高中數(shù)學(xué)方程類(lèi)問(wèn)題解題思路研究

王海青

在新課程改革工作的進(jìn)行過(guò)程中，高中數(shù)學(xué)越來(lái)越注重?cái)?shù)學(xué)思維的培養(yǎng).數(shù)學(xué)是高中教學(xué)體系中的重要組成科目，是邏輯思維的體現(xiàn).在素質(zhì)教育的背景下，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，也是學(xué)生需要掌握的應(yīng)試技巧之一.本文筆者從方程思想入手，對(duì)高中數(shù)學(xué)方程解題思路進(jìn)行歸納和總結(jié).

一、從定義入手，與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合

首先，如果同學(xué)們留心觀察方程的定義的話(huà)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)從本質(zhì)上來(lái)講，方程其實(shí)首先就是一種等量關(guān)系，但是在這個(gè)等量關(guān)系中，數(shù)量是不確定的，所以用未知量x來(lái)表示，這就是方程思想的形成了.只要能夠使這個(gè)等式成立，就是正確的方程的解，而探求這兩個(gè)具體的數(shù)量的過(guò)程就叫解方程了，并且最終能夠使得等式成立的未知量x就叫作方程的“解”或是“根”. 所以在解決問(wèn)題時(shí)若能巧妙地設(shè)定未知單位量k，就能輕松地列出方程求解.

例如，在硝酸鈉的溶解試驗(yàn)中，測(cè)得在不同溫度下，溶解于100份水中的硝酸鈉份數(shù)的數(shù)據(jù)如下：

xi0410152129365168

yi66.771.076.380.685.792.999.4113.6125.1

描出散點(diǎn)圖并求其回歸直線(xiàn)方程.

解：建立坐標(biāo)系，繪出散點(diǎn)圖如下：

由散點(diǎn)圖可以看出：兩組數(shù)據(jù)呈線(xiàn)性相關(guān)性.設(shè)回歸直線(xiàn)方程為：y=ax+b.

b=（x1-x）（y1-y）+（x2-x）（y2-y）+……+（xn-x）（yn-y）（x1-x）2+（x2-x）2+……+（xn-x）2

=x1y1+x2y2+……+xnyn-nx yx21+x22+……+x2n-nx2

=∑ni=1（xiyi-x y）∑ni=1（x2i-x2）.

a=y-bx.

x=26，y=90.14，x y=2343.76，x2=676，

∑x2i=10144，

∑xiyi=24628.6.

可求得：b=0.87，a=67.52，從而回歸直線(xiàn)方程為：y=0.87x+67.52.

我們不難發(fā)現(xiàn)，利用表格中的x、y的數(shù)據(jù)和b的計(jì)算公式能夠幫助我們解決方程中的未知量，最后只剩下一個(gè)a是我們需要求解的方程的根.所以這是一道非常直觀的方程求解問(wèn)題，只需要耐心地細(xì)致計(jì)算，便能夠得出正確的答案.

二、利用方程性質(zhì)進(jìn)行解題

通過(guò)以往的數(shù)學(xué)知識(shí)積累，從最初的一元一次方程這樣的直線(xiàn)方程再到圓這樣的曲線(xiàn)方程，可以說(shuō)每一個(gè)方程都有它獨(dú)特的性質(zhì)特點(diǎn).比如，在二次函數(shù)中，可以通過(guò)計(jì)算圖像和x軸的交點(diǎn)來(lái)判斷該二次函數(shù)的開(kāi)口方向和有多少個(gè)根等，圓心的焦點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸方程，以及雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程等.熟練掌握這些公式特征在解決問(wèn)題的時(shí)候，學(xué)生就能夠敏銳地把題目中所給的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)方程式進(jìn)行求解.更重要的是通過(guò)這些特定方程的特點(diǎn)，還有助于二級(jí)結(jié)論的推理.例如，若圓的直徑端點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則圓的方程為（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0;點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線(xiàn)ax+by+c=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為：x-2A（Ax+By+C）A2+B2，y-2B（Ax+By+C）A2+B2……如果同學(xué)們能夠熟練地掌握這些二級(jí)結(jié)論，便能夠在做題的過(guò)程中更快速地進(jìn)行求解.在解決方程類(lèi)的問(wèn)題時(shí)最重要的是要進(jìn)行分析，首先要明確考查的知識(shí)點(diǎn)，并針對(duì)性地回憶相關(guān)知識(shí)，從已知推測(cè)未知，并且需要從多個(gè)角度進(jìn)行分析探索，寫(xiě)出可能出現(xiàn)的所有結(jié)果.其次，應(yīng)加強(qiáng)常見(jiàn)解題思路的練習(xí)，如“消元”“整體帶入”思想等，切實(shí)提高分析能力和解題效率.

綜上，同學(xué)們?cè)谟龅絾?wèn)題時(shí)，首先可以從基本定義下手，養(yǎng)成畫(huà)函數(shù)方程圖像的習(xí)慣，其次要熟練掌握方程的性質(zhì)，掌握方程性質(zhì)對(duì)于解決應(yīng)用問(wèn)題非常必要.并且由于方程思想在許多其他章節(jié)的考查中均有體現(xiàn)，在新課改的號(hào)召下，高考數(shù)學(xué)的應(yīng)用模式更加多元化，考查內(nèi)容更加廣泛，所以熟練掌握同學(xué)們也要學(xué)會(huì)用方程思想去解決其他問(wèn)題，將知識(shí)巧妙地融會(huì)貫通.