解密數(shù)學抽象 探索教學策略①

張金良

(浙江省教育廳教研室 310012)

眾所周知，抽象無處不在，抽象無處不有，在人們?nèi)粘Ｉ钆c教學活動中依據(jù)各自的理解被廣泛使用著，比如“這個內(nèi)容太抽象的”，“你用的方法太抽象了”，等等，但這里所說的抽象，僅僅是人們對抽象的一種通俗理解，把憑借生活經(jīng)驗不易理解的東西歸結(jié)為抽象；但作為學術(shù)定義，它有一個明確的界定，“抽象”一詞最早來自拉丁語中的“abstracio”，表示排除、抽取的意思.《辭海》中將“抽象”定義為：從許多事物中，舍棄個別的、非本質(zhì)的屬性，抽象出共同的、本質(zhì)屬性或特征的思維過程，由此可見抽象的過程是一個概括、分離和提取的過程.抽象是思維的基礎(chǔ)，是對同類事物的刻畫與構(gòu)造.而數(shù)學抽象又有怎樣的內(nèi)涵與特點？數(shù)學教學實踐活動又如何去培養(yǎng)呢？下面作深入的分析，供參考.

1 數(shù)學抽象的內(nèi)涵及其相關(guān)概念

數(shù)學抽象是指舍棄事物的一切物理屬性，得到一個數(shù)學對象的思維過程.它主要從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系兩方面抽象出數(shù)學概念及概念之間的聯(lián)系，從事物與事物之間的聯(lián)系、事物內(nèi)部要素之間的聯(lián)系中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學語言加以表征.通俗地講數(shù)學抽象是通過觀察、分析，撇開數(shù)學對象的外部的、偶然的、非數(shù)學的(物理的、化學的、社會的)東西，分析與提煉出其本質(zhì)、內(nèi)在、必然的東西，從空間形式和數(shù)量關(guān)系上揭示數(shù)學對象的本質(zhì)和規(guī)律的一種數(shù)學研究方法．數(shù)學抽象素養(yǎng)是通過對具體而生動的數(shù)學問題進行分析與提煉，概括出一般結(jié)論，并應用于解決新的問題之中來體現(xiàn).數(shù)學抽象反映了數(shù)學的本質(zhì)特征，是數(shù)學六大核心素養(yǎng)的核心，貫穿于數(shù)學教學的全過程.

從內(nèi)容上看，數(shù)學抽象包括數(shù)學概念、命題、方法和體系的抽象.其中數(shù)學概念的抽象是指通過抽象活動形成數(shù)學概念；數(shù)學命題的抽象是指通過抽象建立數(shù)學概念的因果關(guān)系，形成命題和規(guī)則；數(shù)學方法的抽象是指通過對數(shù)學操作程序的抽象，形成數(shù)學方法、數(shù)學思想和解決問題的策略；數(shù)學體系的抽象是指通過對概念、命題、方法和思想的抽象，建立概念、命題(規(guī)則)之間的普遍聯(lián)系，形成數(shù)學體系.

數(shù)學抽象具有一些典型的特點.鄭毓信在“數(shù)學抽象的基本準則：模式建構(gòu)形式化原則”(《數(shù)學通報》，1990(11)：9-11)中認為數(shù)學抽象具有理想化、精確化、模式化的特點，李昌官在《數(shù)學抽象及其教學》文中，指出數(shù)學抽象具有純粹性、精確性、理想化、模式化、形式化五個特點.兩位學者已表述的很正確，本文吸收上述的觀點，用更具體的語言再說說其特點：數(shù)學抽象具有高度概括，結(jié)論更具有一般性，表達簡約、精確、能用數(shù)量化、符號化、公式化和圖形化刻畫.

數(shù)學抽象的類型很多，根據(jù)抽象對象的不同，數(shù)學抽象可分為性質(zhì)抽象、關(guān)系抽象、等價抽象等.所謂性質(zhì)抽象是指關(guān)于研究對象某一方向的性質(zhì)或?qū)傩缘某橄?；所謂關(guān)系抽象是指關(guān)于研究對象的數(shù)量關(guān)系或空間位置關(guān)系的抽象，如直線與平面平行、平面與平面垂直是關(guān)系抽象的結(jié)果；等價抽象是按某種等價關(guān)系，抽取一類對象共同性質(zhì)特征的抽象.自然數(shù)概念是等價抽象的結(jié)果，其本質(zhì)是某類等價集合的標記，即集合間可以建立一一對應關(guān)系，它們是“對等”的．根據(jù)抽象方向的不同，數(shù)學抽象可分為同向與逆向思維的數(shù)學抽象，悖向思維的數(shù)學抽象與審美直覺的數(shù)學抽象.所謂同向思維的數(shù)學抽象，即延續(xù)已有的思維方向思考問題，它主要包括弱抽象和類比聯(lián)想等方法；其中的弱抽象，也叫做“擴張式抽象”，是指對事物某一方面特征(或側(cè)面)加以概括，從而形成比原對象更為一般的概念或理論的一種抽象方式．如“正方體→長方體→直平行六面體→直棱柱→斜棱柱”順序進行的抽象就是弱抽象．弱抽象的特點是研究對象的外延不斷擴大，內(nèi)涵不斷縮小，把結(jié)論推廣到更一般的情形；逆向思維的數(shù)學抽象.指與原思維方向反向地思考與探究問題，它主要包括強抽象、精確化與完備化的思維方法．其中的強抽象，也叫做“強化結(jié)構(gòu)式抽象”，是指通過擴大研究對象的特征，從而形成比原對象更為特殊的概念或理論的一種抽象方式．如按“斜棱柱→直棱柱→直平行六面體→正四棱柱→正方體”順序進行的抽象就是強抽象．強抽象的特點是研究對象的外延不斷縮小，內(nèi)涵不斷擴大，更深刻地認識事物某一方面的特征.悖向思維的數(shù)學抽象，即背離原來的認識并在直接對立的層面上探索新的發(fā)展可能性，是立體型的抽象.

2 數(shù)學抽象的教育意義

數(shù)學抽象是數(shù)學發(fā)展最基本的手段與方式，也是理性思維的主要特征之一，它貫穿于數(shù)學發(fā)生、發(fā)展和應用的各個過程之中，在數(shù)學的產(chǎn)生、發(fā)展與應用中起了不可替代的作用，使得數(shù)學成為高度概括、表達準確、結(jié)論一般、有序多級的體系.也正是數(shù)學抽象使人們獲得數(shù)學概念和規(guī)則，提出數(shù)學命題和模型，形成數(shù)學方法與思想，認識數(shù)學結(jié)構(gòu)與體系.

在數(shù)學抽象核心素養(yǎng)的形成過程中，通過積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗，學生能更好地理解數(shù)學概念、數(shù)學命題、數(shù)學的方法和體系，能通過抽象、概括去認識、理解、把握事物的數(shù)學本質(zhì)，能逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習慣，能在其他學科的學習中主動運用數(shù)學抽象的思維方式解決問題.因此，通過數(shù)學抽象的培養(yǎng)，學生可以很好地理解那些復雜的公式和定理，清楚這些公式和定理的來龍去脈，真正明白其中的含義，在更高的層面上理解數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)，更好地把握數(shù)學知識的本質(zhì)屬性，養(yǎng)成從更一般意義和方法上思考問題的習慣，提升概括抽象能力，促進理性思維的發(fā)展與提高.在數(shù)學學習過程中，學生只有具備了良好的思維水平和數(shù)學抽象素養(yǎng)，才能透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，這對學生來說不僅僅是一個獲取知識的過程，也是一個探究發(fā)展的過程，對于學生的全面發(fā)展都有十分重要的作用和意義.

3 數(shù)學抽象的培養(yǎng)途徑與方法

3.1 了解數(shù)學抽象的基本過程與方法

數(shù)學抽象的基本過程與方法前人已做過許多研究，其中徐利治認為，數(shù)學研究中的抽象思維過程基本上經(jīng)歷四個階段：第一階段主要研究數(shù)學現(xiàn)象問題；第二階段主要是對各種具體數(shù)學屬性進行分析，逐步去掉非本質(zhì)屬性；第三階段，對于已經(jīng)了解其結(jié)構(gòu)的數(shù)學事實，確定其本質(zhì)屬性或特征；第四階段，對基本上被確定的數(shù)學概念進行不斷純化.按照抽象的程度不同，史寧中把數(shù)學抽象分為簡約階段、符號階段、普適階段等三個階段，其中簡約階段主要是把握事物在數(shù)量或圖形方面的本質(zhì)，把繁雜問題簡單化、條理化，并清晰地表達；符號階段主要是去掉具體內(nèi)容，利用符號和關(guān)系術(shù)語，表述已經(jīng)簡約化的事物；普適階段主要是通過假設(shè)和推理，建立法則、模式和模型，在一般意義上描述一類事物的特征或規(guī)律.

史寧中認為，抽象有兩個層次，一個是直觀描述，另一個是符號表達.他指出第一次抽象是有物理背景的，用自然語言表達的，這種抽象具體、直觀，容易創(chuàng)造，但是也容易有反例；第二次抽象的特點是符號化，符號化的特點是挑不出毛病，嚴謹，但是抽象，沒有物理背景.他建議老師在講課時也必須講第一次抽象，講具體的背景，不要遨游于一大堆抽象的符號之間，要有感性認識，要建立起直觀來，有了直觀，才能判斷.站在數(shù)學教學視角，按通常情況下學生學習時認知的先后順序，浙江李昌官把數(shù)學抽象分為感知與識別、分類與概括、想象與建構(gòu)、定義與表征、系統(tǒng)化與結(jié)構(gòu)化[1]等五個階段.事實上，數(shù)學抽象針對一個具體問題或?qū)ο螅紫纫罁?jù)某一要素屬性、進行區(qū)分、提煉、概括，使問題或?qū)ο笞兊妹骼?、簡約和理想化，其次用數(shù)學符號進行表征，使問題或?qū)ο髷?shù)學化，同時進行一般化，普適化，最后進行應用與系統(tǒng)化.最后，用邏輯方法建立概念之間的聯(lián)系，形成概念系統(tǒng).如概念體系，公理系統(tǒng)，新數(shù)學系統(tǒng).

了解數(shù)學抽象的基本過程與方法是引導學生開展數(shù)學抽象的必要條件.在第一次抽象中教師要引導學生通過觀察、類比、聯(lián)想和結(jié)構(gòu)分析，從中區(qū)分提煉出各種屬性，并能建構(gòu)出各種典型模型；在概括和普適化階段中要求教師引導學生把典型模型一般化，通過類比、歸納和聯(lián)想概括出一般化后的數(shù)學對象所具備的本質(zhì)的公共的屬性，并借助式子、圖表等進行表示；在定義與符號化中，則重點要求表達準確、簡約；在系統(tǒng)化階段，則要根據(jù)學生的認知水平進行方向引領(lǐng).

3.2 以數(shù)學概念形成教學為抓手，讓學生學會數(shù)學抽象

章建躍在《樹立課程意識落實核心素養(yǎng)》中提到：“眾所周知，概念教學是數(shù)學教學的重中之重，而得出數(shù)學概念的過程是最典型的數(shù)學抽象的過程”.概念是思維的“細胞”，概念組成命題，命題形成判斷，數(shù)學方法和思想是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括.概念的形成過程是經(jīng)歷豐富的感性認識到深刻的理性認識的轉(zhuǎn)變.在轉(zhuǎn)變的過程中，需要經(jīng)過多層次的分析、比較、抽象和歸納等加工.因此，概念的形成正是高度抽象和概括的過程，對概念的理解過程正是對這種抽象概括內(nèi)容的剖析過程.在教學中，教師選取學生熟悉的典型實例，提供豐富材料，讓學生經(jīng)歷一個完整的概念教學流程：辨別(刺激模式)→分化(各種屬性)→類化(共同屬性)→抽象(本質(zhì)屬性)→檢驗(確認)→概括(形成概念)→形式化(符號表達)，對比數(shù)學抽象的基本方法，熟悉數(shù)學抽象的“基本套路”，在概念形成的學習中學會數(shù)學抽象.從辨別到概括可視為第一次抽象，表現(xiàn)為用自然語言表達的直觀描述；概括到形式化，完成符號表達為第二次抽象.比如在函數(shù)周期性教學時，首先可例舉生活中大量的周期現(xiàn)象，如春夏秋冬四季輪回、海水漲落的潮汐、彈簧振子運動、摩天輪轉(zhuǎn)動有共同特征，經(jīng)過相同時刻所考察對象可重復出現(xiàn)，其次例舉數(shù)學中的周期變化，如“數(shù)列an=1+(-1)n的項”、“f(x)=x-[x]圖象”、“在直角坐標系uOv中，角x的頂點與原點重合，始邊與Ou軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點P(cosx，sinx)．當角x的終邊繞原點從Ou軸的正半軸開始，按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，點P的橫坐標按照由1減少到-1，再由-1增大到1的規(guī)律連續(xù)地、周而復始地變化，縱坐標也有類似的變化規(guī)律”等，同樣有一個共同特征，經(jīng)過相同時刻后考察對象可重復出現(xiàn)，將其特征抽象直觀描述函數(shù)經(jīng)過不同的自變量值，函數(shù)值重復出現(xiàn)，實現(xiàn)第一次抽象，有了這些經(jīng)驗后，用嚴密的數(shù)學語言及f(x+T)=f(x)加以表征實現(xiàn)第二次抽象.

3.3 鼓勵學生自主總結(jié)歸納，養(yǎng)成抽象概括的習慣

學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)是從點點滴滴的細微處開始培養(yǎng)，是日積月累的潛移默化的過程.當我們上完一節(jié)課或者學習完一個章節(jié)時，教師就可引導學生對所學內(nèi)容進行歸納總結(jié).可用列表的方式歸納本章節(jié)的基礎(chǔ)知識是什么，知識間的前后關(guān)聯(lián)是什么，解題的思想方法是什么，解題要令是什么，也可以用畫思維導圖的方式尋找本章節(jié)知識點與數(shù)學思想方法相互間的聯(lián)系.這種概括不但是對所學數(shù)學知識的復習與鞏固，而且從中能鍛煉學生對所學知識的提煉與概括能力，進而培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).例如學習完圓錐曲線可引導學生總結(jié)圓錐曲線是一門用代數(shù)方法研究圓錐曲線幾何性質(zhì)的一門學科，常見的較難題是求軌跡方程及與圓錐曲線有關(guān)的綜合計算問題、范圍問題、最大值最小值問題、是否存在問題、定點定值定向問題、對稱問題、求證問題，解題常用方法有定義法、弦長韋達定理聯(lián)用法、設(shè)而不求整體處理法、設(shè)參用參消參法、平面幾何法等,事實上根據(jù)題型的通法解決問題是從一般到特殊的強抽象.因此，復習課、方法總結(jié)課是培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)的一類重要課型.

3.4 學會聯(lián)想、推廣、變式、類比等方法，掌握數(shù)學抽象的必要方法

教師在教授立體幾何時可讓學生類比平面幾何的性質(zhì)，教授等比數(shù)列時可類比等差數(shù)列，雙曲線可類比橢圓，計數(shù)原理中分類和分步的類比等等，這不僅能提高學生的學習興趣，還能給學生提供鍛煉數(shù)學抽象概括能力的機會.例如在學習扇形面積、球體體積時，用類比思想讓學生認識到圓面積公式與三角形面積公式，球體體積公式與錐體體積本質(zhì)上都是分別相同的.事實上，借助極限思想，將圓周n等分，當n趨于無窮大時，每一等分可看成一個小三角形，這些三角形面積的和的極限就是圓的面積，由此可見，圓面積公式與三角形面積公式結(jié)構(gòu)相同，抽象地看圓面積公式與三角形面積公式是一致的，是三角形面積公式的推廣，同理球體體積公式可抽象成錐體體積的推廣.

在教學過程中，教師可以通過一題多解，一題多變，多題一解，引導學生從不同思路、不同的視角認識問題，將同一問題抽象為不同的數(shù)學模型或經(jīng)過多題一解抽象出一個模型，從中培養(yǎng)學生的歸納和概括的能力.例如函數(shù)教學時，可給出如下一組問題，引導學生概括.

(4)(2012年全國高中數(shù)學聯(lián)賽吉林初賽)方程2(x-1)sinπx+1=0在區(qū)間[-2,4]內(nèi)所有解之和等于；

這樣的題不勝枚舉，但通過抽象概括，有一個共同規(guī)律是合理配對，對稱求和.

開展數(shù)學建模活動，引導學生根據(jù)自身所處的生活環(huán)境，選擇諸如池塘里浮萍增長問題、汽車與油耗問題、打球受傷吃藥殘留量問題、酒后何時可駕車問題、潮汐現(xiàn)象與輪船進港問題、摩天輪轉(zhuǎn)動等有意義的實際問題進行加工提煉，抽象成數(shù)學模型，體驗實際問題數(shù)學化過程，培養(yǎng)學生用數(shù)學知識解決實際問題的意識和能力.

4 引導學生進行數(shù)學抽象的一個教學案例

案例摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑游樂設(shè)施,游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)時，可以從高處俯瞰四周景色.假定摩天輪的每一個座艙都在做同一勻速圓周運動．你能用一個合適的函數(shù)模型來刻畫座艙(視為質(zhì)點)距離地面的相對高度與時間的關(guān)系嗎？

分析這是一個生活實例，首先將摩天輪抽象成一個幾何圖形，把這個生活實例變成一個數(shù)學問題，用數(shù)學語言抽述，實現(xiàn)第一次抽象，完成數(shù)學抽象的簡約階段.假設(shè)摩天輪的中心離地面的高度為h0，半徑為r，座艙按逆時針方向以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，座艙的初始位置P0處出發(fā)，某游客從圖中P0經(jīng)過時間ts時后到達P點，試求該游客離開地面的高度？

其次，探索上述各參數(shù)間相互關(guān)系，建立座艙P運動的數(shù)學模型，用數(shù)學語言表征，實現(xiàn)二次抽象，完成數(shù)學抽象的符號階段.

如圖1，以O(shè)為原點，以與地面AB平行的直線為x軸建立直角坐標系．設(shè)t=0時，座艙M位于點P0，以O(shè)P0為終邊的角為φ，經(jīng)過ts后運動到點P(x，y)．于是，以O(shè)P為終邊的角為ωt+φ，并且有y=rsin(ωt+φ)．所以，座艙M距離地面的高度H與時間t的關(guān)系是H=rsin(ωt+φ)+h0．

再次，應用模型解決相關(guān)數(shù)學問題，進入數(shù)學抽象的普適階段.

應用1如圖2，設(shè)摩天輪的半徑為1(單位長度)，摩天輪按逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，角速度為1rad/min(每分鐘轉(zhuǎn)動1弧度).假如你在摩天輪上的P點位置，若P點從圖中P1點處開始計算時間．在如圖所示的直角坐標系中，請問大家能否計算出在確定時間tmin時，你相對摩天輪中心的高度h(單位長度)．

圖1

圖2

應用2某摩天輪最高點距離地面高度為120 m，轉(zhuǎn)盤直徑為110 m，設(shè)置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30 min．

(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面的高度為Hm，求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式；

(2)求游客甲在開始轉(zhuǎn)動5 min后距離地面的高度；

(3)若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h(單位：m)關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值(精確到0.1)．

0≤t≤30；

(2)游客甲距離地面的高度

(3)甲、乙兩人距離地面的高度差