歐拉不等式一個三角形式的類比

楊續(xù)亮 蘇岳祥

(安徽省岳西縣湯池中學(xué) 246620)

1 引言

設(shè)△ABC的三邊為a,b,c，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，則有著名的歐拉不等式R≥2r，

文[1]建立了歐拉不等式的一個三角形式：

定理1設(shè)R,r分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等號.

文[2]給出了歐拉不等式的一個三角形式的類似：

定理2設(shè)R,r分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等號.

2 構(gòu)建新的歐拉三角不等式

定理3設(shè)R,r分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等號.

定理4設(shè)R,r分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等號.

定理5設(shè)R,r分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等號.

定理6設(shè)R,r分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等號.

定理7設(shè)R,r分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等號.

3 預(yù)備知識

為了證明上述定理3-7，先給出△ABC中的預(yù)備等式和不等式：

設(shè)△ABC的三邊為a,b,c，外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑和半周長分別為R,r,s，則有

16Rr-5r2≤s2≤4R2+4Rr+3r2(Gerrestsen不等式)，

4 定理的證明

由16Rr-5r2≤s2≤4R2+4Rr+3r2，

(1)式等價于

(2)式等價于

由歐拉不等式R≥2r易知以上兩式均成立，從而定理3得證.

定理4的證明運(yùn)用定理2來證明，

而由16Rr-5r2≤s2≤4R2+4Rr+3r2，

故

而

由歐拉不等式R≥2r可得

從而定理4得證，

評注從本證明過程可以看出，定理2強(qiáng)于定理4.

定理5的證明

而由16Rr-5r2≤s2≤4R2+4Rr+3r2，

由歐拉不等式R≥2r可得

從而定理5得證.

定理6的證明

定理7的證明

由不等式

從而得到

從而定理7獲證.

我們可以從以上定理2和4，5，6，7的證明可以得出一個歐拉不等式三角形式的不等式鏈.

定理8設(shè)R,r分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等號.