淺談向量法在立體幾何中的應(yīng)用

王世敏

摘? 要：近幾年來(lái)立體幾何一直都是高考中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，是理科考生必考的知識(shí)點(diǎn)之一。利用向量法來(lái)求解，不再需要做輔助線，僅需將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成有關(guān)向量的運(yùn)算問(wèn)題來(lái)處理，即將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，簡(jiǎn)捷方便。

關(guān)鍵詞：向量法;立體幾何;代數(shù)問(wèn)題

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的不斷改革與進(jìn)步，空間想象和幾何直觀越來(lái)越受到人們的喜愛(ài)與關(guān)注?？臻g向量是我們?cè)谘芯苛Ⅲw幾何時(shí)候的強(qiáng)有力工具，為立體幾何研究注入了新的活力和生命力。因此在解決問(wèn)題的時(shí)候許多的新方法和新思路拓寬了高考三維幾何命題的新空間。因此，將空間向量和三維幾何問(wèn)題組合起來(lái)是理所當(dāng)然的，這樣就可以考查空間向量。

一.向量法解決立體幾何問(wèn)題的步驟

通過(guò)向量方法有兩種方法來(lái)解決三維幾何問(wèn)題：一種是直接使用向量的代數(shù)運(yùn)算，另一種是使用向量的坐標(biāo)運(yùn)算。一般來(lái)說(shuō)，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，思維量較少，操作技能較低，而且易于掌握，因此這也是我們常用的向量方法。如果給定的圖形不容易建立空間直角坐標(biāo)系，我們也可以使用向量的代數(shù)運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題，但是它的技能相對(duì)較高，學(xué)生對(duì)邏輯推理的能力也有所提高。使用向量坐標(biāo)操作解決問(wèn)題的步驟：

（1）建立空間直角坐標(biāo)系。注意使用已存在于同一點(diǎn)的兩條或兩條垂直線。如果沒(méi)有三條線，嘗試垂直找到兩條線，然后使第三條線和兩條線垂直建立直角坐標(biāo)系。特別要注意的是，書(shū)寫(xiě)點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)與建立的坐標(biāo)系一致。

（2）寫(xiě)出需要使用的點(diǎn)的坐標(biāo)。小心謹(jǐn)慎，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤。

（3）寫(xiě)出要使用的向量坐標(biāo)。請(qǐng)注意，必須使用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。

（4）通過(guò)計(jì)算解決具體問(wèn)題。注意記住的公式，操作應(yīng)該小心。向量在立體幾何中的應(yīng)用為解決立體幾何問(wèn)題提供了新的解決方案，突破傳統(tǒng)添加輔助線的難度解決方案，并將立體幾何中的“形狀”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“數(shù)字”問(wèn)題，即幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，創(chuàng)建一個(gè)解決立體幾何問(wèn)題的新模型。

二.“向量法”在立體幾何教學(xué)中的教學(xué)策略

2.1 強(qiáng)化空間向量的教學(xué)

向量運(yùn)算可以有效地將代數(shù)問(wèn)題和幾何問(wèn)題相互轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)數(shù)形的統(tǒng)一，是數(shù)形結(jié)合的典型，用于解決相關(guān)的立體幾何問(wèn)題。“向量法”是解決立體幾何問(wèn)題的有效工具，特別是那些問(wèn)題更全面的人可以通過(guò)“向量法”很好地改變問(wèn)題。在立體幾何問(wèn)題中，向量運(yùn)算用于避免學(xué)生對(duì)圖形的邏輯思考，從而降低學(xué)生對(duì)立體幾何的空間想象難度。通過(guò)加強(qiáng)學(xué)生的“向量法”教學(xué)，教師可以幫助學(xué)生正確理解數(shù)形之間的關(guān)系，體驗(yàn)創(chuàng)建三維幾何圖形的過(guò)程，使用代數(shù)方法處理幾何圖形。通過(guò)這種方式，學(xué)生可以使用向量的操作來(lái)揭示立體幾何之間的定量關(guān)系并解決三維幾何問(wèn)題。

2.2 加深學(xué)生對(duì)公式的理解

許多“向量方法”公式與學(xué)生以前的知識(shí)非常不同，學(xué)生不熟悉這些“變形”公式，因?yàn)樗麄儾皇煜す?，許多學(xué)生都死記硬背，可能會(huì)忘記公式。這樣，在應(yīng)用過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)很大的問(wèn)題，這對(duì)“向量法”的應(yīng)用是非常不利的。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)盡可能加深學(xué)生對(duì)公式的理解，讓學(xué)生了解向量公式的來(lái)源。如何使用公式等，構(gòu)建向量知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系以及向量與其他知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，使學(xué)生能夠形成對(duì)“向量方法”公式的理解，有時(shí)可靈活運(yùn)用公式。

2.3 對(duì)比綜合法與向量法的利弊

綜合方法-直接討論幾何元素及其關(guān)系，而無(wú)需使用其他工具。其優(yōu)點(diǎn)是注重培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，邏輯推理能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維能力。缺點(diǎn)是有時(shí)解決問(wèn)題的技巧太多，沒(méi)有一般的規(guī)則可以遵循，經(jīng)常讓學(xué)生找不到突破口，陷入解題瓶頸。

向量方法-使用向量和向量的操作作為工具來(lái)討論幾何元素及其關(guān)系。其優(yōu)點(diǎn)是注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)型結(jié)合的能力，以及代數(shù)計(jì)算能力。解決方案流程變得具有定量和程序性，學(xué)生很容易學(xué)習(xí)。缺點(diǎn)是計(jì)算量相對(duì)較大。計(jì)算能力較弱的學(xué)生很容易犯錯(cuò)誤。如果學(xué)生解決立體幾何問(wèn)題，他們可以分析具體情況。集成方法和向量方法的結(jié)合將使立體幾何問(wèn)題更加完美。

三.結(jié)論

綜上所述，借助空間向量作為解決問(wèn)題的工具，高中數(shù)學(xué)立體幾何中的空間角度和空間距離問(wèn)題明顯優(yōu)于傳統(tǒng)方法。從學(xué)生的學(xué)習(xí)角度來(lái)看，學(xué)生更容易接受。解決問(wèn)題的原則可以從根本上幫助學(xué)生克服空間想象力弱的困難，但也要求學(xué)生的計(jì)算能力要求很高。因此，在正常的課堂教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生正在鞏固在理解空間向量概念的基礎(chǔ)上，學(xué)生必須通過(guò)有效的訓(xùn)練逐步提高他們的計(jì)算能力。向量確實(shí)是解決立體幾何和解析幾何的強(qiáng)大工具。所以在整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果你能學(xué)會(huì)使用向量法處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，不僅可以解決相應(yīng)問(wèn)題的簡(jiǎn)潔、美觀、獨(dú)特和多種解決方案，而且重復(fù)應(yīng)用可以幫助學(xué)生深入理解向量概念，掌握向量的操作，并了解更多關(guān)于數(shù)字和變換的組合變形等重要的數(shù)學(xué)思想可以顯著減輕學(xué)生和教師的負(fù)擔(dān)。

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