基于元認(rèn)知理論的數(shù)學(xué)教學(xué)有效性的實(shí)踐研究
——以兩角和與差的正切公式的教學(xué)實(shí)踐為例

譚瑞軍

(江蘇省華羅庚中學(xué) 213200)

元認(rèn)知概念由美國(guó)心理學(xué)家弗萊維爾(Flavell，1971) 提出后，逐漸成為當(dāng)代教育心理學(xué)的熱點(diǎn)之一.弗萊維爾認(rèn)為元認(rèn)知是個(gè)體對(duì)本身認(rèn)知系統(tǒng)的內(nèi)省知識(shí)，即認(rèn)知的認(rèn)知.具體地說，就是關(guān)于個(gè)體自我認(rèn)知過程的知識(shí)和調(diào)節(jié)這些過程的能力，即個(gè)體對(duì)思維活動(dòng)的自我體驗(yàn)、自我觀察、自我監(jiān)控和自我調(diào)節(jié).它在個(gè)體的整個(gè)認(rèn)知活動(dòng)過程中發(fā)揮了決定性的作用，能控制調(diào)節(jié)認(rèn)知活動(dòng)的方向和內(nèi)容，并能促進(jìn)個(gè)體認(rèn)知思維能力的提升[1].數(shù)學(xué)是建立在對(duì)具體物象的反省抽象基礎(chǔ)之上的研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，也就是說數(shù)學(xué)思維在很大程度上是反省思維，這恰恰是元認(rèn)知的一個(gè)重要方面.從數(shù)學(xué)問題的解決過程看，個(gè)體通過對(duì)思維路徑的生成、評(píng)估和調(diào)節(jié)，使問題得到圓滿的解決，這些活動(dòng)都包含了元認(rèn)知成分.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)就是造就學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu),并培育其后繼發(fā)展成長(zhǎng)需要的必備品格和關(guān)鍵能力.高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)從元認(rèn)知的視角出發(fā)，努力開展提升教學(xué)有效性的實(shí)踐探究.以下筆者就以兩角和與差的正切公式教學(xué)實(shí)踐為例談一些粗淺的想法.

1 從元認(rèn)知視角尋找知識(shí)與認(rèn)知邏輯的嵌合點(diǎn)，系統(tǒng)敘寫教學(xué)目標(biāo)

《學(xué)記》有言“學(xué)然后知不足，教然后知困，知不足后能自反也；知困然后能自強(qiáng)也.故曰教學(xué)相長(zhǎng)也”.這里所說的自反和自強(qiáng)指的就是元認(rèn)知在教和學(xué)的過程的體現(xiàn).就課堂教學(xué)目標(biāo)而言，它是指課堂教學(xué)活動(dòng)實(shí)施的方向和預(yù)期達(dá)成的結(jié)果，是學(xué)生所獲得的能力與品格的狀態(tài)的描述，總體來說其成分應(yīng)該是學(xué)科必備品格和關(guān)鍵能力[2].因此，課堂教學(xué)的目標(biāo)應(yīng)該主要以學(xué)生學(xué)習(xí)后的素養(yǎng)狀態(tài)來表達(dá)，也就是需要明確課堂教學(xué)的知識(shí)、能力和素養(yǎng)目標(biāo)，進(jìn)而基于元認(rèn)知理論制定和選擇有效的教學(xué)策略.

在高中數(shù)學(xué)兩角和與差的正切公式教學(xué)中，?？吹竭@樣的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定：1.理解并熟記兩角和與差的正切公式； 2. 會(huì)應(yīng)用公式解決求值問題.這樣的表述對(duì)教學(xué)有效性的理解是膚淺的，偏重學(xué)科知識(shí)的掌握，而學(xué)科素養(yǎng)、能力、思想乃至價(jià)值觀的發(fā)展指向敘寫缺失.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上.這就要求教師在研究教材、教法同時(shí)，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的研究，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，關(guān)注學(xué)習(xí)能力、情感、態(tài)度和價(jià)值觀的培養(yǎng)過程，并以元認(rèn)知的視角加以激發(fā)調(diào)適.課堂教學(xué)目標(biāo)的預(yù)設(shè)敘寫是非常重要的，預(yù)設(shè)不充分，敘寫不周全，就難以較好的激發(fā)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的積極性，學(xué)生各個(gè)維度的能力素養(yǎng)就得不到預(yù)期的發(fā)展.因此，課堂教學(xué)目標(biāo)的預(yù)設(shè)敘寫是教學(xué)活動(dòng)開展的首要環(huán)節(jié)，基于元認(rèn)知視角，我們應(yīng)該有以下認(rèn)識(shí)：

(1)整體把握教材是有效教學(xué)的前提.教材內(nèi)容的安排，通常蘊(yùn)涵了知識(shí)發(fā)生發(fā)展的線索.教師首先要深入研讀文本，明晰教學(xué)內(nèi)容，縱向要把握知識(shí)發(fā)生發(fā)展的來龍去脈，橫向要溝通方法思想的內(nèi)在聯(lián)系，從而把握其在整個(gè)單元乃至中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的地位和作用.其次，教師還需要能對(duì)教學(xué)內(nèi)容所承載的教育價(jià)值進(jìn)行分析，探究挖掘教學(xué)內(nèi)容背后蘊(yùn)涵的學(xué)科素養(yǎng)及關(guān)于人的發(fā)展的價(jià)值：知識(shí)和方法的應(yīng)用價(jià)值，知識(shí)探索或應(yīng)用過程中的思維價(jià)值，學(xué)習(xí)過程中對(duì)于人的情感、態(tài)度、價(jià)值觀形成的價(jià)值.只有這樣，才能將知識(shí)、方法建構(gòu)成體系，才能促進(jìn)學(xué)科眼光、思維和思想的融合升華[3].兩角和與差的正切公式是高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中的重要節(jié)點(diǎn)，既是三角函數(shù)和平面向量知識(shí)的進(jìn)一步延伸，又是學(xué)習(xí)二倍角公式等后繼內(nèi)容的基礎(chǔ)，起著承上啟下的重要作用.而無論是兩角和與差的余弦、正弦公式，還是正切公式，都很難通過直覺猜測(cè)結(jié)論，一般只能通過邏輯推理獲得正確的結(jié)果.因此，其獲得研究思路和證明的過程往往是結(jié)合在一起的，而且在培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)上是把握教材的重要體現(xiàn).

(2)深入掌握學(xué)情是有效教學(xué)的保證.掌握學(xué)情包括教學(xué)對(duì)象的心理特點(diǎn)、知識(shí)基礎(chǔ)、思想狀態(tài)、思維方式、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)態(tài)度等，要把學(xué)生置于教學(xué)的核心地位.教師應(yīng)該以學(xué)生的心智發(fā)展為根本，深入了解學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平和情感狀態(tài)，研究學(xué)生的發(fā)展需要，在準(zhǔn)確把握學(xué)生的認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上，確定教學(xué)目標(biāo)和實(shí)施路徑，預(yù)測(cè)教學(xué)過程中學(xué)生可能發(fā)生的認(rèn)知困難并設(shè)計(jì)相應(yīng)的策略.高一年級(jí)學(xué)生思維方式大都以初中經(jīng)驗(yàn)型抽象邏輯思維為主，對(duì)常量、定量的計(jì)算較為熟練，而高中數(shù)學(xué)內(nèi)容對(duì)理論型抽象邏輯思維能力要求較高，多研究變量、字母，不但注重定量計(jì)算，還注重理論分析，常常需要作定性的研究和說明.另外，許多學(xué)生的學(xué)習(xí)方式還未能適應(yīng)高中階段學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，他們往往喜歡直接記憶相關(guān)的數(shù)學(xué)公式及性質(zhì)，在解題中常常套用結(jié)論，卻對(duì)結(jié)論的來源不求甚解，對(duì)知識(shí)方法的應(yīng)用也不能自覺的進(jìn)行變通和遷移.基于以上認(rèn)識(shí)，從元認(rèn)知理論出發(fā)，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)可作如下系統(tǒng)表述.

知識(shí)目標(biāo)：

1.通過利用兩角和與差的余弦公式對(duì)正弦、正切公式的探究，加強(qiáng)對(duì)和差角公式的認(rèn)識(shí).

2.熟悉推導(dǎo)兩角和與差的正弦、正切公式的過程，體會(huì)三角變換的規(guī)律、技巧及代換法的作用.

3.學(xué)會(huì)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用：正用、逆用與變形用.

能力目標(biāo)：

1.通過對(duì)兩角和與差的正弦、正切公式的探究和推導(dǎo)，提高學(xué)生邏輯推理能力.

2.通過公式的靈活應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的方程思想和變換能力.

3.培養(yǎng)學(xué)生思維的有序性、表述的條理性和推理的嚴(yán)密性.

素養(yǎng)目標(biāo)：

1.利用公式的推導(dǎo)過程，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)事物間的內(nèi)在聯(lián)系.

2.培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系、變化的辨證唯物主義觀點(diǎn)分析問題.

3.通過教師啟發(fā)引導(dǎo)，重視數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，重視培養(yǎng)學(xué)生求知精神和解決問題的能力.

4.通過對(duì)公式的觀察對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩角和與差的正弦、余弦、正切值與單角的三角函數(shù)值之間的和諧、輪換結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)公式的自然美、抽象美.

2 從元認(rèn)知視角把握教學(xué)進(jìn)程與策略的切入點(diǎn)，構(gòu)建生態(tài)教學(xué)進(jìn)程

現(xiàn)代教學(xué)系統(tǒng)一般由教師、學(xué)生、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)媒介、教學(xué)策略和教學(xué)評(píng)價(jià)等六個(gè)要素組成，各要素的運(yùn)動(dòng)變化具體表現(xiàn)為教學(xué)活動(dòng)進(jìn)程.教學(xué)活動(dòng)進(jìn)程是課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的核心，教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)任務(wù)、教學(xué)對(duì)象的分析、教學(xué)媒介的應(yīng)用、教學(xué)策略的選擇等，都將在教學(xué)活動(dòng)進(jìn)程中得到具體體現(xiàn)[4].從元認(rèn)知視角出發(fā)，要將諸多要素構(gòu)建為有效的教學(xué)生態(tài)系統(tǒng)，我們應(yīng)重點(diǎn)把握如下方面：

一是教學(xué)活動(dòng)進(jìn)程規(guī)劃.教學(xué)活動(dòng)進(jìn)程是為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)而設(shè)計(jì)的，可以單一教學(xué)片段對(duì)應(yīng)單或多個(gè)教學(xué)目標(biāo)，也可以多個(gè)教學(xué)片段對(duì)應(yīng)單或多個(gè)目標(biāo).從本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情分析來看，無論是兩角和與差的余弦、正弦公式，還是正切公式，形式上都比較復(fù)雜，高一學(xué)生很難直觀猜想到正確結(jié)論，一般只能通過邏輯推理獲得正確的結(jié)果.因此，獲得研究思路和證明過程是共生交織在一起的.現(xiàn)有的高中數(shù)學(xué)教材通過具有同化與形成意義的思考過程，依次提出求兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的問題，然后再進(jìn)行相應(yīng)的應(yīng)用和變形訓(xùn)練，這樣的進(jìn)程安排符合學(xué)科教學(xué)內(nèi)容的邏輯特點(diǎn)和學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律.

二是教學(xué)策略的制定.教學(xué)策略是為了實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，完成教學(xué)任務(wù)所采用的方法、步驟、媒介和組織形式等教學(xué)措施構(gòu)成的綜合性方案.其主要作用就是根據(jù)特定的教學(xué)條件和需要，制定出向?qū)W生提供教學(xué)信息、引導(dǎo)其活動(dòng)的最佳方式、方法和步驟.在教學(xué)設(shè)計(jì)中注重觀察力、聯(lián)想能力的培養(yǎng)，從數(shù)學(xué)本質(zhì)到學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，系統(tǒng)設(shè)計(jì)培養(yǎng)學(xué)生直覺想象、邏輯推理等方面的素養(yǎng)，從而有效提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力.因此，在教學(xué)引入階段問題情境的創(chuàng)設(shè)上，應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想正切與余弦、正弦的同角三角函數(shù)關(guān)系，在兩角和的余弦、正弦公式的基礎(chǔ)上推導(dǎo)兩角和的正切公式，并形成一系列的問題串，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，并通過小組合作等教學(xué)組織形式探究解決下列問題：

(1)正余弦之間如何轉(zhuǎn)化，可否利用cos (α+β)公式來推導(dǎo)sin (α+β)的公式？

(2)sin (α-β)公式如何推導(dǎo)？你能用幾種方法來推導(dǎo)？

(3)tan (α+β)如何由tanα和tanβ表示出來？使用切化弦能否解決此問題？

(4)你能推導(dǎo)出tan (α-β)公式嗎？有幾種方法？

在得到兩角和與差的正切公式后的新知鞏固階段，就應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生厘清兩角和與差的余弦、正弦、正切公式之間的邏輯聯(lián)系，并通過適量的例習(xí)題訓(xùn)練加以強(qiáng)化鞏固，然后應(yīng)用適當(dāng)?shù)拿浇閷?duì)學(xué)習(xí)成果加以總結(jié)展示.譬如板書就可以設(shè)計(jì)成如下形式：

公式與結(jié)論展示區(qū)學(xué)生成果展示區(qū)多媒體課件展示區(qū)學(xué)生成果展示區(qū)

再把諸如兩角和與差的正弦、余弦、正切共6個(gè)公式之間的邏輯聯(lián)系框圖在公式與結(jié)論展示區(qū)板書，學(xué)生典型的證明和解題方法在學(xué)生成果展示區(qū)展示，與多媒體展示區(qū)共同形成高效的視覺傳遞效果.(邏輯聯(lián)系框圖如下圖所示)

三是課堂教學(xué)評(píng)價(jià).現(xiàn)代認(rèn)知科學(xué)認(rèn)為，“知識(shí)是不能被傳遞的，教師在課堂上傳遞的只是信息，知識(shí)必須通過學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)才能獲得”[5].學(xué)習(xí)就是一個(gè)不斷打破原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)平衡發(fā)生同化或順應(yīng)組建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)達(dá)到新的平衡的過程，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以看成是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程.而課堂教學(xué)中適切而形式多樣的評(píng)價(jià)能觸及學(xué)生的認(rèn)知邊界，激發(fā)新舊認(rèn)知結(jié)構(gòu)和方式的沖突，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動(dòng)學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)過程中不斷反省認(rèn)識(shí)自我，在問題解決中調(diào)整、優(yōu)化認(rèn)知思維方式，是教學(xué)生態(tài)系統(tǒng)的重要活力源泉.在此立場(chǎng)下我們對(duì)照梳理本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和進(jìn)程，重點(diǎn)把握以下幾個(gè)契機(jī)：

(1)在新知探究的問題情境，尤其是在探求tan (α+β)與tanα，tanβ的關(guān)系式環(huán)節(jié)，教師要對(duì)學(xué)生的思維過程和方式進(jìn)行及時(shí)的評(píng)價(jià)，通過展示、對(duì)比和分析，促動(dòng)學(xué)生回顧兩角和與差的余弦、正弦等舊有公式的推導(dǎo)過程，把思維路徑從通過個(gè)例盲目猜想調(diào)整到方法類比、函數(shù)轉(zhuǎn)化的邏輯推理上來，為公式的獲得證明尋找到較為有效的推演路徑.在總結(jié)性評(píng)價(jià)時(shí)，我們要引導(dǎo)學(xué)生厘清兩角和與差的余弦、正弦、正切公式之間的邏輯結(jié)構(gòu)關(guān)系，通過邏輯聯(lián)系框圖讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到余弦和正弦公式之間本質(zhì)上的關(guān)聯(lián)；而由正切公式推導(dǎo)余弦和正弦公式理論上可行，實(shí)際上很困難(余弦、正弦、正切的同角三角函數(shù)關(guān)系比較復(fù)雜).這樣，教材的編寫意圖(“兩角和與差的余弦公式”→ “兩角和與差的正弦公式” →“兩角和與差的正切公式”)將一目了然.

(2)在公式獲得證明之后，觀察分析公式的特點(diǎn)時(shí)，要通過引導(dǎo)性的評(píng)價(jià)，一方面讓學(xué)生從運(yùn)算形式特征的角度觀察總結(jié)，公式Tα±β涵蓋了代數(shù)運(yùn)算中最基本的和、差、積、商運(yùn)算，且兩者之間的加、減符號(hào)呈現(xiàn)了一定的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，這樣的對(duì)稱特性源自于公式Sα±β和Cα±β的結(jié)構(gòu)特征以及正切函數(shù)的奇偶性(tan(-β)=-tan (β)).另一方面讓學(xué)生思考公式成立的必要條件，從關(guān)注cosα·cosβ≠0這一適用條件出發(fā)，證明tan (α+β)有意義與cos (α+β)≠0及1-tanαtanβ≠0是等價(jià)的，這些過程中的觀察、對(duì)照和調(diào)整是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的基礎(chǔ)生成點(diǎn).

(3)在新知鞏固的環(huán)節(jié)中，從代數(shù)式變形以及不同形式變量相互表示的角度，通過例習(xí)題的講解訓(xùn)練引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，公式Tα±β可以變成“角的正切的和、差或積等于角的和、差的正切”的形式，即tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ)等，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)公式運(yùn)用的靈活性，激發(fā)學(xué)生敢于改變創(chuàng)新的勇氣和熱情.

3 從元認(rèn)知視角探求學(xué)科素養(yǎng)與表征的結(jié)合點(diǎn)，存續(xù)教學(xué)內(nèi)涵的價(jià)值

布盧姆說：“人們無法預(yù)料課堂教學(xué)所產(chǎn)生的成果的全部范圍.”課堂教學(xué)系統(tǒng)構(gòu)成的復(fù)雜性和因此帶來的學(xué)生發(fā)展的多元性，其對(duì)學(xué)生的全方位、深層次的影響不是完全以我們的主觀意志為轉(zhuǎn)移的.但我們可以預(yù)見的是，課堂教學(xué)內(nèi)涵的育人價(jià)值會(huì)在課外持續(xù)延伸.從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的結(jié)構(gòu)來看，課堂教學(xué)僅僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)生的一個(gè)起點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)，由此產(chǎn)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要和目的是其內(nèi)涵的主要價(jià)值.一方面，學(xué)習(xí)的需要決定了課堂教學(xué)情境的意義，對(duì)學(xué)生來說，這是課堂教學(xué)情境能否成為“長(zhǎng)效刺激”，從而“產(chǎn)生”數(shù)學(xué)學(xué)科興趣的關(guān)鍵.另一方面，學(xué)習(xí)的目的是指引數(shù)學(xué)活動(dòng)方向的決定性要素，兩者共同作用形成了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).兩角和與差的正切公式的教學(xué)就是要通過三角公式的獲得和證明，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)看似紛繁復(fù)雜的代數(shù)式背后所蘊(yùn)涵的對(duì)稱美、邏輯美和方法美，從而產(chǎn)生持續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣動(dòng)機(jī).

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的機(jī)制來看，任何數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)都是對(duì)外部的信息結(jié)合內(nèi)在的資源進(jìn)行對(duì)比融合加工處理的過程.這個(gè)過程包含信息的輸入、加工、輸出和反饋等環(huán)節(jié).其中，信息的輸入——輸出環(huán)節(jié)的基本功能是實(shí)現(xiàn)信息的變換，使外來信息得以接收、加工、儲(chǔ)存和提取，這一環(huán)節(jié)的基本心理動(dòng)作是各種形式與各種水平的編碼與譯碼活動(dòng).反饋環(huán)節(jié)的功能在于實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的控制，通過回收輸出信息的結(jié)果與原定目的進(jìn)行對(duì)比，從而檢驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成效，或者調(diào)節(jié)信息的再輸入、再加工或再輸出，最終使學(xué)習(xí)達(dá)到預(yù)期成效.由此反觀我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，教師就應(yīng)該充分挖掘?qū)W科的育人內(nèi)涵，通過課堂教學(xué)生態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)建，促動(dòng)學(xué)生生成盡可能多的學(xué)科認(rèn)知方面的方法和思維，為自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)的擴(kuò)充重組提供充足的養(yǎng)分.教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生從數(shù)學(xué)學(xué)科的整體聯(lián)系來理解問題，在問題解決中不斷監(jiān)控、反思和調(diào)整解題策略，要經(jīng)常激發(fā)學(xué)生自省設(shè)問：“我可以換一種方式看這個(gè)問題嗎?”、“這個(gè)問題與我以前遇到的類似嗎?”.兩角和與差的正切公式的證明是本節(jié)教學(xué)中的核心環(huán)節(jié)，在此環(huán)節(jié)學(xué)生除了通過切化弦這樣的代數(shù)式變形證明公式，也會(huì)很自然地從正切的定義，即三角形或單位圓中的幾何表示中尋找思路.在此基礎(chǔ)上，我們應(yīng)該指出：證明兩角差的余弦公式時(shí)，除了基于坐標(biāo)表示的向量方法，人教版教材還給出了基于單位圓的幾何方法；而同一個(gè)角的余弦、正弦和正切之間具有等價(jià)關(guān)系.在學(xué)生認(rèn)識(shí)到三角函數(shù)具有形(幾何)和數(shù)(解析)雙重表征的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生得出銳角兩角和的正切公式的幾何證明：銳角的正切是直角三角形中的兩條直角邊之比，從而拼接出如右圖所示的四個(gè)直角三角形.至此，學(xué)生體會(huì)了“數(shù)與形以及演繹”的知識(shí)整體聯(lián)系，也進(jìn)一步完善了頭腦中的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為后續(xù)更高水平的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).

基于元認(rèn)知理論的數(shù)學(xué)教學(xué)有效性的實(shí)踐，不僅能發(fā)揮學(xué)生主體作用，而且能通過核心問題的探究解決，培養(yǎng)學(xué)生積極進(jìn)取的態(tài)度、理性思辨的能力和善于反思調(diào)控、勤于歸納總結(jié)的習(xí)慣，這也是以學(xué)生為本的教育理念的體現(xiàn).我們應(yīng)該從元認(rèn)知理論出發(fā)，深入研究學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、認(rèn)知過程、認(rèn)知策略的變化與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的交互作用過程，更加深刻地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的心理機(jī)制問題，并以此在教學(xué)實(shí)踐中尋求高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性提升的著力點(diǎn).