)現(xiàn)，②是在①的基礎(chǔ)上改變了單位長度，③是在②的基礎(chǔ)上改變了坐標(biāo)原點(diǎn)，④是在③的基礎(chǔ)上改變了單位長度，但“對應(yīng)關(guān)系”是不變的.

對于平面直角坐標(biāo)系的理解，既要抓住其核心是對應(yīng)關(guān)系，又要抓住其數(shù)形結(jié)合的“性質(zhì)”.利用平面直角坐標(biāo)系，可以把數(shù)與圖形有機(jī)地結(jié)合起來，有利于用代數(shù)方法研究幾何問題，也有利于借助圖形直觀地探索數(shù)量關(guān)系的規(guī)律性.將數(shù)形結(jié)合思想作為研究每類函數(shù)的基本思路和方法，可以更深入地理解函數(shù)概念及其表達(dá)形式，積累正確地學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，有利于函數(shù)思維的培養(yǎng).

小騰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，分別對函數(shù)y1，y2隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.

下面是小騰的探究過程，請補(bǔ)充完整:

(1)按照下表中自變量x的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測量，分別得到了y1，y2與x的幾組對應(yīng)值；

x/cm0123456y1/cm5.624.673.762.653.184.37y2/cm5.625.595.535.425.194.734.11

(2)在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)(x，y1)，(x，y2)，并畫出函數(shù)y1，y2的圖象；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)△APC為等腰三角形時，AP的長度約為cm.

解析本題考查的落腳點(diǎn)是利用函數(shù)的思維解決問題，以P是弦AB上一動點(diǎn)，弦PC，AC隨著點(diǎn)P的變化而變化為背景，運(yùn)用聯(lián)系與變化的觀點(diǎn)，厘清量與量之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)對應(yīng)關(guān)系及其規(guī)律，重現(xiàn)研究函數(shù)的內(nèi)容與方法，在經(jīng)歷取點(diǎn)、畫圖、測量、列表、建系、描點(diǎn)、畫函數(shù)圖象的過程中，探究變量之間的關(guān)系，研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用函數(shù)思維及有關(guān)知識解決問題.上述過程，從表面上看是再現(xiàn)函數(shù)學(xué)習(xí)過程，考查函數(shù)學(xué)習(xí)過程中積累的經(jīng)驗(yàn)，但從本質(zhì)上看是能否用函數(shù)思維看待、思考、分析并解決問題.

當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動時，弦PC和AC的長度都隨著點(diǎn)P的變化而變化，在這一過程中體現(xiàn)了變化與對應(yīng)的特征.通過取點(diǎn)、畫圖、測量、列表，可找到AP與PC之間、AP與AC之間都是一種對應(yīng)關(guān)系，將待解決的幾何問題抽象成為了函數(shù)模型，利用函數(shù)思維解決幾何問題.通過建系、描點(diǎn)、畫函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想，把問題“當(dāng)△APC為等腰三角形時，AP的長度約為cm”轉(zhuǎn)化為對函數(shù)y1，y2的圖象進(jìn)行研究.當(dāng)PA=PC(或AP=AC)時，反映出因變量y1(或y2)等于自變量x，在函數(shù)圖象上反映出函數(shù)y1(或y2)的圖象與直線y=x的交點(diǎn)就是弦PA等于弦PC(或弦AP等于弦AC)；同樣地，當(dāng)CA=CP時，反映出函數(shù)值y1=y2，在函數(shù)圖象上反映出函數(shù)y1的圖象與函數(shù)y2的圖象的交點(diǎn)就是弦CA等于弦CP.上述過程體現(xiàn)了幾何問題抽象為函數(shù)問題，利用函數(shù)的思維使問題得以解決的方法.

題目的設(shè)置方式體現(xiàn)了考試改革對教學(xué)改革的引導(dǎo)作用，引導(dǎo)教學(xué)關(guān)注函數(shù)的本質(zhì)特征，關(guān)注函數(shù)的概念，關(guān)注函數(shù)的刻畫性質(zhì)，關(guān)注函數(shù)學(xué)習(xí)的主體，關(guān)注函數(shù)學(xué)習(xí)的基本思想與方法，避免形式化的概念引入，機(jī)械化的畫圖象，讓函數(shù)真正地從實(shí)際中來，又真正地回到實(shí)際中去.

例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y= 4x+ 4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，拋物線y=ax2+x- 3a經(jīng)過點(diǎn)A，將點(diǎn)B向右平移5個單位長度，得到點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求拋物線的對稱軸；

(3)若拋物線與線段BC恰有一個公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍.

解析函數(shù)的圖象與性質(zhì)是函數(shù)學(xué)習(xí)的主體，數(shù)形結(jié)合思想是研究函數(shù)的基本思路和方法.在研究函數(shù)圖象過程中，需要借助數(shù)形結(jié)合的思想發(fā)現(xiàn)歸納和總結(jié)函數(shù)的性質(zhì)；研究函數(shù)性質(zhì)過程中，需要借助數(shù)形結(jié)合的思想直觀感受數(shù)量關(guān)系的規(guī)律性.

拋物線y=ax2+x- 3a的對稱軸為x= 1，經(jīng)過點(diǎn)A(-1，0)，利用軸對稱性可知，拋物線經(jīng)過點(diǎn)(3，0).拋物線開口方向不確定，須對其進(jìn)行分類討論；拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)不確定，須確定開口方向后，對其進(jìn)行分析；拋物線與線段BC恰有一個公共點(diǎn)，須結(jié)合開口方向的分類討論，分析拋物線頂點(diǎn)的位置，利用數(shù)形結(jié)合思想，通過畫圖分析，確定滿足條件的邊界，帶點(diǎn)計算，確定a的取值范圍，如圖所示.

關(guān)于a的取值范圍確定的過程，體現(xiàn)出從函數(shù)的數(shù)量特征以及圖象的幾何特征來刻畫每類函數(shù)的特征，說明數(shù)形結(jié)合思想是研究每類函數(shù)的基本思路和方法.

4 結(jié)束語

本文從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》函數(shù)內(nèi)容本質(zhì)性要求的角度切入，從函數(shù)的本質(zhì)特征，函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，函數(shù)學(xué)習(xí)的主要目標(biāo)，函數(shù)學(xué)習(xí)的主體，研究每類函數(shù)的基本思路和方法，函數(shù)思維形成的前提等方面闡述了函數(shù)知識體系，通過分析試題，闡述理論與實(shí)踐如何相結(jié)合，進(jìn)行深入思考，既是對落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)理念和精神的總結(jié)，更是提出了教學(xué)改革和考試改革共同努力的方向和目標(biāo).北京中考數(shù)學(xué)學(xué)科的改革還在不斷地進(jìn)行探索與完善之中，文章若有不妥之處，請批評指正.