數(shù)字工具支持下數(shù)學(xué)建模的研究綜述

錢月鳳

(蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 215006)

近年來，由于信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，數(shù)字工具在數(shù)學(xué)課堂中的使用逐漸廣泛；尤其在數(shù)學(xué)建模的背景下，數(shù)字工具變得越來越重要．正如Drijvers所述，數(shù)字工具的引入“開啟了無法進(jìn)入的新視野，并提供了探索數(shù)學(xué)情境的機會”[1]．文獻(xiàn)中存在一個普遍的假設(shè)：在建?；顒又惺褂玫臄?shù)學(xué)模型不僅受到學(xué)生數(shù)學(xué)知識和能力的影響，而且還受到可用的數(shù)字工具所提供的可能性的影響．比較而言，我國在有關(guān)利用數(shù)字工具進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的研究方面缺乏經(jīng)驗，而國外一些研究者已做出了一定的探索．下面主要從數(shù)字工具的內(nèi)涵與價值、數(shù)字工具支持下的數(shù)學(xué)建模過程以及國外的相關(guān)實證研究三方面介紹數(shù)字工具支持下數(shù)學(xué)建模的相關(guān)研究，為我國在這一方面的未來研究提供方向．

1 數(shù)字工具的內(nèi)涵與價值

關(guān)于數(shù)字工具的內(nèi)涵，可從狹義和廣義兩方面進(jìn)行闡述．狹義而言，數(shù)字工具(digital tools)指的是可以用某種特定的方式來支持學(xué)習(xí)過程的數(shù)字媒體，如計算機、平板電腦或手持設(shè)備．Borba等人認(rèn)為，數(shù)字工具可以像任何其他學(xué)習(xí)工具(如幾何直角尺或計算器)一樣，用于回答問題、在互聯(lián)網(wǎng)上進(jìn)行調(diào)查、交流或準(zhǔn)備教學(xué)材料[2]．廣義而言，數(shù)字工具的概念已不僅僅局限于特定的設(shè)備，還包括在數(shù)學(xué)課堂中具體使用數(shù)字工具的方式．

關(guān)于數(shù)字工具的價值，目前學(xué)術(shù)界普遍贊同的觀點是，數(shù)字工具可以支持學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和教師的教學(xué)行為，即數(shù)字工具具有教育價值．例如，數(shù)字工具支持構(gòu)建多種不同的表征，可同時生成相互聯(lián)系的多元表征，在課堂上可以實現(xiàn)可視化的目的；當(dāng)執(zhí)行數(shù)值計算、求解方程或處理離散模型或函數(shù)模型時，可通過數(shù)字工具的圖像表征功能來處理；在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系方面，數(shù)字工具在實驗工作和執(zhí)行調(diào)查時尤為重要．

特別說明一下，本文主要以數(shù)字工具的形式來討論技術(shù)．盡管數(shù)字工具為解決實際問題提供了更大的機會，但對使用者也提出了更高的技術(shù)要求．

2 數(shù)字工具支持下的數(shù)學(xué)建模過程

關(guān)于數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵，目前學(xué)術(shù)界已基本達(dá)成共識．大多數(shù)學(xué)者認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模就是從實際問題出發(fā)，經(jīng)過抽象、簡化，歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，然后建立數(shù)學(xué)模型，求出結(jié)果并解釋實際問題，若不符合實際，再重新修改模型，直到得到符合實際問題的模型；數(shù)學(xué)建模的過程實際上是一個可以重復(fù)多次的循環(huán)，即建模循環(huán)(Modelling Cycles)．

一些研究者結(jié)合數(shù)字工具在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，從理論角度描述了數(shù)字工具支持下的數(shù)學(xué)建模循環(huán)．

Geiger認(rèn)為，數(shù)字工具幾乎適用于建模循環(huán)中的所有環(huán)節(jié)，并建立了技術(shù)支持下的數(shù)學(xué)建模循環(huán)模型[3](見圖1)．

圖1 技術(shù)促進(jìn)數(shù)學(xué)建模的改編模型

Confrey和Maloney也概述了一個包括數(shù)字工具的建模模型[4](見圖2)，他們同樣認(rèn)為數(shù)字工具整體上是適合學(xué)習(xí)的．

圖2 建模模型

圖3是Blum和Leiβ的七步建模循環(huán)[5]，顯示了在建模過程中應(yīng)用數(shù)字工具的幾種可能性(見斜體)；這些數(shù)字工具的可能用途與數(shù)學(xué)建模子能力(如簡化、數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)操作、解釋和驗證等)相對應(yīng)．

圖3 建模中數(shù)字工具的可能能力

在建模循環(huán)的所有步驟中，Galbraith和Stillman認(rèn)為，從實際模型簡化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)而得到數(shù)學(xué)結(jié)果的步驟中，數(shù)字工具所發(fā)揮的作用最為明顯[6]．如果我們更詳細(xì)地研究建模循環(huán)中利用數(shù)字工具進(jìn)行數(shù)學(xué)操作的步驟，我們就會發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)數(shù)學(xué)表達(dá)式被翻譯成數(shù)字工具所理解的語言時，我們才能應(yīng)用數(shù)字工具；而數(shù)字工具產(chǎn)生的結(jié)果必須再一次被重新翻譯成數(shù)學(xué)語言，才能得到一個數(shù)學(xué)結(jié)果．這樣的翻譯過程可由一個拓展的建模循環(huán)[5](見圖4)來表示：在實際世界和數(shù)學(xué)世界的旁邊，增添了一個技術(shù)世界．

早期，我國學(xué)者張思明也強調(diào)，利用數(shù)字工具(如計算機工具)并結(jié)合數(shù)學(xué)方法求解數(shù)學(xué)模型，是建模循環(huán)中一個重要的步驟[7](見圖5)．

圖4 拓展的建模循環(huán)(Siller和Greefrath，2010)

圖5 數(shù)學(xué)建模的過程(張思明)

關(guān)于數(shù)字工具支持下的數(shù)學(xué)建模過程，我們可以做出這樣的假設(shè)：在數(shù)學(xué)建模循環(huán)的各個環(huán)節(jié)均可能使用數(shù)字工具；在求解數(shù)學(xué)模型得到數(shù)學(xué)結(jié)果的過程中，利用數(shù)字工具的可能性最大．

3 相關(guān)實證研究

我國幾乎沒有與數(shù)字工具支持下的數(shù)學(xué)建模有關(guān)的實證研究，因此這里主要介紹國外的相關(guān)實證研究．

3.1 最初的元研究

對于數(shù)字工具是否促進(jìn)能力發(fā)展這一問題，有幾個最初的元研究值得關(guān)注．

2002年，Burrill等人為了研究中學(xué)數(shù)學(xué)中的手持繪圖技術(shù)，建立了包含五個研究問題的綜合研究框架(見表1)，對43項研究進(jìn)行了元分析，其中有11項研究將使用手持繪圖技術(shù)的學(xué)生和未使用手持繪圖技術(shù)的學(xué)生進(jìn)行比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)手持繪圖技術(shù)的使用對學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)具有積極的影響[8]．

表1 有關(guān)手持繪圖技術(shù)的綜合研究框架

續(xù)表

2003年，Ellington對54項研究進(jìn)行了元分析，結(jié)果表明，教學(xué)中計算器的使用促進(jìn)了學(xué)生操作技能和問題解決技能的發(fā)展；使用計算器的學(xué)生對數(shù)學(xué)表現(xiàn)出更加積極的態(tài)度[9]．2006年，Ellington對42項研究進(jìn)行了元分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)計算器被用于教學(xué)時，學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的理解得到了增強[10]．而問題解決技能和概念性理解恰恰對于成功地進(jìn)行數(shù)學(xué)建模十分重要．

Burrill等人和Ellington的元研究均表明了數(shù)字工具(如手持繪圖工具、計算器)對學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了積極的影響，肯定了數(shù)字工具對于學(xué)生能力發(fā)展的作用．

3.2 更具體的研究

除了以上數(shù)字工具與能力發(fā)展方面的元研究，很多更細(xì)致的研究為數(shù)字工具支持下的數(shù)學(xué)建模研究提供了更具體的研究視角．

3.2.1定性研究

在更具體的研究視角下，一些定性研究致力于研究數(shù)學(xué)建模中數(shù)字工具的可能用途．

Doerr和Zangor針對兩個初高年級班中的學(xué)生，對處理建模任務(wù)的課堂進(jìn)行了觀察，并分析了課堂中學(xué)生使用圖形計算器的方式.研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)字工具被用于計算、收集數(shù)據(jù)、可視化和檢查工作[11]．因此，該研究證實了圖3建模循環(huán)中數(shù)字工具的一些能力，如調(diào)查、可視化、計算和控制．

Greefrath和Siller針對四對10年級學(xué)生，觀察了他們利用動態(tài)幾何軟件GeoGebra進(jìn)行建模的過程，發(fā)現(xiàn)學(xué)生主要在情境模型到數(shù)學(xué)結(jié)果的步驟間利用數(shù)字工具，并將建模循環(huán)中GeoGebra的所有可能用途(見斜體)概括在圖6[12]．

圖6 有關(guān)建模循環(huán)中數(shù)字工具用途的定性研究結(jié)果

3.2.2定量研究

盡管以上提及的定性研究對學(xué)生的建模過程和數(shù)字工具的使用產(chǎn)生了更深入的了解，但定量方法為評價數(shù)字工具對學(xué)生成就的影響提供了機會．

在德國的一項定量研究中，針對177名學(xué)生，將一個利用動態(tài)幾何軟件學(xué)習(xí)的實驗組與一個沒有計算機幫助的對照組進(jìn)行了比較，并測量了動態(tài)幾何軟件的使用對幾何成就的影響，結(jié)果發(fā)現(xiàn)對照組的表現(xiàn)明顯優(yōu)于實驗組[13]．由此可見，數(shù)字工具的使用不一定促進(jìn)學(xué)生的幾何成就．

2014年，Chan和Leung發(fā)表了一篇元分析文章，對2001年至2013年發(fā)表的國際定量研究進(jìn)行了梳理，發(fā)現(xiàn)共有9項研究分析了動態(tài)幾何軟件對學(xué)生數(shù)學(xué)成就的影響；Chan和Leung還將DGS組(Dynamic Geometry Software，簡稱DGS)和對照組進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)DGS組的數(shù)學(xué)成就更高[14]．

然而，以上提及的定量研究，均是將一般的數(shù)學(xué)成就或幾何成就作為因變量，并沒有將數(shù)學(xué)建模能力或數(shù)學(xué)建模表現(xiàn)作為測量的主要參數(shù)．

下面介紹德國的一項最新定量對照研究，該研究特別調(diào)查了學(xué)生“數(shù)學(xué)化”這一建模子能力．Gilbert Greefrath等人主要利用測試、問卷調(diào)查、觀察、訪談等研究方法，在對幾何建模任務(wù)進(jìn)行干預(yù)的四堂課期間，將一個使用數(shù)字工具進(jìn)行建模的實驗組與一個使用紙和筆完成同樣任務(wù)的對照組進(jìn)行了比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩組的數(shù)學(xué)成就沒有顯著差異，但實驗組在數(shù)學(xué)化部分比紙筆組稍差；另外，他們還研究了“與程序相關(guān)的自我效能感”(program-related self-efficacy)和“對計算機的態(tài)度”這兩個因素對學(xué)生“數(shù)學(xué)化”的影響，通過統(tǒng)計手段分析數(shù)據(jù)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，“與程序相關(guān)的自我效能感”而不是“對所使用軟件的態(tài)度”，是對“數(shù)學(xué)化”能力增長的一個重要預(yù)測因素[15]．由此可見，高計算機自我效能感的學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過程中所表現(xiàn)出的“數(shù)學(xué)化”能力越強．

4 反思與展望

從2003年“數(shù)學(xué)建?！闭竭M(jìn)入高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，已近15年．回顧我國近15年來數(shù)學(xué)建模中數(shù)字工具的相關(guān)研究，可以發(fā)現(xiàn)我國現(xiàn)有研究中的不足；針對不足，提出建議，為我國這一方面的未來研究提供方向和思路．

4.1 我國的相關(guān)研究

相關(guān)理論研究中，除了張思明提出的數(shù)學(xué)建模過程(圖4)，羅奇等人結(jié)合國內(nèi)外問題求解相關(guān)理論，構(gòu)建了數(shù)學(xué)建模過程的系統(tǒng)模式，刻畫了網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下數(shù)學(xué)建模過程的外顯求解行為和內(nèi)隱認(rèn)知活動[16]，也指出了計算機具有模擬實驗、處理模型并優(yōu)化模型等功能．然而，該模式是羅奇等人根據(jù)指導(dǎo)大學(xué)生建模的成功經(jīng)驗而構(gòu)建的，其合理性是否適用于一般的數(shù)學(xué)建模過程，仍需進(jìn)一步檢驗．

教材研究方面，吳道春聚焦于函數(shù)模型，將三個版本教材中的信息技術(shù)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)蘇教版主要用到EXCEL和計算器，北師大版主要運用的是圖形計算器，人教A版主要用到計算機和圖形計算器；他強調(diào)，現(xiàn)代計算機技術(shù)的發(fā)展賦予了建模新的要求，即把模型翻譯成計算機能夠識別的程序或利用數(shù)學(xué)建模軟件進(jìn)行模型的求解與計算[17]．

課程與教學(xué)方面，上海市高中曾做過將數(shù)學(xué)與計算機信息科學(xué)知識進(jìn)行整合的教學(xué)嘗試，開設(shè)了《數(shù)學(xué)建模與算法實現(xiàn)》課程[18]．近年，上海市某中學(xué)數(shù)學(xué)教研組開展了一系列的圖形計算器支撐下的高中數(shù)學(xué)建模，利用8個實例說明了圖形計算器具有以下建模功能：繪圖、數(shù)列與遞歸、程序模擬[19]．

所有相關(guān)研究中，最多的是案例研究，即結(jié)合具體實例，介紹數(shù)字工具在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用．例如，施洪亮提供了一則基于圖形計算器的“特拉法爾加海戰(zhàn)”建模案例，利用圖形計算器模擬了戰(zhàn)斗進(jìn)程，借助其編程、擬合等功能求解了戰(zhàn)斗損耗系數(shù)、初始戰(zhàn)艦數(shù)、戰(zhàn)斗編組情況等[20]；曾志勇和周靈從建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論、認(rèn)知工具理論和多元智能理論分析了數(shù)字工具對教與學(xué)的重要性，并利用三個應(yīng)用實例(函數(shù)模型、不等式模型和線性規(guī)劃模型)解釋了TI手持技術(shù)在初中數(shù)學(xué)建?；顒又械膽?yīng)用[21]等．

4.2 反思

首先，我國有關(guān)利用數(shù)字工具進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的研究質(zhì)量和數(shù)量有待提高．由文獻(xiàn)可知，我國以案例研究為主，其中大部分文獻(xiàn)都在介紹數(shù)字工具在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，采用實證的研究方法探索數(shù)學(xué)建模中數(shù)字工具的用途、數(shù)字工具的使用對數(shù)學(xué)建模能力的影響等研究相當(dāng)罕見．

其次，我國缺乏在利用數(shù)字工具進(jìn)行數(shù)學(xué)建模這一方面長期研究且擁有一定影響力的領(lǐng)軍人物．

再次，有關(guān)數(shù)字工具支持下數(shù)學(xué)建模的研究內(nèi)容關(guān)注程度太淺，很少有研究從理論層面描述數(shù)字工具在建模循環(huán)中的應(yīng)用．

4.3 建議與展望

針對以上不足，對數(shù)學(xué)建模研究者提出以下建議：

第一，加強與數(shù)字工具支持下的數(shù)學(xué)建模有關(guān)的實證研究．由于我國這一方面的相關(guān)論文文獻(xiàn)數(shù)量太少，具有真正說服力并值得推廣的研究成果并不多見．因此，未來應(yīng)強化實證研究，通過調(diào)查、測試等方法拿出數(shù)據(jù)并用真實的數(shù)據(jù)來解釋和證明自己的研究結(jié)論．

第二，重視數(shù)字工具在建模循環(huán)中的理論研究．至今，我國相關(guān)研究中還沒有研究能全面地描述使用數(shù)字工具的數(shù)學(xué)建模過程．而數(shù)字工具在數(shù)學(xué)建模的不同階段都可能被使用，因此很有必要從理論角度建立使用數(shù)學(xué)工具的建模循環(huán)理論框架．

第三，加強與一線教師的合作研究，形成與“數(shù)字工具支持下的數(shù)學(xué)建?！庇嘘P(guān)的專業(yè)研究團隊．

汲取國外研究經(jīng)驗，提出以下未來研究問題：

①建模時使用或不使用數(shù)字工具，是否會影響學(xué)生的數(shù)學(xué)建模表現(xiàn)？建模時使用數(shù)字工具的學(xué)生獲得了哪些在沒有數(shù)字工具幫助時的知識或技能？

②計算機自我效能感與數(shù)學(xué)建模能力之間有關(guān)系嗎？計算機自我效能感與實際建模過程之間的相互作用是什么樣的？

③學(xué)生對數(shù)字工具的態(tài)度是否影響其數(shù)學(xué)建模能力的發(fā)展？

④教師或?qū)W生在數(shù)學(xué)建模過程中如何使用數(shù)字工具(如一個動態(tài)幾何軟件GeoGebra)？