直觀想象及其教學

摘? 要：直觀想象不僅是一種解決數(shù)學問題的方法與技能，也是一種思維習慣與思維方式. 在探討和明晰直觀想象的含義與水平、功能與價值、過程與方法的基礎上，提出了加強和改進直觀想象教學的策略與方法.

關鍵詞：直觀;想象;直觀想象;直觀想象水平;直觀想象教學

直觀想象不僅是一種解決數(shù)學問題的方法與技能，也是一種思維習慣與思維方式. 數(shù)學教學應有意識地、有效地提升學生的直觀想象意識與能力.

一、直觀想象的含義與水平

1. 直觀想象的含義與表現(xiàn)

直觀與抽象相對，是指通過對客觀事物的直接接觸而獲得的感性認識. 徐利治先生認為，直觀是借助經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想所產(chǎn)生的對事物關系直接的感知與認識. 數(shù)學中的直觀主要有現(xiàn)實直觀、幾何直觀、代數(shù)直觀、模式直觀等.

想象是指對于不在眼前的事物想象出它的具體形象. 心理學上指在知覺材料的基礎上，經(jīng)過新的配合，人在頭腦里對已儲存的表象進行加工、改造形成新形象的心理過程. 想象是利用原有的表象形成新形象的過程. 它能突破時間和空間的限制，預見沒有看到的或未來將會發(fā)生的事情.

直觀想象由“形成直觀”與“展開想象”兩個基本環(huán)節(jié)組成，是在“直觀”的基礎上“想象”. 直觀想象有廣義與狹義之分. 廣義的直觀想象包括一切直觀和直觀基礎上的想象. 狹義的直觀想象主要是指“幾何直觀”和“空間想象”，是“幾何直觀”基礎上的“空間想象”.

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）指的“直觀想象”是狹義的“直觀想象”，下面討論的也是狹義的“直觀想象”. 它是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng). 主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

直觀想象的表現(xiàn)主要有三個方面：一是通過抽象和想象，用幾何圖形描述、刻畫現(xiàn)實世界，把現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為幾何問題;二是尋找“數(shù)”背后的“形”，利用幾何圖形描述代數(shù)問題，借助幾何直觀理解代數(shù)問題，探索解決問題的思路與方法;三是借助空間想象，把握事物的形態(tài)變化與運動規(guī)律，感悟事物的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)事物之間的聯(lián)系.

2. 直觀想象的特點與水平

直觀想象具有直接性、生動性、情境性、豐富性和經(jīng)驗性等特點.

《標準》依據(jù)情境與想象的關聯(lián)程度，把直觀想象分為水平一、水平二、水平三. 吳立寶、劉哲雨等人基于直觀想象與現(xiàn)實的聯(lián)系，把直觀想象分為原型直觀、表象直觀、想象直觀三個層次. 這里，依據(jù)創(chuàng)造成分與難度的高低，把直觀想象分為如下四種水平.

水平一是原型直觀，即借助原型形成的直觀，是通過觀察具體事物的原型而感知其幾何屬性，形成幾何表象. 這里的事物原型既可以是各種物體和幾何圖形，也可以是具有明顯幾何特征的各種代數(shù)式和代數(shù)關系式. 原型直觀是最原始、最直接、最簡單的數(shù)學直觀.

水平二是構(gòu)圖直觀，即通過畫圖、構(gòu)圖形成對事物的幾何要素及其關系的直觀認識，進而借助圖形思考和解決問題. 構(gòu)圖直觀與原型直觀的區(qū)別在于，原型直觀是客觀世界、前人或他人直接“呈現(xiàn)或給出”的直觀，而構(gòu)圖直觀則需要自己構(gòu)圖，包括根據(jù)代數(shù)式畫出圖形.

水平三是想象直觀，即借助想象形成的直觀，是指在頭腦中想象事物的幾何要素及其關系，想象它們變化與發(fā)展的情況，形成新的心理表象. 想象直觀能彌補靜態(tài)的圖形直觀難以刻畫運動變化和事物全貌的不足.

水平四是理性直觀，即理性起到潛在支撐作用的直觀，是指通過把握事物數(shù)與形兩方面的特點與規(guī)律，形成關于事物變化規(guī)律、事物本質(zhì)的直觀認識.

二、直觀想象的意義與價值

1. 直觀想象的學科價值

康德認為，一種知識不論以何種方式和通過什么手段與對象發(fā)生關系，它借以和對象發(fā)生直接關系、并且一切思維作為手段以之為目的的，還是直觀. 數(shù)與形是客觀事物的兩種基本屬性，是同一枚硬幣的兩面. 數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的一門科學. 幾何是數(shù)學中這樣的一個部分，其中視覺思維占主導地位，而代數(shù)則是數(shù)學中有序思維占主導地位的部分. 這種區(qū)分也許用另一對詞刻畫更好，即“洞察”對“嚴格”，兩者在真正的數(shù)學研究中都起著本質(zhì)的作用. 它們在教育中的意義也是清楚的. 我們的目標應是培養(yǎng)學生發(fā)展這兩種思維模式，過分強調(diào)一種而損害另一種是錯誤的. 幾何并不只是數(shù)學的一個分支，更是一種思維方式，它滲入數(shù)學的所有分支.

2. 直觀想象的工具價值

在大多數(shù)情況下，數(shù)學的結(jié)果是“看”出來的，而不是“證”出來的. 這就像我們做很多事情那樣，先建立起一個目標，然后再踏踏實實地向這個目標邁進. 事實上，不僅僅是數(shù)學，在許多學科中對于結(jié)果的預測和對于原因的探究，起步階段依賴的都是直觀. 基于“形”的直觀想象與基于“數(shù)”的精確運算相結(jié)合不僅是研究和解決函數(shù)問題、解析幾何問題、立體幾何問題、向量問題的基本策略與方法，也是研究和解決一般數(shù)學問題的基本策略與方法. 借助直觀想象，我們能更好地理解問題，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，進而化難為易、化繁為簡;能更好地發(fā)現(xiàn)解決問題的思路與方法，甚至發(fā)現(xiàn)問題的初步結(jié)論.

3. 直觀想象的教育價值

從學生的視角來看，直觀想象是一種有用、有趣、好玩、富有魅力的學習方法和解決問題的方法. 它能有效激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，增強他們學好數(shù)學的信心，發(fā)展他們的思維能力，尤其是有助于他們學會學習數(shù)學，學會數(shù)學創(chuàng)造. 因為那種創(chuàng)造發(fā)明的要素，那種起指導和推動作用的直觀要素，雖然常常不能用簡單的哲學公式來表述，但是它們卻是任何數(shù)學成就的核心，即使在再抽象的領域里也是如此. 數(shù)學教育應著力提高學生利用圖形描述和刻畫事物的能力，以及利用圖形探索和發(fā)現(xiàn)解決問題思路的能力.

四、直觀想象教學的策略與方法

1. 深化學生對數(shù)與形關系的認識

希爾伯特曾指出，算術符號是文字化的圖形，而幾何圖形則是圖象化的公式. 法國女數(shù)學家索菲·熱爾曼也曾指出，代數(shù)不過是書寫的幾何，而幾何不過是圖形的代數(shù). 教師應通過具體事例讓學生深切地感受數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，增強他們借助直觀想象思考和解決問題的意識，形成借助直觀想象思考和解決問題的習慣.

2. 強化觀察與操作

直觀是想象的基礎，直觀源于觀察與操作. 關于物體的認識，并不是由于該物體的靜止的心理復寫而成的，乃是由于使它發(fā)生變化，并且對這些變化的過程有所了解形成的. 一種智慧行為，最重要的是由于協(xié)調(diào)操作、聯(lián)合、整理（從引入次序的意義上講）等而形成的. 為了給直觀想象提供豐富而正確的素材，數(shù)學教學應該強化學生自身的觀察與操作，尤其要引導他們積累圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、伸縮等變換的經(jīng)驗.

3. 強化學生自身的直觀想象實踐與感悟

直觀想象是情境化、經(jīng)驗化的. 一個合理的想象需要邏輯的支撐，一個有效的想象還需要經(jīng)驗的積累. 為了更好地豐富和積累直觀想象的經(jīng)驗，在畫圖和多媒體顯示圖象或圖形以前，教師應引導學生多想象. 在畫出或顯示之后，應引導學生多用心感悟，然后有意識地、逐步地提高畫圖、悟圖的標準. 用以直觀地闡明原理內(nèi)容的圖形，應當力求簡潔而單純，且應盡可能消除附加的東西，以使學生的思維清晰而不被攪亂，同時還要提醒學生經(jīng)常注意那些被描繪的細節(jié)的特征.

4. 強化與數(shù)學概念、邏輯推理的融合

直覺的可靠性是以堅實的學科知識為基礎的，即直覺憑借對學科知識的熟悉來起作用. 缺乏概念的直觀是空虛的，缺乏直觀的概念是盲目的. 由于直觀想象的目的往往是把現(xiàn)實問題和代數(shù)模型轉(zhuǎn)化為幾何模型，因此有效的直觀想象離不開一定的數(shù)學概念，應該把直觀想象教學與數(shù)學概念教學有機結(jié)合起來，或者說應強化數(shù)學概念的幾何直觀. 就直覺與邏輯的關系而言，直覺是邏輯的先導，而邏輯是直覺的護欄. 就學生思維發(fā)展而言，應通過追尋直覺背后的邏輯與引領邏輯的直覺，使直覺思維與邏輯思維相互協(xié)調(diào)、相互促進. 就數(shù)學問題解決而言，思路的探尋與發(fā)現(xiàn)往往依靠直觀想象，而問題的最終解決則離不開邏輯推理. 因此，數(shù)學教學應強化直觀想象與邏輯推理的融合.

5. 盡可能使直觀想象達到理性直觀水平

直觀想象是人與生俱來的本能，但直觀想象水平的提高離不開教學和訓練. 數(shù)學教學應處理好“觀直觀之源，獲原型直觀”“畫幾何圖形，獲構(gòu)圖直觀”“展想象之翼，獲想象直觀”“思緣由依據(jù)，獲理性直觀”之間的關系，既夯實較低水平直觀想象的基礎，又不止步于這個水平;應在直觀與邏輯的結(jié)合上下功夫、做文章，盡可能使學生把想象的緣由、依據(jù)、來龍去脈弄得更清楚一些、更明白一些，進而達到理性直觀的水平.

五、結(jié)束語

數(shù)學教學應在清楚直觀想象的含義、表現(xiàn)、水平、功能、過程與方法的基礎上，把作為解決問題的方法與技能的直觀想象教學與作為思維習慣和思維方式的直觀想象教學有機結(jié)合起來，有效提升學生的直觀想象素養(yǎng).

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