讓數(shù)學運算有序進階 讓學生思維自然拔節(jié)

摘? 要：聚焦“一題兩解”的邏輯與運算，應(yīng)用學習進階理論，探究數(shù)學運算中的進階要素和進階策略，理解運算對象，遷移運算經(jīng)驗，創(chuàng)新運算程式，為發(fā)展學生的高階思維提供可靠的“學習支架”.

關(guān)鍵詞：數(shù)學運算;學習進階;理解;遷移;創(chuàng)新

在課程改革的大背景下，數(shù)學學科核心素養(yǎng)成為高中數(shù)學課程的總體目標.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》首次明確提出數(shù)學學科六大核心素養(yǎng)，即數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析. 其中，數(shù)學運算歷來是課程和教學的核心內(nèi)容，也是促進學生思維發(fā)展的重要抓手.

一、數(shù)學運算和學習進階

數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則，對數(shù)、式和量等運算對象進行代換或變換，體現(xiàn)問題解決的過程. 數(shù)學運算并不是一般意義上的數(shù)學計算，除了簡單的數(shù)字計算外，還有各類數(shù)學式子和方程的變形，以及極限、微積分、邏輯代數(shù)的運算等. 數(shù)學運算的邏輯序列包括理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設(shè)計運算程序、求得運算結(jié)果.

學習進階是學習者在較大的時間跨度內(nèi)學習某一主題概念所遵循的連貫的、典型的學習路徑的描述，一般呈現(xiàn)為層次性、結(jié)構(gòu)性和關(guān)聯(lián)性的認知序列. 學習進階理論認為，學生對于某一概念或規(guī)律的認知不可能一蹴而就，必須以學生已有的知識和經(jīng)驗為進階起點，以預期的學習目標為進階終點，期間經(jīng)歷許多不同的中間水平，即表征學生思維層級和學習水平的“階”. 數(shù)學運算具有綜合性、系統(tǒng)性、層次性的特點，使學生數(shù)學運算能力的發(fā)展必定會經(jīng)歷由簡單到復雜、由低階到高階、由具體到抽象的過程，應(yīng)用學習進階理論為學生的運算思維向高階演進提供可靠的“學習支架”，助力數(shù)學運算素養(yǎng)的自然拔節(jié).

二、“一題兩解”背后的邏輯和運算

1. 進階分析

（1）進階起點分析.

理解運算對象是實施數(shù)學運算的前提，否則數(shù)學運算就成為無源之水、無本之木. 題目涉及復數(shù)的實部、虛部、模;涉及共軛復數(shù)、相等復數(shù)之間的關(guān)系;涉及復數(shù)的四則運算法則，以及共軛復數(shù)、復數(shù)的模的有關(guān)性質(zhì);涉及共軛復數(shù)和復數(shù)的模的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系;涉及四元方程組、實系數(shù)一元二次方程、虛系數(shù)一元二次方程.

掌握運算法則是實施數(shù)學運算的基礎(chǔ). 對于復數(shù)的模的運算，比較直接的構(gòu)想是將復數(shù)的代數(shù)形式和模的幾何意義銜接起來，而利用復數(shù)的模的性質(zhì)[z2=zz]來轉(zhuǎn)化值得重視;對于復數(shù)方程的處理，可以直接代入實部、虛部，依據(jù)復數(shù)相等的原則得到數(shù)量關(guān)系，也可以對等式兩邊同時取共軛復數(shù)或取模進行轉(zhuǎn)化;對于求解復數(shù)的積，最常見的做法是分別求出兩個復數(shù)再求它們的積，也可以將復數(shù)的積視為整體直接求解.

經(jīng)過前期的學習，學生對復數(shù)的相關(guān)運算已經(jīng)具有零散的經(jīng)驗，但是也存在一些迷思認識. 例如，復數(shù)的模的平方等于復數(shù)的平方，復數(shù)的和與差的模等于復數(shù)的模的和與差，復數(shù)范圍內(nèi)用判別式判斷一元二次方程的解的個數(shù)，題目有多余條件（提供三個方程只求兩個未知數(shù)），等等.

（2）進階目標預設(shè).

通過求解題目，學生應(yīng)該樹立自主探究運算方向的意識，厘清問題的本質(zhì)在于解復數(shù)方程，學會待定系數(shù)法、消元法、整體法、等價轉(zhuǎn)化法、配方法等運算方法，能夠嘗試設(shè)計有效、恰當、簡捷的運算程序，并遷移至同類或相似的問題情境中，形成反思運算結(jié)果的理性精神，培養(yǎng)思維的發(fā)散性、嚴謹性、批判性和創(chuàng)造性.

2. 進階層級預設(shè)

根據(jù)上述分析，題目教學應(yīng)聚焦問題的本質(zhì)，暴露學生的迷思，引發(fā)學生的思辨，提煉解決問題的一般思路和創(chuàng)新舉措，促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)的持續(xù)發(fā)展. 數(shù)學運算在題目中的學習進階層級如下表所示.

3. 進階途徑與策略

為了完成層級一的進階，可以改變問題的設(shè)問方式，引發(fā)學生的認知沖突，促進學生對問題本質(zhì)的執(zhí)著追求;為了實現(xiàn)層級二的進階，有必要設(shè)置有梯度、有思維深度的算理問題，驅(qū)動和引領(lǐng)學生思辨并體驗解決方案的繁與簡，自覺遷移數(shù)學運算的一般觀念，深度剖析簡化運算的內(nèi)在邏輯;為了達成層級三的進階目標，數(shù)學運算不能局限于思維活動的“上半場”，可以繼續(xù)引導學生觀察、比較條件和結(jié)論的形式，通過自主聯(lián)想、合作交流、經(jīng)驗迭代等方式，創(chuàng)新思維活動的“下半場”，優(yōu)化運算程序，拓寬運算視界.

4. 教學實踐片斷

（1）認知沖突，深化理解.

師：基于以往的學習經(jīng)驗，你能說說這是一個什么類型的問題嗎？

生1：我感覺就是一個解方程組的問題，只不過是在復數(shù)范圍內(nèi)求解，兩個未知數(shù)[z1，z2]與實數(shù)范圍內(nèi)的[x，y]一樣.

師：有道理！請大家仔細看一看條件，還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：我有個疑問. 為什么只有兩個未知數(shù)，卻提供了三個方程呢？是不是條件多余呢？

一石激起千層浪！學生紛紛交流討論.

師：誰能解釋其中的原因嗎？

師：考慮得很深刻！其實問題的本質(zhì)是在復數(shù)范圍內(nèi)求解二元方程組，而復數(shù)實際上是一個“二元數(shù)”，通過設(shè)兩個復數(shù)的代數(shù)式，代入三個關(guān)系式，結(jié)合復數(shù)的模和復數(shù)相等的概念，就可以將該復數(shù)方程組轉(zhuǎn)化為在實數(shù)范圍內(nèi)含有四個關(guān)系式的四元二次方程組.

進階評估：在學生思維的最近發(fā)展區(qū)設(shè)問，直抵問題的本質(zhì). 通過認知沖突，營造“憤”“悱”之境;通過聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，祛除迷思干擾，同化原有認知，進而深刻理解運算對象.

3. 注重素養(yǎng)融合

基于兩種解法的比較分析，我們深感數(shù)學學科核心素養(yǎng)“你中有我，我中有你”. 它們相互融合，既各有側(cè)重，又和諧統(tǒng)一. 生4的解法中對運算復雜程度的預估體現(xiàn)數(shù)學運算與代數(shù)直觀的密切相關(guān);生5的解法中“兩邊取共軛”和“整體代換”的重要算法思想與邏輯推理不可分割，在運算中體會推理，在推理中簡化運算;對原題的合理改編是應(yīng)用數(shù)據(jù)分析促進理性思維的有益嘗試. 綜觀解題活動，數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析和直觀想象等素養(yǎng)融為一體，相得益彰，為學生的深度學習開辟思維廣場.

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