培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的可視化教學(xué)

摘? 要：數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，可視化教學(xué)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的重要途徑. 以三個(gè)教學(xué)案例為例，闡述如何在日常教學(xué)中通過(guò)可視化教學(xué)培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，并探索出通過(guò)可視化教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的三條路徑：借助問(wèn)題串，讓全章內(nèi)容體系可視;巧用流程圖，讓整節(jié)研究思路可視;借用思維導(dǎo)圖，讓思辨思維過(guò)程可視.

關(guān)鍵詞：思維可視化;數(shù)學(xué)建模;核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng).

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)落實(shí)到課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié). 章建躍博士指出，人教版教材關(guān)于數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的編寫思路是：通過(guò)加強(qiáng)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的抽象過(guò)程、加強(qiáng)現(xiàn)實(shí)背景的數(shù)學(xué)化過(guò)程、加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用環(huán)節(jié)、選取適當(dāng)內(nèi)容呈現(xiàn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的全過(guò)程，有計(jì)劃地安排數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的某些環(huán)節(jié)滲透建模思想. 因此，如何在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)精心處理教學(xué)內(nèi)容，更好地滲透數(shù)學(xué)建模思想，成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的關(guān)鍵.

可視化教學(xué)有助于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng). 所謂可視化教學(xué)，其核心是思維可視化，是以文字、圖形等形式將教學(xué)內(nèi)容合理整合，讓教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)更清晰，使原本看不見的思維過(guò)程清楚地呈現(xiàn)出來(lái)，進(jìn)而促進(jìn)知識(shí)的深度理解和思維的深度參與的教學(xué)形式.

數(shù)學(xué)思維可視化教學(xué)，有利于創(chuàng)造性地處理教材內(nèi)容、優(yōu)化教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生更好地體會(huì)現(xiàn)實(shí)背景的數(shù)學(xué)化過(guò)程，更有效地經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究對(duì)象的抽象過(guò)程，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展. 下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐分享如何在日常教學(xué)中運(yùn)用可視化教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

一、借助問(wèn)題串，讓全章內(nèi)容體系可視，在核心問(wèn)題的解決中發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

大單元和核心問(wèn)題是發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的重要載體. 人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》每一章的內(nèi)容體系通常是：實(shí)際問(wèn)題—抽象出數(shù)學(xué)模型—研究數(shù)學(xué)模型—解決實(shí)際問(wèn)題. 全章內(nèi)容圍繞一個(gè)核心問(wèn)題展開，在解決問(wèn)題的過(guò)程中需要對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，并運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫和表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，最終用數(shù)學(xué)方法建構(gòu)模型解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題. 因此，全章內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程本質(zhì)上是建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的過(guò)程. 教學(xué)中，要善于利用教學(xué)素材，站在全章的角度，引導(dǎo)學(xué)生圍繞核心問(wèn)題提出一系列小問(wèn)題，以問(wèn)題串的形式，將推動(dòng)全章內(nèi)容發(fā)展的小問(wèn)題逐個(gè)串聯(lián)起來(lái)，后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)則圍繞問(wèn)題串中的小問(wèn)題進(jìn)行研究，通過(guò)解決問(wèn)題串中的小問(wèn)題，最終解決全章的核心問(wèn)題. 問(wèn)題串為全章內(nèi)容編織了一張?bào)w系網(wǎng)，讓全章內(nèi)容體系可視，為數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的孕育提供了豐富的土壤.

案例1：“三角函數(shù)”章引言課.

（1）創(chuàng)設(shè)情境，提出核心問(wèn)題.

出示以下情境：① 地球自轉(zhuǎn)引起晝夜交替;② 地球公轉(zhuǎn)引起四季更迭;③ 一周七天的循環(huán)往復(fù);④ 摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，摩天輪上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).

問(wèn)題1：以上情境有何共同特征？

生：具有循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的特征.

師：我們把這種具有循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始特征的變化規(guī)律稱為周期性.

問(wèn)題2：如何用數(shù)學(xué)模型刻畫周期性現(xiàn)象？

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題2是“三角函數(shù)”一章的核心問(wèn)題，該問(wèn)題的解決直接助推本章內(nèi)容的深入研究.

（2）圍繞核心問(wèn)題，設(shè)計(jì)問(wèn)題串.

師：為了用數(shù)學(xué)模型對(duì)周期性現(xiàn)象進(jìn)行刻畫，首先應(yīng)該找到比較理想的、便于研究的周期性現(xiàn)象. 你能找到這樣的周期性現(xiàn)象嗎？

學(xué)生討論后，認(rèn)為可以從熟悉的圓周運(yùn)動(dòng)開始研究. 在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生提問(wèn)，設(shè)計(jì)如下問(wèn)題串.

① 如圖1，點(diǎn)[P]在圓周上周而復(fù)始地運(yùn)動(dòng)時(shí)，角[α]如何刻畫？

② 如何選擇特殊的圓周運(yùn)動(dòng)，建立函數(shù)模型來(lái)刻畫點(diǎn)[P]的運(yùn)動(dòng)規(guī)律？

③ 單位圓有哪些幾何性質(zhì)？如何用新的函數(shù)模型對(duì)單位圓的這些性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)刻畫？

④ 新的函數(shù)模型是如何刻畫點(diǎn)[P]在圓周上周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的？新的函數(shù)模型具有怎樣的性質(zhì)？

⑤ 如何用新的函數(shù)模型解決與周期性現(xiàn)象有關(guān)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題？

（3）引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建本章可視化的知識(shí)體系和研究思路框架.

在本章的后續(xù)學(xué)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生解決上述問(wèn)題串中的5個(gè)小問(wèn)題. 通過(guò)問(wèn)題的解決，建構(gòu)全章的主要知識(shí)，最終確定本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系和研究思路框架如圖2所示.

“三角函數(shù)”一章從現(xiàn)實(shí)世界中的周期性現(xiàn)象到圓周運(yùn)動(dòng)，再到單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，以單位圓為載體定義三角函數(shù)，并借助單位圓研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì). 在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用三角函數(shù)進(jìn)一步解決與周期性現(xiàn)象有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題. 全章內(nèi)容的建構(gòu)過(guò)程就是建立數(shù)學(xué)模型刻畫周期性現(xiàn)象的過(guò)程. 全章從現(xiàn)實(shí)世界中的周期性現(xiàn)象出發(fā)，提出“如何用數(shù)學(xué)模型刻畫周期性現(xiàn)象？”的核心問(wèn)題，在該問(wèn)題的統(tǒng)領(lǐng)下，引導(dǎo)學(xué)生提出上述5個(gè)小問(wèn)題，組成問(wèn)題串. 問(wèn)題串讓本章的知識(shí)體系可視化，它直觀呈現(xiàn)了本章的研究思路，提綱挈領(lǐng)地展示了全章即將研究的內(nèi)容，給學(xué)生構(gòu)建了全章的總體框架. 問(wèn)題串中每個(gè)問(wèn)題的解決直接助推學(xué)生將周期性現(xiàn)象抽象為三角函數(shù)模型的數(shù)學(xué)化過(guò)程. 學(xué)生在經(jīng)歷解決5個(gè)小問(wèn)題的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，逐步積累用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題和用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，并在后續(xù)類似問(wèn)題的思維過(guò)程中遷移運(yùn)用，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

二、巧用流程圖，讓整節(jié)研究思路可視，在數(shù)學(xué)概念的生成中培育數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

概念教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的重要契機(jī). 在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生充分體會(huì)如何從數(shù)學(xué)視角將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并建構(gòu)數(shù)學(xué)概念解決問(wèn)題. 在概念的建構(gòu)過(guò)程中，將關(guān)鍵步驟和思考路徑記錄下來(lái)，以流程圖的形式呈現(xiàn). 隨著研究的不斷深入，逐步完善流程圖，讓流程圖的生成過(guò)程成為師生共同建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的過(guò)程. 學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的全過(guò)程后，在課堂小結(jié)中進(jìn)一步審視流程圖，黑板上直觀、清晰呈現(xiàn)的流程圖讓整節(jié)課的思維過(guò)程清晰可見. 學(xué)生借助流程圖賞析一節(jié)課的精妙之處，回味一節(jié)課的探究思路和方法，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的提升都能起到畫龍點(diǎn)睛的作用.

案例2：“任意角”的第1課時(shí).

教學(xué)流程：列舉生活中的周期性現(xiàn)象—指出本章將要學(xué)習(xí)的新函數(shù)（三角函數(shù)），并以此來(lái)刻畫這種周期性現(xiàn)象—從典型的圓周運(yùn)動(dòng)開始研究—用角刻畫圓周上一點(diǎn)[P]的位置變化—將角的范圍擴(kuò)大到任意角—角的運(yùn)算—將角放到平面直角坐標(biāo)系中研究—從特殊到一般得到終邊相同的角的集合—用流程圖進(jìn)行課堂小結(jié).

教學(xué)過(guò)程中，逐步完善流程圖，最后呈現(xiàn)流程圖如圖3所示.

結(jié)合上述流程圖，引導(dǎo)學(xué)生回味本節(jié)課的研究思路和研究方法. 為了研究周期性現(xiàn)象，抽象出了圓周運(yùn)動(dòng);為了刻畫圓周上一點(diǎn)周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)，將角推廣到了任意角;為了研究的方便，把任意角放到統(tǒng)一的平臺(tái)——平面直角坐標(biāo)系中研究，得到了象限角的概念. 在此基礎(chǔ)上，從數(shù)和形兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)了與角[α]終邊相同的角的集合：從數(shù)的角度，[α+?k · 360° k∈Z]表示[α]與整數(shù)個(gè)周角的和;從形的角度，[α+k · 360°?? k∈Z]表示在角[α]的基礎(chǔ)上，角[α]的終邊轉(zhuǎn)動(dòng)[k]周. 這樣一周一周地轉(zhuǎn)動(dòng)[k]周正是周而復(fù)始的周期性現(xiàn)象，這就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

流程圖讓“任意角”概念生成過(guò)程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)知識(shí)背后的邏輯聯(lián)系和數(shù)學(xué)思想方法清晰地呈現(xiàn)出來(lái)，讓整節(jié)課的研究思路可視. 在數(shù)學(xué)知識(shí)上，可以直觀地看出本節(jié)課的研究從生活中的周期性現(xiàn)象到任意角，然后將任意角放到平面直角坐標(biāo)系中研究，得到終邊相同的角及其坐標(biāo)表示;在數(shù)學(xué)知識(shí)背后的邏輯聯(lián)系上，終邊相同的角的集合就是對(duì)周期性現(xiàn)象的代數(shù)刻畫，與周期性現(xiàn)象相呼應(yīng);在數(shù)學(xué)思想方法上，可以感受到從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題這種抽象的基本思想和研究終邊相同的角的集合的過(guò)程中所蘊(yùn)含的從特殊到一般的研究方法. 通過(guò)流程圖，學(xué)生細(xì)細(xì)地回味整節(jié)課的思維過(guò)程，體會(huì)其中蘊(yùn)含的思想方法，挖掘流程圖中蘊(yùn)藏的深意，這有助于學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考路徑納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生將如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)和刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的思維方式浸入腦海，進(jìn)而助推數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展.

三、借用思維導(dǎo)圖，讓思辨思維過(guò)程可視，在建模全過(guò)程中孕育數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的直接途徑.《標(biāo)準(zhǔn)》將“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”單獨(dú)作為一條主線，意在讓學(xué)生通過(guò)其他主線內(nèi)容的學(xué)習(xí)，積累一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、必要的數(shù)學(xué)基本思想方法和建模經(jīng)驗(yàn)以后，以課題研究的形式用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，進(jìn)而提出問(wèn)題，并抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，確定參數(shù)、建立模型、計(jì)算求解、改進(jìn)模型，繼而解決實(shí)際問(wèn)題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程.

在數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程中，借助思維導(dǎo)圖，將隱藏在建模背后的思維過(guò)程和思考方法用思維導(dǎo)圖直觀地展示出來(lái)，將建模過(guò)程中的思辨思維呈現(xiàn)在思維導(dǎo)圖中，可以更好地幫助學(xué)生思考，并將思考的方式和路徑遷移到其他建模問(wèn)題的求解中，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的提升.

案例3：建立數(shù)學(xué)模型解決茶水最佳飲用時(shí)間問(wèn)題.

情境問(wèn)題：茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，研究經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85[°C]的水泡制，在茶水溫度降至60[°C]時(shí)飲用，口感最佳. 在室溫為20[°C]的情況下，剛泡好的茶水需要放置多長(zhǎng)時(shí)間可以達(dá)到最佳口感？

學(xué)生經(jīng)過(guò)討論得出如下解決方法：首先，收集數(shù)據(jù);然后，在平面直角坐標(biāo)系中以時(shí)間為橫軸、水溫為縱軸，作出散點(diǎn)圖;最后，根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)模型，求出解析式，并求出函數(shù)值為60時(shí)，自變量的值.

利用溫度計(jì)，收集到數(shù)據(jù)如下表所示.

根據(jù)散點(diǎn)圖，學(xué)生討論生成三種函數(shù)模型選擇思路. 根據(jù)學(xué)生的思路，在課堂上繪制思維導(dǎo)圖，如圖4所示.

用思維導(dǎo)圖將學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決茶水最佳飲用時(shí)間問(wèn)題的模型選擇和改進(jìn)過(guò)程直觀地展示出來(lái). 一方面，便于學(xué)生在建模過(guò)程中進(jìn)行下一步思考，思考如何對(duì)現(xiàn)有模型進(jìn)行改進(jìn)，讓建模思路更清晰、更有條理，促進(jìn)學(xué)生思維的深度參與;另一方面，便于學(xué)生比較各種模型的優(yōu)、缺點(diǎn)，選擇更適合的數(shù)學(xué)模型，也可以借鑒其他模型在改進(jìn)過(guò)程中的思路和方法，用于改進(jìn)自己的模型. 例如，思路3的改進(jìn)1和改進(jìn)2可以借鑒思路2的改進(jìn)方法. 通過(guò)思維導(dǎo)圖，清晰地呈現(xiàn)模型選擇和改進(jìn)過(guò)程中隱藏在問(wèn)題背后的思考路徑和思辨過(guò)程，有助于將其內(nèi)化為學(xué)生的自覺(jué)行為，使學(xué)生在后續(xù)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中不自覺(jué)地調(diào)用已經(jīng)內(nèi)化的思考方法，進(jìn)而讓數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在思辨思維的運(yùn)用和建模全過(guò)程的體驗(yàn)中自然發(fā)展.

可視化教學(xué)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展應(yīng)落實(shí)在日常教學(xué)中，教師要用教學(xué)藝術(shù)讓數(shù)學(xué)化的過(guò)程和數(shù)學(xué)對(duì)象的抽象過(guò)程中隱藏在數(shù)學(xué)活動(dòng)背后的數(shù)學(xué)思維可視，繼而讓數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在可視化教學(xué)中獲得更好的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]章建躍，張艷嬌，金克勤. 數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的課程理解、教材設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2020（5）：13-19.

[3]張艷嬌. 談“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”如何在教科書中落實(shí)：以人教[A]版高中數(shù)學(xué)教科書為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2020（9）：1-7.

[4]何承生. 指向高中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)實(shí)踐：“茶水最佳飲用問(wèn)題”課堂實(shí)錄與思考[J]. 中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2020（9）：20-23.

[5]張治才. 立足單元高度? 凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)：“單元”視角下的“任意角的三角函數(shù)”教學(xué)片段分析與反思[J]. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（4）：28-31.

[6]傅海倫，曾冠予，王彬. 培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的課例及分析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2020（11）：22-27.