以垂徑定理為例探究數(shù)學(xué)命題的教學(xué)設(shè)計(jì)

孫立萱

【摘要】數(shù)學(xué)命題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，因此，教學(xué)過程的設(shè)計(jì)，成為教學(xué)成功的關(guān)鍵.現(xiàn)以“垂徑定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，整理歸納關(guān)于“數(shù)學(xué)命題”的教學(xué)設(shè)計(jì).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)命題;垂徑定理;教學(xué)設(shè)計(jì)

一、對數(shù)學(xué)命題的初步認(rèn)識

在數(shù)學(xué)中，用來表示數(shù)學(xué)判斷的陳述句或符號的組合叫數(shù)學(xué)命題.數(shù)學(xué)中的命題教學(xué)，主要是指數(shù)學(xué)公理、定理、公式和法則的教學(xué).

對數(shù)學(xué)命題的教學(xué)，基本要求是：使學(xué)生分清命題的條件和結(jié)論;掌握命題的推理過程、證明思路及相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法;其中在講解數(shù)學(xué)命題證明時(shí)，應(yīng)著重分析證明的思路，并將證明思路的探索過程展示在學(xué)生面前，使學(xué)生充分感受命題及證明方法背后深藏的數(shù)學(xué)思想方法，以便學(xué)生可以利用所學(xué)命題解決實(shí)際問題.因此，良好的教學(xué)設(shè)計(jì)是達(dá)到這些要求的有力保障[1]-[2].

二、以“垂徑定理”為例進(jìn)行數(shù)學(xué)命題教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)命題教學(xué)設(shè)計(jì)的重點(diǎn)主要是結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程和推導(dǎo)（證明）的思考過程，針對命題的教學(xué)要求，將“垂徑定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)分為引入、證明、應(yīng)用三部分.

（一）“引入”的設(shè)計(jì)

在“學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)問題解決問題”的基礎(chǔ)上引進(jìn)課題.

1.引導(dǎo)學(xué)生思考：我們所學(xué)的圓是否為軸對稱圖形;若是，對稱軸在哪？

組織學(xué)生利用課前準(zhǔn)備的圓形紙片進(jìn)行實(shí)驗(yàn)：沿著過圓心的任意一條直線對折，重復(fù)幾次，得到結(jié)論：首先圓是個(gè)軸對稱圖形;其次圓有無數(shù)條對稱軸;并且對稱軸是各個(gè)直徑所在的直線[3].

2.接下來引導(dǎo)學(xué)生在自己準(zhǔn)備的圓中作圖：① 任意作一條不是直徑的弦AB;② 作直徑CD垂直弦AB垂足為E.讓學(xué)生分析直徑CD與弦AB之間的關(guān)系.發(fā)現(xiàn)結(jié)論：“垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧”引出命題[4].

（二）“證明過程”的設(shè)計(jì)

1.對定理的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析

教師啟發(fā)學(xué)生分析討論，寫出題設(shè)、結(jié)論.

2.實(shí)驗(yàn)—觀察—猜想：引導(dǎo)學(xué)生將上述圓形卡片沿直徑CD對折，觀察重合部分，發(fā)現(xiàn)對應(yīng)的線段、弧完全重合，由此得出猜想：如圖1所示，在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD垂直AB于E.那么AE=BE，AC=BC，AD=BD.

3.證明：引導(dǎo)學(xué)生用“疊合法”證明此定理.

4.向?qū)W生滲透證明過程中的“轉(zhuǎn)化劃歸”的數(shù)學(xué)思想.

5.結(jié)合圖形用幾何語言表述，教師板書出規(guī)范的簡明的證明過程[4].

（三）“應(yīng)用”的設(shè)計(jì)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)命題定理的目的是應(yīng)用：在建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型后，使用相應(yīng)的定理來解決問題.所以在數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)中，我們要更加注重在“應(yīng)用”方面的培養(yǎng)，其中“轉(zhuǎn)化劃歸思想”是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.

例 如圖2所示是一名同學(xué)從“日出”照片上抽象出來的畫面，太陽與海平面交于A，B兩點(diǎn)，測得“太陽”的半徑是5 cm，AB=8 cm，若從目前太陽所處的位置到太陽完全跳出海面的時(shí)間為16 min，則太陽升起的速度為多少？

解析 本題解決的關(guān)鍵是利用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形，接著運(yùn)用勾股定理求出海平面到圓心的距離，進(jìn)而求出太陽全部跳出海平面的距離.

作與AB垂直的直徑，交AB于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D，連接OB.

根據(jù)垂徑定理可知BC=12AB=4 cm.

在Rt△OBC中，OC=OB2-BC2=52-42=3 cm.

所以DC=OD+OC=8 cm，

則速度為8÷16=0.5 cm/min.

我們要善于發(fā)現(xiàn)身邊可用“垂徑定理”來解決的實(shí)際問題（拱高問題、圓管問題、最短距離問題），然后建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，利用“轉(zhuǎn)化劃歸”的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解決[5].

三、結(jié) 語

數(shù)學(xué)命題的廣泛應(yīng)用體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具性特征和數(shù)學(xué)的力量.在命題的發(fā)現(xiàn)中，不但要讓學(xué)生參與學(xué)習(xí)，還要讓他們在獲取命題的過程中，逐步學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識方式;在命題的證明中，首先要分清題設(shè)與結(jié)論，逐步體會(huì)到數(shù)學(xué)“言必有據(jù)”的推理特征，揭示證明中的數(shù)學(xué)思想與方法，重視書寫格式與要求;在命題的運(yùn)用中，感受到數(shù)學(xué)的工具性和功用性，初步感受到數(shù)學(xué)技術(shù)對人類的貢獻(xiàn)[5].

【參考文獻(xiàn)】

[1]潘瑞.基于數(shù)學(xué)命題教學(xué)下的勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)研究[D].成都：四川師范大學(xué)，2014.

[2]孫素珍.高中數(shù)學(xué)定理的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].數(shù)理化解題研究，2013（10）：18.

[3]江治.垂徑定理教學(xué)設(shè)計(jì)[J].課程教育研究，2014（15）：190-191.

[4]孫奇靜.《垂徑定理》教學(xué)設(shè)計(jì)與反思[J].中小學(xué)教學(xué)研究，2013（10）：48-50.

[5]徐章韜，陳林.數(shù)學(xué)命題的認(rèn)識及其課堂教學(xué)設(shè)計(jì)[J].課程·教材·教法，2014（11）：81-85.