基于“四能”的學(xué)習(xí)內(nèi)容開發(fā)與實踐①
——以“三角形分割為兩個等腰三角形”的探究為例

張 勃 伍春蘭

(北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)第二中學(xué) 102488； 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 100120)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出了“運用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”的“四能”總目標(biāo). 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》也提出了“提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”的“四能”課程目標(biāo). 因此，在核心素養(yǎng)大背景下，如何基于學(xué)生“四能”的提升，開發(fā)學(xué)習(xí)內(nèi)容并實施是值得深入研究的.

下面以“三角形分割為兩個等腰三角形”的探究為例，闡述我們的實踐與思考.

1 三角形分割

任意一個三角形都可以從一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段(分割線)把三角形分割成兩個小三角形. 但是如果分割后的小三角形是特殊的，則被分割的三角形就要有一定的條件限制. 探討何種三角形分割后符合目標(biāo)定位的小三角形，或者已知的三角形分割后是否存在符合目標(biāo)定位的小三角形，可以考量學(xué)生的思維品質(zhì)，以及分析問題、解決問題的能力. 因此近年(模擬)中考，涉及三角形分割的試題數(shù)見不鮮.

比如，2014年南京市建鄴區(qū)中考數(shù)學(xué)一模27題，將三角形分割為一個等腰三角形和一個直角三角形，稱分割線為伴侶分割線，并探討伴侶分割線存在的三角形角度的關(guān)系. 再如，2016年寧波市中考數(shù)學(xué)25題，將三角形分割為一個等腰三角形和一個與原三角形相似的三角形，稱分割線為完美分割線，并證明或求解與完美分割線相關(guān)的問題. 又如，2016寧波市北侖區(qū)中考一模25題，將三角形分割為兩個等腰三角形，稱分割線為特異線，并證明或求解與特異線相關(guān)的問題.

特異線存在的經(jīng)典三角形有兩類，一類是黃金三角形(頂角為36°或108°的等腰三角形)，因其腰與底之比成黃金比而得名. 有趣的是分割后得到的兩個小三角形不僅還是黃金三角形(其中一個與原黃金三角形相似，見圖1和圖2)，而且分割線將對邊分割成黃金比的線段. 另一類是直角三角形，由“斜邊中線等于斜邊一半”的定理，易證明結(jié)論的正確.

圖2

文獻(xiàn)[1]證明了非直角三角形可分割為2個等腰三角形的充要條件是: 有兩個內(nèi)角之比為1∶2或1∶3，而且這兩角中的較小者小于π/4.

2 文獻(xiàn)分析

對于分割成兩個等腰三角形的三角形，文獻(xiàn)[2-4]都采用了分類的方式詳細(xì)探討. 文獻(xiàn)[2]按三角形三個角的關(guān)系：3個角相等、2個角相等(頂角小于底角；頂角大于底角)、3個角都不相等的三角形分類探索；文獻(xiàn)[3]先按角將三角形分類，再按三角形最小角為分割后的小等腰三角形的頂角、底角分類探究；文獻(xiàn)[4]按三角形類型(直角三角形、一般三角形、等腰三角形)分類探討. 上述文獻(xiàn)雖然結(jié)論還不完備，但邏輯還是清楚的.

一些教師以“三角形分割為兩個等腰三角形”為主題嘗試課堂教學(xué)，從問題解決[5]、數(shù)學(xué)活動課[6]、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗[7]、支架式教學(xué)理論指導(dǎo)[8]等視角積極探索，為相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)提供了經(jīng)驗.

3 教學(xué)實踐

3.1 第一次教學(xué)實踐

3.1.1引出猜想

教師通過創(chuàng)設(shè)情境或提出問題(見表1)，使學(xué)生明確了研究方向，猜想出具有2倍角、3倍角關(guān)系的一般三角形可以分割為兩個等腰三角形．

表1 教師創(chuàng)設(shè)的情境或提出的問題

3.1.2初步驗證

師：請自己設(shè)計一個三角形，使這個三角形可以被分割成兩個等腰三角形．先獨立思考，然后小組合作.

教師讓完成的小組把分割成兩個等腰三角形的三角形內(nèi)角度數(shù)寫在黑板上，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)角之間的關(guān)系并歸類(見表2).

表2 學(xué)生小組列舉可分割等腰三角形的三角形

3.1.3探索條件

師：剛才有小組發(fā)現(xiàn)，具備2倍角關(guān)系的三角形也有的不能分割成兩個等腰三角形，比如三個內(nèi)角分別是50°、100°、30°的三角形．問題是哪些三角形可以被分割成兩個等腰三角形？

師：在△ABC中，設(shè)∠A=α，∠B=β，∠C=γ(α>β)(圖4)，當(dāng)α，β，γ滿足什么數(shù)量關(guān)系時，△ABC可以被分割成兩個等腰三角形？

圖4

圖5

師：因為α>β，作∠BAD=β(圖5)，這樣就構(gòu)造了一個等腰三角形△ABD. 欲使△ADC也是等腰三角形，要滿足什么條件?

生：只需△ADC有兩個角相等，分類討論.

(1)若∠ADC=∠C，則γ=2β；

(2)若∠ADC=∠DAC，則α-β=2β，有α=3β；

(3)若∠DAC=∠C，則α-β=γ，有α=β+γ．

師：情形(1)、(2)得到的結(jié)論，說明能分割成兩個等腰三角形的三角形，具有2倍或3倍角關(guān)系. 前面遇到過有2倍角關(guān)系的三角形，但不能分割成兩個等腰三角形，因此還要深入探究角的其它限制條件.

當(dāng)γ=2β，因為α>β，所以180°-β-2β>β，解得β<45°；當(dāng)α=3β，因為γ>0°，所以180°-β-3β>0°，解得β<45°.于是得到以下結(jié)論：當(dāng)1倍角小于45°時，有2倍角、3倍角關(guān)系的三角形可分割成兩個等腰三角形.

師：α=β+γ，這是什么特征的三角形？

生：直角三角形.

師：直角三角形如何分割成兩個等腰三角形？

生：利用斜邊中線分割.

3.2 第二次教學(xué)實踐

3.2.1問題的提出

學(xué)生經(jīng)歷黃金三角形(頂角為36°)的分割為兩個等腰三角形后，教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試提出相關(guān)問題，結(jié)果他們基本上提出了預(yù)設(shè)的問題(見表3)，不過也沒有超出預(yù)設(shè)的范圍.

表3 學(xué)生嘗試提出相關(guān)問題歸類(預(yù)設(shè))

3.2.2等腰三角形的分割探究

圖6

嘗試對問題(3)(等邊三角形)的分割未果，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不是所有的等腰三角形都能分割為兩個等腰三角形.

對引例和問題(2)的分割，學(xué)生體會到：不能分割最小角；頂角是銳角和鈍角時，分割的角是不一樣的. 于是在分析滿足什么條件的等腰三角形能分割為兩個等腰三角形時，學(xué)生認(rèn)為需要分類討論：頂角為銳角(見圖6)、直角(已解決)及鈍角(見圖7). 經(jīng)過探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：只有頂角是36°、180°/7、90°及108°的等腰三角形，才能分割為兩個等腰三角形.

圖7

3.2.3一般三角形的分割探究

4個能分割的等腰三角形，除了有兩個角相等，學(xué)生發(fā)現(xiàn)還有兩個角具備2倍或3倍的關(guān)系，提出猜想：具有2倍或3倍角的關(guān)系的一般三角形，可能分割為兩個等腰三角形. 為了驗證猜想，按照特殊到一般的原則，教師引導(dǎo)學(xué)生挑選具備2倍或3倍角的關(guān)系的特殊三角形(見表4)，然后嘗試分割積累活動經(jīng)驗，最后探究一般三角形分割成兩個等腰三角形的條件.

表4 具備2倍或3倍角的關(guān)系的三角形(舉例)

4 思考建議

4. 1 “四能”的培養(yǎng)既需要活動經(jīng)驗的支撐，更需要理性思考的融入

學(xué)生在本節(jié)課學(xué)習(xí)之前，對三角形的分割是有體驗的. 比如中線將三角形分割為2個等(面)積三角形，高線可將三角形分割為2個直角三角形. 換個角度觀察中線、高線，不僅對這兩個重要線段有了新的認(rèn)識，也喚起了學(xué)習(xí)本節(jié)課的活動經(jīng)驗.

專題課是一種普遍教學(xué)形態(tài)，教師往往將同一類考(習(xí))題聚在一起組成一個專題，旨在學(xué)會解決這類問題的套路. 學(xué)生缺少題目來龍去脈的考察，題目之間關(guān)聯(lián)的分析，以及思想方法的感悟. 因此，將一個特殊問題變式為一類問題的專題課，在日常教學(xué)中并不多見. 所以三角形分割的第一次教學(xué)實踐，得到很多觀摩教師的好評. 但我們也發(fā)現(xiàn)一些不足，主要是學(xué)生的思維參與欠缺.

在第二次教學(xué)實踐中，學(xué)生兩次經(jīng)歷了從特殊到一般的探究，特殊情形的分割，不僅讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出了問題，也為分析、解決問題提供了方向. 同時，第一次從特殊到一般的探究(等腰三角形的分割)為第二次探究(一般三角形的分割)提供思路和方法. 在整個活動中思考貫穿始終，并在活動前后通過交流促進(jìn)學(xué)生思考. 作為延拓，鼓勵學(xué)生就三角形分割，發(fā)現(xiàn)、提出新的研究問題(作為作業(yè))，比如，研究三角形分割為一個等腰三角形和一個直角三角形的條件，并分析解決問題.

4.2 教師要成為學(xué)習(xí)資源的研究者和開發(fā)者

教師通過對典型問題的多角度的審視與探究，將適宜學(xué)生學(xué)習(xí)的、富含數(shù)學(xué)思維價值的資源開發(fā)成教學(xué)內(nèi)容. 經(jīng)歷生成式的探究教學(xué)，實現(xiàn)鞏固“四基”、感悟思想、獲得經(jīng)驗的近期目標(biāo)，也為提升“四能”、涵養(yǎng)核心素養(yǎng)的遠(yuǎn)期目標(biāo)“添磚加瓦”.

4.3 信息技術(shù)成為探究教與學(xué)的工具

非直角三角形分割為2個等腰三角形，當(dāng)兩個內(nèi)角之比為1∶2或1∶3時，許多研究者(教師)都忽略了“較小者小于π/4”這個條件，包括已發(fā)表的研究成果. 事實上這個條件對初中生也是不易發(fā)現(xiàn)的，所以師生借助動態(tài)軟件啟發(fā)思考，突破難點是非常有裨益的. 比如，兩個內(nèi)角之比為1:2(∠A:∠B)的三角形，分別從頂點C(見圖8)、頂點B(見圖9)引分割線，利用滑動條的變動，感受∠A范圍的限制. 當(dāng)從頂點C分割時，∠A需要小于45°；當(dāng)從頂點B分割時，∠A只能等于45°(見圖10)或等于36°(見圖11). 當(dāng)然動態(tài)課件的嵌入，既可作為理性證明后的直觀演示，也可作為理性思考前的合理猜想，還可作為理性與直觀交互思考的媒介. 因此何時、怎樣融入信息技術(shù)，需要教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)與學(xué)情抉擇.

圖8

圖9

圖10

圖11

4.4 “四能”成為核心素養(yǎng)落地的現(xiàn)實力量

目前課程構(gòu)建、開發(fā)與實施都聲稱基于核心素養(yǎng)的，然而實際上有些與“核心素養(yǎng)”立意存在較大的出入. 因此以課程為載體，在構(gòu)建、開發(fā)與實施過程中，以“四能”為抓手是促進(jìn)核心素養(yǎng)落地的有效途徑.