周期數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用

周延吉

【摘要】周期性是函數(shù)性質(zhì)之一，數(shù)列是一類特殊函數(shù)，也具有周期性.本文運(yùn)用函數(shù)類比研究了數(shù)列的周期性，探討了周期數(shù)列的一些簡單性質(zhì)，并對性質(zhì)加以應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)列;周期;周期數(shù)列

類比周期函數(shù)的概念，我們可以定義：對數(shù)列{an}，如果存在確定的正整數(shù)T及n0，使對一切n≥n0，恒有an+T=an成立，則稱{an}是從第n0項(xiàng)起的周期為T的周期數(shù)列.當(dāng)n0=1時(shí)，稱{an}為純周期數(shù)列;當(dāng)n0≥2時(shí)，{an}稱為混周期數(shù)列.T的最小值稱為最小正周期，簡稱周期.

通過對周期數(shù)列定義的進(jìn)一步研究，類比周期函數(shù)的性質(zhì)我們可以得到周期數(shù)列的一些如下簡單性質(zhì)：

（1）周期數(shù)列是無窮數(shù)列，其值域是有限集.

推論1 若周期數(shù)列{an}的周期T≥2，則an的極限不存在.

推論2 若{an}不是常數(shù)列，且an的極限存在，則{an}不是周期數(shù)列.

（2）若T是{an}的周期，則對任何k∈N*，kT也是{an}的周期.

（3）周期數(shù)列必有最小周期.

（4）若T是周期數(shù)列{an}的最小周期，T′是其任一周期，則T|T′.即T′=kT（k∈N*）.

（5）值域是有限數(shù)集的無窮遞歸數(shù)列必是周期數(shù)列.

（6）已知數(shù)列{an}滿足an+t=an（n∈N，t為常數(shù)），Sn，Tn分別為{an}的前n項(xiàng)和與積.若n=q·t+r，0≤r

（7）若數(shù)列{an}滿足an=an-1-an-2（n∈N*，且n>2），則6是數(shù)列的一個(gè)周期.

（8）若數(shù)列{an}滿足an=aan-1-bcan-1-d，a+d=0，則數(shù)列{an}的周期T=2.

對上述定義、性質(zhì)的應(yīng)用舉例如下;

例1 已知數(shù)列{an}，a1=1，a2n=an，a4n-1=0，a4n+1=1（n∈N*）.

（1）求a4，a7;

（2）是否存在正整數(shù)T，使得對任意的n∈N*，有an+T=an.

解 （1）由題意知a4=a2=a1=1，a7=a4×2-1=0.

（2）假設(shè)存在正整數(shù)T，使得對任意n∈N*，有an+T=an.設(shè)T為其中最小的正整數(shù).若T為基數(shù)，設(shè)T=2t-1（t∈N*），則a4n+1=a4n+1+T=a4n+1+2T=a4（n+t）-1=0.與已知a4n+1=1矛盾.若T為偶數(shù)，設(shè)T=2t（t∈N*），則a2n+T=a2n=an，而a2n+T=a2n+2t=a2（n+t），從而an+t=an，而t<T，與T為其中最小正整數(shù)矛盾.

綜上所述，不存在正整數(shù)T，使得對任意的n∈N*，有an+T=an.

例2 若數(shù)列{an}滿足an+2=an+1-an（n∈N*），Sn為{an}的前n項(xiàng)和，且S2=2 018，S3=2 010，求S2 008.

解 由an+2=an+1-an及性質(zhì)（7），可知數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列.由S2=2 018，S3=2 010，知a1+a2=2 008，a1+a2+a3=2 010，在結(jié)合a3=a2-a1，可以解出a1=1 003，a2=1 005，a3=2;由遞推關(guān)系式可進(jìn)一步求得a4=-1 003，a5=-1 005，a6=-2，因?yàn)? 008=6×334+4，由性質(zhì)（6）可以得到

S2 008=334S6+S4=334×0+1 007=1 007.

例3 設(shè)數(shù)列{an}中，a1=a2=1，a3=2，且對n∈N，有anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3（anan+1an+2≠1）成立，求該數(shù)列100項(xiàng)和S100.

解 由已知條件，對任何自然數(shù)N*，有

anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，

把式中n換成n+1，得

an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4，

兩式相減得an+1an+2an+3（an-an+4）=an-an+4，

因?yàn)閍n+1an+2an+3≠1，所以an+4=an（n∈N*），

所以{an}是以4為周期的周期數(shù)列，再由性質(zhì)（6），得

S100=25S4=25×（1+1+2+4）=200.

【參考文獻(xiàn)】

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