一類分?jǐn)?shù)階復(fù)混沌系統(tǒng)的異構(gòu)組合同步

盧 雅，趙小山，徐 濤

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

近年來，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)已經(jīng)成為一個(gè)熱點(diǎn)問題，在文獻(xiàn)[1]中，作者提出了一種新的混沌同步，稱為組合同步，該同步不同于以往的一對一模型，而是擴(kuò)充到二對一模型，從而實(shí)現(xiàn)組合同步。實(shí)混沌系統(tǒng)實(shí)際是復(fù)混沌系統(tǒng)中虛部為零的特例與延拓[2-3]，此同步的優(yōu)點(diǎn)是在傳統(tǒng)的一對一模式中，將不能被傳送的信號(hào)簡單地傳輸出去，具有更高的抗破譯性和抗干擾性，增強(qiáng)了保密通信安全性和保密性，因此組合同步成為了學(xué)者爭相研究的熱點(diǎn)。盡管前期的研究已經(jīng)取得了一定的成果，但主要還是應(yīng)用在整數(shù)階的混沌系統(tǒng)上，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的組合同步需要進(jìn)行更深入地研究，而分?jǐn)?shù)階又被學(xué)者重點(diǎn)突破到實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，接下來又?jǐn)U展到復(fù)數(shù)域上，因此其將會(huì)擁有更大的密鑰空間，在保密通信中將發(fā)揮更大的作用[4]。從復(fù)混沌系統(tǒng)發(fā)展歷程來看，復(fù)混沌系統(tǒng)不僅僅局限在適用某一單獨(dú)學(xué)科，在文獻(xiàn)[5]中就已說明有許多學(xué)者利用復(fù)Lorenz 系統(tǒng)來描述失諧激光和液體的熱對流現(xiàn)象。復(fù)數(shù)形式的出現(xiàn)使其在物理界備受重視，但也只是單純運(yùn)用到整數(shù)階和實(shí)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中，在復(fù)混沌系統(tǒng)領(lǐng)域研究甚少，且對復(fù)混沌系統(tǒng)來說，保密通信中由于復(fù)數(shù)域的存在，會(huì)增加破譯的難度。因此，擁有更多的傳輸信息量，不僅可以提高信息傳遞的安全性，而且未來還會(huì)有更大的研究空間等待學(xué)者們的突破。

隨著手機(jī)、電腦、互聯(lián)網(wǎng)和大數(shù)據(jù)等高科技的發(fā)展，誕生了黑客這個(gè)職業(yè)，如“無線萬能鑰匙”就是一種破解信息傳遞的黑客軟件，因此就要求更多的信息量、更少的研究成本、更快的處理速度和更多種類的數(shù)據(jù)類型來確保通信的安全性。復(fù)混沌系統(tǒng)組合同步的快速發(fā)展，可以進(jìn)一步保護(hù)個(gè)人、公司、社會(huì)的通信安全性與保密性，提升信息安全技術(shù)。本文根據(jù)主動(dòng)控制方法讓2 個(gè)復(fù)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與1 個(gè)復(fù)響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到組合同步，從而解決3 個(gè)系統(tǒng)間的復(fù)雜同步問題，提升對未知干擾因素取得提前控制的效果，并通過數(shù)值仿真驗(yàn)證該方法對3 個(gè)復(fù)系統(tǒng)組合同步的有效性與可行性。

1 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與問題描述

1.1 Caputo函數(shù)

多種分?jǐn)?shù)階微分的數(shù)學(xué)定義中，有3 種是最為常見的[6-13]，分別為Grnwald-Letnikov（G-L）函數(shù)、Riemann-Liouville（R-L）函數(shù)和Caputo 函數(shù)，在實(shí)際應(yīng)用中運(yùn)用較多的為Caputo 函數(shù)。

Caputo 函數(shù)定義描述如下：

式中：cDq為Caputo 微分算子（0 ＜q ＜1）；Γ（·）為伽馬函數(shù)（m 為≥q 的第1 個(gè)整數(shù)）。

1.2 Laplace變換

Laplace 變換在分?jǐn)?shù)階微積分理論上占據(jù)著重要的角色[14]，表達(dá)式為：

式中：X（s）=L{x（t）}為x（t）的Laplace 變換；q 為階數(shù)；t 和s 分別為時(shí)域和頻域的變量。

此外，在分?jǐn)?shù)階微積分中，經(jīng)常運(yùn)用到Mittag-Leffler（M-L）函數(shù)，單參數(shù)的M-L 函數(shù)可表示為：

雙參數(shù)的M-L 函數(shù)可表示為：

上式Laplace 變換可改寫成：

式中：t＞0；Ω（s）為s 的實(shí)部；λ∈R。

通過計(jì)算李雅普諾夫指數(shù)來判斷系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象，研究復(fù)系統(tǒng)混沌吸引子的組合同步，通?？紤]2個(gè)復(fù)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和1 個(gè)復(fù)響應(yīng)系統(tǒng)如下：

2 分?jǐn)?shù)階復(fù)混沌系統(tǒng)的組合同步方案

定義1對于給定的復(fù)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，復(fù)響應(yīng)系統(tǒng)和任意初始條件x（0），y（0），z（0），2 個(gè)常數(shù)矩陣A∈Cn×n和B∈Cn×n，如果存在復(fù)控制器U（x，y，z），使得在t→∞時(shí)，所有的軌道（x（t），y（t），z（t））趨向于流形D={（x（t），y（t），z（t））：z（t）= Ax（t）+ By（t）}，即則稱復(fù)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和復(fù)響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到組合同步。

1.2.2 實(shí)施階段:根據(jù)培訓(xùn)計(jì)劃內(nèi)容,由帶教老師一對一帶教,先由帶教老師進(jìn)行操作示范,然后再在工作中練習(xí)提高。

式中：A=（s1，s2，…，sn）T，B=（m1，m2，…，mn）T，均為常數(shù)矩陣；e=（e1，e2，…，en）T為同步誤差；‖·‖為矩陣范數(shù)。

為了證明所提出的復(fù)混沌組合同步方案的合理性，接下來給出異結(jié)構(gòu)的分?jǐn)?shù)階復(fù)混沌系統(tǒng)之間的組合同步。以復(fù)Lorenz 系統(tǒng)為第一驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，用變量x表示；以新的非線性分?jǐn)?shù)階復(fù)混沌系統(tǒng)為第二驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，用y 表示；以復(fù)T 系統(tǒng)為響應(yīng)系統(tǒng)，用z 表示，并說明3 個(gè)不同結(jié)構(gòu)的分?jǐn)?shù)階復(fù)混沌系統(tǒng)之間的組合同步的實(shí)現(xiàn)。

第一驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為：

第二驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為：

響應(yīng)系統(tǒng)為：

式中：an、bn、cn（n=1，2，3）為實(shí)常數(shù)系數(shù)和z2=均為復(fù)變量均為實(shí)變量（n=1，2，3）為待設(shè)計(jì)的實(shí)控制器。

設(shè)計(jì)控制器U 使得2 個(gè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與1 個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到組合同步。

引理1[15]若q∈（0，1），x（t）=（x1（t），x2（t），…，xn（t））T∈Rn，其中xn（t）（n =1，2，…，n）是連續(xù)可微的函數(shù)，則對于任意的t≥0，有：

引理2[16]設(shè)V（t）是定義在[0，+∞）的連續(xù)函數(shù)且滿足：

其中λ 為常數(shù)，則：

定理1當(dāng)控制器設(shè)計(jì)為：

式中：K = diag（k1，k2，…，kn）為實(shí)增益矩陣且kn＞0（n =1，2，…，n），則復(fù)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和復(fù)響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)組合同步。

由定理1 設(shè)計(jì)如下控制器：

證明由定義可知，系統(tǒng)（1）-（3）之間存在同步誤差為e（t）=z（t）-Ax（t）-By（t），借助控制器可以得到如下的誤差動(dòng)力系統(tǒng)：

對實(shí)部虛部進(jìn)行分離可得到：

構(gòu)建正定的李雅普諾夫函數(shù)如下：

則V（t）=‖e（t）‖2/2，由1.2 中的預(yù)備知識(shí)可以計(jì)算V（t）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合引理1 和方程可得：

式中：kmin= min{k1，k2，…，kn}，由引理2 可得：V（t）≤V（0）Eq（-2kmintq），進(jìn)一步可以得到：‖e（t）‖2=2V（t）≤2V（0）Eq（-2kmintq）。

若kmin＞0，則有因此可以達(dá)到驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的組合同步，得證。

3 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證上述理論的有效性，考慮一個(gè)具體的復(fù)混沌Lorenz 系統(tǒng)為第一驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)階數(shù)為α=0.97，未知參數(shù)為a1∈[9，18），b1=1，c1=180 時(shí)，此時(shí)處于混沌狀態(tài)并存在混沌吸引子；當(dāng)a1∈[2，9），b1=1，c1=180 時(shí)，也處于混沌現(xiàn)象并存在吸引子，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）的二階混沌吸引子如圖1所示，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）的三階混沌吸引如圖2所示。

圖1 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）的二階混沌吸引子

圖2 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）的三階混沌吸引

考慮一個(gè)新的非線性分?jǐn)?shù)階復(fù)混沌系統(tǒng)為第二驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)階數(shù)取為α=0.97，選取未知參數(shù)為a2=9.5，b2=19，c2∈[2，18]，存在二階超混沌吸引子；未知選取參數(shù)為a2=9.5，b2=19，c2∈[0，2]，存在三階超混沌吸引子?？紤]復(fù)T 系統(tǒng)，未知參數(shù)取為a3∈[10，13]，b3= 0.6，c3= 30，系統(tǒng)階數(shù)為α=0.97，此時(shí)存在三階超混沌吸引子。

利用PECE 法進(jìn)行數(shù)值仿真，選?。篈=diag（s1（x），實(shí)增益矩陣K 的取值為K=diag（1，1，1）T。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）的初始條件為：

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（2）的起始條件為：

響應(yīng)系統(tǒng)（3）的初值為：

因此，利用數(shù)值仿真可以得到同步誤差圖，誤差系統(tǒng)e=（e1，e1，…，en）T分別加入適當(dāng)?shù)目刂破鱑，得到的時(shí)間歷程圖如圖3-7所示。利用主動(dòng)控制法將2個(gè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與1 個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了組合同步。

圖3 誤差系統(tǒng) 加入控制器 后的時(shí)間歷程圖

圖4 誤差系統(tǒng)加入控制器 后的時(shí)間歷程圖

圖5 誤差系統(tǒng)加入控制器后的時(shí)間歷程圖

圖6 誤差系統(tǒng)加入控制器后的時(shí)間歷程圖

圖7 誤差系統(tǒng) 加入控制器后的時(shí)間歷程圖

4 結(jié) 語

為了研究異構(gòu)非線性分?jǐn)?shù)階復(fù)混沌系統(tǒng)的同步問題，本文結(jié)合主動(dòng)控制方法，提出了一種組合同步的判據(jù)，并以其相應(yīng)的穩(wěn)定性理論作為實(shí)現(xiàn)異構(gòu)分?jǐn)?shù)階復(fù)混沌系統(tǒng)的組合同步以及設(shè)計(jì)相應(yīng)控制器的理論基礎(chǔ)，最終實(shí)現(xiàn)了2 個(gè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與1 個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)的組合同步，并分別從理論基礎(chǔ)到數(shù)值模擬對所設(shè)計(jì)的控制器的正確性和有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。相對于以往單個(gè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的同步來說，2 個(gè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和1 個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)加大了破譯的難度，增強(qiáng)了通信的保密性，為保密通信和密碼技術(shù)提供了新的思路。