關(guān)于|sinnx/sinx|k定積分問題的探討

鄧秋芳　楊學(xué)鳳　徐惇儒　李盈盈　趙艷輝

【摘 要】本文根據(jù)定積分的性質(zhì)和一些常用不等式對被積函數(shù)中含|sinnx/sinx|k的這類定積分進(jìn)行了研究，并對以其為通項(xiàng)的級數(shù)的斂散性進(jìn)行了討論，從而得到了級數(shù)斂散性和k的關(guān)系，為解決這類積分的問題提供了切實(shí)可行的解題方法。

【關(guān)鍵詞】|sinnx/sinx|k;定積分;級數(shù)

中圖分類號： O172.2文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A文章編號： 2095-2457（2019）21-0109-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.21.049

The Discussion of the Definite Integral |Sinnx/Sinx|k

DENG Qiu-fang YANG Xue-feng XU Dun-ru LI Ying-ying ZHAO Yan-hui

（College of Science，Hunan University of Science and Engineering，Yongzhou Hunan 425199，China）

【Abstract】The definite integral containing |sinnx/sinx|k is discussed in this paper，and the convergence and divergence of the series as the general term according to the properties of the definite integral and some common inequalities. The relations are obtained between the series convergence and k，practical research methods are provided to solve this kind of integral problems.

【Key words】|sinnx/sinx|k;Definite integral;Series

0 緒論

關(guān)于定積分的計(jì)算技巧和方法，在很多文獻(xiàn)中已經(jīng)進(jìn)行了研究和討論。在文獻(xiàn)[1]只是對比值sinnx/sinx進(jìn)行推廣和改進(jìn)，與定積分無關(guān)系，文獻(xiàn)[2]對含有絕對值的定積分問題進(jìn)行了討論，且大量文獻(xiàn)都是總結(jié)了一些定積分的計(jì)算方法，并沒有針對被積函數(shù)中含|sinnx/sinx|k這類定積分的討論。本文將根據(jù)定積分的性質(zhì)和一些常用不等式對被積函數(shù)中含有|sinnx/sinx|k的這類定積分進(jìn)行研究，討論這類積分的變形技巧或方法，并對以被積函數(shù)中含有|sinnx/sinx|k的這類積分為通項(xiàng)的級數(shù)的斂散性進(jìn)行討論，從而得到級數(shù)收斂與k的關(guān)系，為解決這類定積分問題提供切實(shí)可行的解決方法。首先介紹一個(gè)引理。

引理1 已知x∈0， ，求證sinnx≤nsinx，n=1，2，…。

證明 當(dāng)x∈0， ，nx∈[0，π]，所以sinnx≥0，sinx≥0下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。

當(dāng)n=1時(shí)，有sinx=sinx，等號成立。

假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即sinkx≤ksinx;

則n=k+1時(shí)，由歸納假設(shè)有

sin（k+1）x=sinkx·cosx+coskx·sinx

≤ksinx·cosx+coskx·sinx

≤ksinx+sinx=（k+1）sinx

所以n=k+1時(shí)，結(jié)論成立。

從而對任意自然數(shù)n，當(dāng)x∈0， 時(shí)，有sinnx≤nsinx。

1 對含有|sinnx/sinx|k的定積分問題的探討

對定積分 x ?dx問題，因?yàn)楸环e函數(shù)中含有絕對值，所以要去掉絕對值，而當(dāng)x∈0， 時(shí)，sinnx的符號不確定，所以要對區(qū)間進(jìn)行分割。又由于x∈0， 時(shí)，有 ≤sinx≤x，又由引理1知sinnx≤nsinx，x∈0， ，所以將區(qū)間0， 分成0， 和 ， 。將分母sinx消掉從而求出定積分。

例1 設(shè)an= x dx，則an≤ 。

證明an= x dx= x dx+ x dx=I1+I2

對于I1，因?yàn)閟innx≤nsinx，所以

I1= x dx≤ nxdx=n· =

對于I2，有

I2= x dx≤ x·（ ）dx= -

所以

an≤I1+I2= - + = - ≤

例1 中如果將區(qū)間0， 分成0， 和 ， ，則可直接得到an≤ 。而將區(qū)間0， 分成0， 和 ， ，得到an≤ - ，且當(dāng)n=1時(shí)。

a1= x dx= xdx=

此時(shí)an≤ - 中等號成立，所以k=1時(shí)，an≤ - 是最好的結(jié)果。用同樣的方法可證得當(dāng)k=2時(shí)，an≤ + lnn。

通過對k=1，2時(shí)an的不等式表達(dá)式中n的分析，可得出以下結(jié)論。

例2 設(shè)an= x 3dx，則 ?發(fā)散。

證明：因?yàn)?≤x≤ 時(shí)，有 ≤sinx≤x，且sinnx≤nsinx，x∈0， ，所以

對于I1，因?yàn)閟innx≤nsinx，所以

對于I2，因?yàn)?/p>

所以

所以 ≥ > · ，且 ?發(fā)散，k>0，k為常數(shù)，故 ?發(fā)散。

用例2的方法進(jìn)一步可證明當(dāng)k≥4時(shí)有an≤cnk-2，c為常數(shù)。特別地有以下結(jié)論：

例3 設(shè)an= x 4dx，證明an≤ ，并討論 ?的斂散性。

證明 類似例2 的方法，將區(qū)間0， 分成0， 和 ， 兩個(gè)小區(qū)間，有

此時(shí)， ≥ ，盡管 ?收斂 ，但由比較判別法知 ?不一定收斂，所以n≥4時(shí) ?的斂散性不能確定。

2 結(jié)論

通過以上討論，對an= x ?dx，k≥3時(shí)，有an≤ ，從而 ≥ ，所以k=3時(shí)， ?發(fā)散，而k≥4時(shí)，級數(shù) ?的斂散性不明確。在不等式的放縮過程中，即使你的放縮過程是正確的，也不一定能得到想要證明的結(jié)論。所以不等式的放縮非常靈活，需要針對于不同問題中的條件和結(jié)論選擇合適的方法。

【參考文獻(xiàn)】

[1]邵劍波.對比值sinnx/sinx估計(jì)的改進(jìn)與推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1999（11）：61.

[2]劉麗娜.帶絕對值符號的函數(shù)的積分法[J].高等數(shù)學(xué)研究，1999（04）：26-28.

[3]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義（上冊）[M].第五版.北京：高等教育出版社，1996：325-331.

[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].第四版，北京：高等出版社，2010.6.