把握集合元素，解決集合問題

王曉云

在做集合習(xí)題時(shí)，經(jīng)常需要探討集合中的元素的取值、取值范圍等問題，在分析集合元素的取值或取值范圍時(shí)，需要抓住一些要點(diǎn).在解決集合問題之前，要從理解元素的分類出發(fā)，結(jié)合集合元素的特性，將集合問題轉(zhuǎn)化為其他的數(shù)學(xué)問題，從而解決問題，提高集合問題解答的效率.

一、理解集合中元素的分類

在做集合習(xí)題時(shí)，必須要了解元素的分類.因?yàn)榻M成集合的對(duì)象就是元素，所以在解集合問題之前需要將集合元素弄清楚，只有這樣，才能進(jìn)一步地去探討集合問題.

例1?設(shè)集合A={平面上的直線}，B={平面上的圓}，則A∩B中的元素最多為幾個(gè)？

本題易錯(cuò)誤地認(rèn)為是2個(gè).在解題時(shí)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤，是因?yàn)闆]有理解元素的分類.本題的解題思路為直線與圓的關(guān)系分為相離、相切、相交.直線和圓相交時(shí)，交點(diǎn)有2點(diǎn).這種解題沒有考慮集合的屬性和分類探討.根據(jù)題意可知，集合A探討的元素屬性是{平面上的直線}，集合B探討的屬性是{平面上的圓}，這兩種元素的屬性都不一樣，相交就為空集.即一個(gè)幾何圖形不可能既是平面上的直線又是平面上的圓，于是相交的結(jié)果就是空集.

從這一題中可以看到，在探討集合問題時(shí)，必須先分析集合中的元素是點(diǎn)集、數(shù)集、方程還是函數(shù)，只有了解了集合元素的屬性，才能探討集合元素的運(yùn)算問題.

二、結(jié)合集合元素的特性

在分析集合元素時(shí)，要根據(jù)元素的特性來探討集合中有哪些元素.每一個(gè)元素都具有其本身的特性，為了保障集合問題的順利解決，在探討時(shí)，不能忽略其中的任何元素的特性，否則解答問題的時(shí)候就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

例2?集合A={x|x2+（b+2）x+b+1=0，b∈R}，求集合A中所有元素之和.

這題最常見的錯(cuò)解為：由x2+（b+2）x+b+1=0，得（x+1）（x+b+1）=0.現(xiàn)分類探討b的取值對(duì)集合A元素取值的影響：（1）當(dāng)b=0時(shí)，x1=x2=-1，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，此時(shí)A中的元素之和為-2.（2）當(dāng)b≠0時(shí)，由韋達(dá)定理可知方程x2+2x+1=0有兩個(gè)不等的實(shí)根x1，x2，并且x1+x2=-b-2.綜合以上的探討可知集合A中元素之和為-b-2.

然而在以上的解題過程中，忽略了b=0時(shí)，x1=x2=-1.依集合元素的互異性，此時(shí)集合元素只有一個(gè)，即-1.通過這一則案例可以看到，在探討集合元素的問題，并且集合的元素中存在變量時(shí)，要分析變量的取值是否符合集合元素的所有性質(zhì)，然后根據(jù)分析的結(jié)果去掉不符合元素特性的元素.

三、轉(zhuǎn)化為其他的數(shù)學(xué)問題

在分析集合元素時(shí)，有時(shí)需要把集合問題轉(zhuǎn)化為其他的數(shù)學(xué)問題，應(yīng)用其它數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的定理、公式來解決問題.在轉(zhuǎn)化集合問題時(shí)，必須分析轉(zhuǎn)化的結(jié)果是否是等價(jià)，有沒有改變集合中的元素.

例3?設(shè)集合M=（x，y）|y+1x-1=1，N=（x，y）|（a-1）x+y=1，并且M∩N=，求實(shí)數(shù)a.

本題最常見的錯(cuò)解為：視集合M為直線y=x-2上的點(diǎn)的集合，視集合N為直線y=（1-a）x+1上的點(diǎn)的集合.根據(jù)M∩N=的條件可得兩直線平行，故得a=0.顯然，錯(cuò)解忽略了在轉(zhuǎn)化集合M時(shí)x不能為1的情況.當(dāng)x不能為1時(shí)，y便不能為-1，于是集合M中必須去除（1，-1）這個(gè)點(diǎn).正確的思路為：視集合M為直線y=x-2上的點(diǎn)，但不包含（1，-1）.視集合N為直線y=（1-a）x+1上的點(diǎn)的集合.根據(jù)已知條件M∩N=的條件可得兩直線平行，那么可得1-a=1，解得a=0.當(dāng)集合N過點(diǎn)（1，-1），也滿足M∩N=的條件，于是將（1，-1）代入方程y=（1-a）x+1，可得a=3.綜上，a=0或a=3.

四、驗(yàn)證集合元素的端點(diǎn)取值

在探討集合運(yùn)算問題時(shí)，如果集合的元素表現(xiàn)形式是函數(shù)，在分析函數(shù)的運(yùn)算時(shí)，要驗(yàn)證端點(diǎn)值是否成立.如果在探討集合元素時(shí)，忽略了這一步的驗(yàn)證，則易造成錯(cuò)解.

例4?已知集合A={x|x≥4，或x<-5}，集合B={x|a+1≤x≤a+3}，如果A∪B=A，求的取值范圍.

該題最常見的錯(cuò)解為：根據(jù)已知條件A∪B=A可得BA，于是可得a+3≤-5，或者a+1≥4，于是可得a≤-8或a≥3.現(xiàn)如果把a(bǔ)=-8代入到已知條件中，會(huì)發(fā)現(xiàn)與已知條件沖突，于是a=-8為虛假答案.為什么會(huì)這樣？因?yàn)榘袮∪B=A變成BA這一步時(shí)，實(shí)際上包含著兩個(gè)可能性，即B=A或B≠A的問題.

在解答集合元素的取值或取值范圍的習(xí)題時(shí)，只有了解集合的意義、理解集合元素的特性、能正確完成集合的等價(jià)轉(zhuǎn)換、能根據(jù)集合運(yùn)算的需求驗(yàn)證極端取值的正確性，才能避免出現(xiàn)解題錯(cuò)誤.