在層次性探索中發(fā)展數(shù)學(xué)思維
——以研究“軸對稱視角下線段和的最小值問題”為例

楊麗娟

(昆山市葛江中學(xué) 215300)

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞，在《怎樣解題》中啟發(fā)學(xué)生：解決數(shù)學(xué)問題要善于聯(lián)想——你以前見過它嗎？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？這里有一個與你現(xiàn)在的問題有聯(lián)系且早已解決的問題，你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？…[1]以上啟發(fā)，其實質(zhì)是：“看到問題，喚醒知識；解決問題，類比應(yīng)用”．用數(shù)學(xué)思考問題和解決問題的思維活動形式,就是數(shù)學(xué)思維,筆者以專題“軸對稱視角下線段和的最小值問題”的課堂教學(xué)為例，說明在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如何通過真實的問題情境，讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)任務(wù)，驅(qū)動學(xué)生圍繞主題開展數(shù)學(xué)活動，進(jìn)行層次性的探索，最終解決問題，發(fā)展數(shù)學(xué)思維．

1 利用生活情境，喚醒知識生長點(diǎn)，點(diǎn)亮數(shù)學(xué)思維的火花

在研究軸對稱視角下線段和的最小值問題時，通過創(chuàng)設(shè)簡單真實、貼近學(xué)生實際生活的問題情境，喚醒最值的有關(guān)知識．

情境1如圖1，從甲地到乙地有3條路，走哪條路相對近一些？并說明理由．

圖1

情境2如圖2，污水處理廠要從A處把處理過的水引入排水溝PQ，應(yīng)如何鋪設(shè)排水管道，才能使用料最??？試畫出鋪設(shè)管道的路線？并說明理由．

圖2

設(shè)計意圖通過設(shè)計與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)聯(lián)的生活情境，喚醒相關(guān)的數(shù)學(xué)基本事實，點(diǎn)亮學(xué)生思維的火花，為后續(xù)探索提供理論依據(jù)．利用情境1，獲得基本事實：兩點(diǎn)之間，線段最短，強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)之間的最小值問題；利用情境2，過點(diǎn)A作AB⊥PQ，垂足為點(diǎn)B，線段AB即為鋪設(shè)的最短管道，從而獲得基本事實：垂線段最短，強(qiáng)調(diào)點(diǎn)到直線的最小值問題．

在解決情境問題時，抓住知識的生長點(diǎn)，引發(fā)數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的態(tài)度和理性精神．

2 明確學(xué)習(xí)任務(wù)，進(jìn)行層次性探索，搭建數(shù)學(xué)思維的橋梁

“任務(wù)驅(qū)動”是建立在建構(gòu)主義教學(xué)理論基礎(chǔ)上的，有利于培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)與協(xié)作學(xué)習(xí)能力的教學(xué)方法．初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動必須與任務(wù)或問題相結(jié)合，讓學(xué)生帶著具體的任務(wù)去自主學(xué)習(xí)與協(xié)作學(xué)習(xí)，借助探索問題來驅(qū)動和維持學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和動機(jī)．

在研究軸對稱視角下線段和的最小值問題時，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決“牧童飲?！边@個經(jīng)典的實際問題，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行類比探究，搭建數(shù)學(xué)思維的橋梁，層層深入，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力．

2.1 數(shù)學(xué)模型1：已知直線異側(cè)兩定點(diǎn)，找一動點(diǎn)

如圖3-1，在A村莊和B村莊之間有一條小河(看作直線l) ．夕陽西下，牧童想從A村莊到河邊將牛飲足水，然后回到在B村莊的家．請你幫牧童找到飲水點(diǎn)P，設(shè)計一個最短路線，并給出你的理由．

圖3-1

圖3-2

分析這里我們將A村莊與B村莊看成兩個固定的點(diǎn)，位于直線l的兩側(cè)，要在直線l上找一個點(diǎn)到這兩個點(diǎn)距離和最小，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”，只需連接這兩個點(diǎn)，與直線l的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P(如圖3-2)．

2.2 類比探究：選址造橋

上述問題中，如圖4-1，如果A村莊和B村莊之間隔著的小河寬a米(a是一個已知數(shù))，現(xiàn)在需要在河面上架設(shè)一座橋(橋面與河岸垂直)，牧童從A村莊出發(fā)走到橋邊讓牛飲足水，然后過橋回到在B村莊的家．那么這座橋應(yīng)架在何處，才能使牧童所走的總路程最短？

圖4-1

圖4-2

分析先讓學(xué)生試著通過直觀想象畫出牧童的行程示意圖，如圖4-2，那么如何確保牧童所走的總路程最短？即AC+CD+BD最??？這里CD是不變量，只要AC+BD最小即可，類比數(shù)學(xué)模型1，想辦法將分散的線段AC、BD聚攏在一起．假設(shè)河寬忽略不計，即將河的一岸平移到對岸，利用動畫演示平移過程，在平移過程中點(diǎn)A平移到點(diǎn)A1，構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型1的基本圖形．就點(diǎn)A1到點(diǎn)B路程最短怎么辦？連接A1B交對岸于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作兩岸間的垂線段CD，CD即所架設(shè)的橋，然后動畫演示恢復(fù)河寬，發(fā)現(xiàn)A1D平移到AC上，即A1D=AC，所以AC+CD+BD=A1D+CD+BD=A1B+CD最?。?/p>

設(shè)計意圖本題實質(zhì)還是強(qiáng)化已知直線異側(cè)兩定點(diǎn)，在直線上找一動點(diǎn)，求線段和的最小值．在解題過程中感知所用方法——平移不變量，聚攏分散線．

2.3 數(shù)學(xué)模型2：已知直線同側(cè)兩定點(diǎn)，找一動點(diǎn)．

如圖5-1，一條小河(直線l)的同側(cè)有A和B兩個村莊.夕陽西下，牧童想從A村莊到河邊將牛飲足水，然后回到在B村莊的家．請你幫牧童找到飲水點(diǎn)P，設(shè)計一個最短路線，并給出你的理由．

圖5-1

圖5-2

分析這里我們將A村莊與B村莊看成兩個固定的點(diǎn)，位于直線l的同側(cè)，要在直線l上找一個點(diǎn)到這兩個點(diǎn)距離和最?。鐖D5-2，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，即利用軸對稱將點(diǎn)A翻折到直線l的異側(cè)，得到點(diǎn)A′，變成數(shù)學(xué)模型1，連接A′B交直線l于點(diǎn)P，根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知PA=PA′，則PA+PB=PA′+PB=A′B．另取一點(diǎn)P′，連接P′A、P′B，根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知P′A=P′A′，則P′A+P′B=P′A′+P′B，很明顯PA′+PB在一直線上最短．這里已知直線同側(cè)兩定點(diǎn)，在直線上找一動點(diǎn)，求線段和的最小值．在解題過程中感知所用方法——作軸對稱，拉直線段；理由是：兩點(diǎn)之間，線段最短．

設(shè)計意圖借助牧童飲牛的問題情境，明確學(xué)習(xí)任務(wù)，研究線段和的最小值問題，通過變式與類比，說明解決實際問題應(yīng)先建立數(shù)學(xué)模型．

3 點(diǎn)撥疑難困惑，經(jīng)歷延伸拓展，開拓數(shù)學(xué)思維的寬度．

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要向?qū)W生傳授知識與技能，更要傳授數(shù)學(xué)思想和方法，重視培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新意識和情感價值觀，要體現(xiàn)思維的主動性和創(chuàng)造性．教學(xué)中面對知識的疑難點(diǎn)，學(xué)生會茫然不知所措，或四處出擊一無所獲，教師應(yīng)遵循學(xué)生思維發(fā)展的規(guī)律，通過點(diǎn)撥思維方向與思考方法，幫助學(xué)生拓寬思維路徑．

繼續(xù)以牧童飲牛為背景，開展系列數(shù)學(xué)活動，適時進(jìn)行知識延伸拓展，給學(xué)生留下思維發(fā)展的空間．

數(shù)學(xué)模型3：已知平面內(nèi)一定點(diǎn)，找兩動點(diǎn)

例1(1)如圖6-1，已知∠AOB內(nèi)部點(diǎn)P處拴著一匹牛，牧童先牽牛去草地(OB上)吃草，再去河邊(OA上)飲水，然后回到點(diǎn)P，請你幫牧童設(shè)計最短路線(要求畫出圖形) ．

圖6-1

圖6-3

分析先讓學(xué)生試著畫出牧童的行程示意圖，如圖6-2，使PQ+QR+PR最短，這里定點(diǎn)是點(diǎn)P，求兩動點(diǎn)Q、R，變?yōu)橐欢c(diǎn)兩動點(diǎn)的問題．怎樣使三條線段的和最?。拷Y(jié)合之前總結(jié)的方法：作軸對稱, 拉直線段；兩點(diǎn)之間，線段最短．思考作哪個點(diǎn)關(guān)于哪條直線的對稱點(diǎn)，通過翻折找到與之相等的線段．

如圖6-3，作點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)，使點(diǎn)P翻折到直線OB的異側(cè)點(diǎn)P1；作點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)，使點(diǎn)P翻折到直線OA的異側(cè)點(diǎn)P2．這樣，P1、P2兩點(diǎn)在∠AOB兩邊的異側(cè)，連接P1P2，交OB于點(diǎn)Q，交OA于點(diǎn)R，則PQ+QR+PR=P1Q+QR+P2R=P1P2最短．Q，R即為所求.

(2)若∠AOB=45°，PO=10，求路線的最小值．

例2如圖7-1，在銳角△ABC中，AC>AB，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，求BM+MN的最小值．

圖7-1

圖7-2

圖7-3

圖7-4

分析先讓學(xué)生試著畫出符合題意的草圖(如圖7-2)，這里定點(diǎn)是點(diǎn)B，求兩動點(diǎn)M、N，還是一定點(diǎn)兩動點(diǎn)的問題．因為AD是∠BAC的平分線，所以可將AD看作對稱軸，作關(guān)于直線AD軸對稱的點(diǎn)，通過翻折找到對應(yīng)相等的線段，因為條件限制只能得到定點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，要作出所求的兩個動點(diǎn)，通過“拉直線段，求線段和的最小值”還不行，還需利用垂線段最短．

方法1：如圖7-3，作點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)B′，根據(jù)角平分線的軸對稱性，點(diǎn)B′在直線AC上，過點(diǎn)B′作直線AB的垂線段B′N，垂足為點(diǎn)N，交AD于點(diǎn)M，則BM+MN=B′M+MN=B′N最短．

方法2：如圖7-4，對于預(yù)設(shè)的點(diǎn)N，可作關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)N′，根據(jù)角平分線的軸對稱性，點(diǎn)N′在直線AC上，只要確保點(diǎn)N′、M、B在一直線上，且BN′⊥AC即可，則BM+MN=BM+MN′=BN′最短．

說明通過對兩種方法進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)方法1比較好，應(yīng)盡量作定點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，因為動點(diǎn)N

存在不確定性．該問題利用軸對稱性作對稱點(diǎn)后，雖然可以將線段拉直，但因為只有一個定點(diǎn)，作出對稱點(diǎn)后，還要注意利用“垂線段最短”等基本事實．

設(shè)計意圖例1、例2涉及的元素較多，學(xué)生獨(dú)立解決有困難．教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)條件畫出草圖，利用數(shù)學(xué)知識的生長點(diǎn)“兩點(diǎn)之間線段最短”、“垂線段最短”進(jìn)行具體化的數(shù)學(xué)構(gòu)思，在思考問題和解決問題的過程中，學(xué)會構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，培養(yǎng)科學(xué)獨(dú)特的數(shù)學(xué)思維方式．

4 通過歸納感悟，實現(xiàn)問題解決，提升數(shù)學(xué)思維的高度

數(shù)學(xué)專題課是課堂教學(xué)的重要補(bǔ)充，本節(jié)課通過對線段和的最小值進(jìn)行一系列層次性的探索，分清問題所涉及的定點(diǎn)與動點(diǎn)，以及它們之間的位置關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷直觀想象、動手操作、邏輯推理，找到解決問題所需的鋪墊方法，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生整體把握轉(zhuǎn)化思想，提升數(shù)學(xué)思維的高度，最終獲得解決問題的策略：對于直線同側(cè)的點(diǎn)，無論是已知兩定點(diǎn)求一動點(diǎn)，還是已知一定點(diǎn)求兩動點(diǎn)，都應(yīng)通過軸對稱轉(zhuǎn)化成直線異側(cè)的點(diǎn)，從而求得線段和的最小值．在解題過程中，可以用一些通俗易懂的語言總結(jié)歸納解題技巧，如：“平移不變量，聚攏分散線”、“作軸對稱，拉直線段”等，最終以流程圖簡單扼要說明解決“軸對稱視角下線段和的最小值問題”的途徑(如圖8)．

圖8

在軸對稱視角下，探索線段和的最小值問題，通過專題教學(xué)讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的眼光，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維，形成數(shù)學(xué)的語言，實現(xiàn)在層次性探索中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維．