創(chuàng)新應(yīng)用巧建模 回歸基礎(chǔ)探本質(zhì)

孔繁晶

摘? 要：2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷第16題以“新、巧、活”的特征引起廣泛關(guān)注. 針對(duì)這道“材料在外、考點(diǎn)在內(nèi)、考查思維、體現(xiàn)能力”的數(shù)列創(chuàng)新題，以“讀—探—猜—定—求”五步，探究其建模、解模的過(guò)程，并結(jié)合學(xué)生在答題中的困境，評(píng)析試題考查的重點(diǎn)與難點(diǎn)，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：數(shù)列;創(chuàng)新試題;教學(xué)建議

作為一類離散函數(shù)，數(shù)列是刻畫(huà)離散過(guò)程的重要模型. 它既是高中數(shù)學(xué)中的主干知識(shí)，又是高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，其中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想與方法，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體. 因此，成為歷年高考的重要考點(diǎn)之一.

近年來(lái)，數(shù)學(xué)學(xué)科高考命題工作一直堅(jiān)持“重思維、重應(yīng)用、重創(chuàng)新”的思路與方向. 2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷第16題是一道數(shù)列創(chuàng)新題，秉承這一理念命制，引起了廣大數(shù)學(xué)教育工作者的關(guān)注.

一、試題呈現(xiàn)

此題以傳統(tǒng)文化中的剪紙藝術(shù)為材料，背景新穎，蘊(yùn)含豐富的人文價(jià)值;題干設(shè)置和問(wèn)題提出簡(jiǎn)潔不冗長(zhǎng)，方便閱讀;因是折紙要求，可操作性較強(qiáng)，學(xué)生可以動(dòng)手嘗試、尋找思路;通過(guò)特例啟發(fā)學(xué)生構(gòu)建適合的數(shù)學(xué)模型，解決求和問(wèn)題，綜合考查學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng). 綜上，確定此題是一道內(nèi)涵豐富的優(yōu)質(zhì)試題.

二、解法探究

針對(duì)這道“材料在外、考點(diǎn)在內(nèi)、考查思維、體現(xiàn)能力”的試題，筆者結(jié)合學(xué)生答題中的困境，以“讀—探—猜—定—求”五步，探究其建模、解模的過(guò)程.

1. 讀

撥開(kāi)背景材料的層層迷霧是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題、尋求解決辦法的關(guān)鍵. 因此，讀懂題意就是踏上解題征程的第一步.

首先，粗讀. 確定此題的核心是折紙問(wèn)題，折紙的方式是依次對(duì)折，研究對(duì)象是對(duì)折多次后形成的不同規(guī)格圖形的種數(shù)和面積總和. 猜測(cè)種數(shù)與面積之間存在規(guī)律，可能是數(shù)列問(wèn)題.

其次，帶著這些粗讀后的第一印象進(jìn)行精讀. 明確對(duì)折要點(diǎn)——每次對(duì)折都會(huì)有“橫折”和“豎折”兩種情況，故題干中的文字描述可以轉(zhuǎn)化為形象的圖示語(yǔ)言，如圖1所示.

【說(shuō)明】由于高考命題不留教材痕跡，雖然考點(diǎn)均為《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中的要求，但是背景材料大多新穎、少見(jiàn). 學(xué)生往往對(duì)此心生畏懼，時(shí)常出現(xiàn)“在有限時(shí)間內(nèi)讀不懂題，不知道從何處下手解題”的困擾，究其原因是學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀和信息整合處理能力不足.

2. 探

試題所問(wèn)為“對(duì)折4次”和“對(duì)折n次”的情況探究，故在圖1的基礎(chǔ)上，探索n = 3時(shí)的情況，如圖2所示.

進(jìn)一步簡(jiǎn)化探究過(guò)程，形成較為簡(jiǎn)單的圖表語(yǔ)言（記“橫折”為“H”，“豎折”為“S”），如下表所示.

【說(shuō)明】數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)思維的載體，合理的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化有助于對(duì)問(wèn)題的簡(jiǎn)化和理解. 面對(duì)文字描述的操作方式，學(xué)生可能一時(shí)無(wú)法找到求解問(wèn)題的關(guān)鍵. 對(duì)此，可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試?yán)脠D、表進(jìn)行分析，以尋找解題的突破口.

3. 猜

經(jīng)過(guò)對(duì)n = 1，2，3情況下的特例探索，規(guī)律已經(jīng)呼之欲出.

（1）對(duì)折n次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為n + 1，故當(dāng)n = 4時(shí)，不同規(guī)格圖形的種數(shù)為5.

（2）每次對(duì)折后，不同規(guī)格圖形的面積均相等，如第2次對(duì)折后，形成的3種不同規(guī)格的長(zhǎng)方形的面積都是60[dm2]，且后一次對(duì)折都是在前一次折疊基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此新形成的單位長(zhǎng)方形的面積都是前一次的單位長(zhǎng)方形面積的一半.

【說(shuō)明】考查思維向來(lái)是高考命題的重要原則之一，對(duì)第3次對(duì)折規(guī)律的分析直接關(guān)系到后續(xù)建模、解模過(guò)程是否順利.

4. 定

至此發(fā)現(xiàn)，依次對(duì)折后形成的單位長(zhǎng)方形面積之和是按照一定規(guī)律排列的一列數(shù)，故確定建立數(shù)列模型.

設(shè)對(duì)折k次，記單位長(zhǎng)方形的面積之和為[Sk，] 即依次形成的單位長(zhǎng)方形的面積之和為數(shù)列[Sk.]

【說(shuō)明】數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，亦是高考常見(jiàn)的考查方向，重在對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的穿透力和深刻性的考查. 此題通過(guò)特例分析、推理構(gòu)建數(shù)列模型. 在確定通項(xiàng)時(shí)，方法1側(cè)重歸納推理，方法2則通過(guò)遞推關(guān)系推導(dǎo)通項(xiàng)，體現(xiàn)了“以生考熟”，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)多種途徑進(jìn)行思維創(chuàng)新，突出了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查.

【說(shuō)明】解決這一特定數(shù)列前n項(xiàng)求和問(wèn)題體現(xiàn)了回歸基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)了對(duì)通性、通法的考查. 方法1以“列、乘、減”求和，關(guān)鍵在于“錯(cuò)位”相減構(gòu)造等比數(shù)列;方法2將[Tn]分解為一個(gè)等比數(shù)列和一個(gè)與自身相似的數(shù)列進(jìn)行求和，難點(diǎn)在于轉(zhuǎn)化時(shí)需要進(jìn)行“添項(xiàng)”處理. 這兩種方法殊途同歸，都是考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的重要載體.

問(wèn)題延伸：若將題中長(zhǎng)方形紙的規(guī)格改為20 dm × 10 dm，情況如何呢？若將題中長(zhǎng)方形紙的規(guī)格改為a dm × b dm，情況又如何呢？

三、教學(xué)啟示

一道精彩的高考試題中蘊(yùn)含著豐富的教育內(nèi)涵，基于這道數(shù)列創(chuàng)新題的命題與解答分析，筆者總結(jié)出“兩回歸，兩重視”教學(xué)建議.

1. 回歸基礎(chǔ)，重視通性、通法訓(xùn)練

九層之臺(tái)，起于累土. 高考?xì)v來(lái)重視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查，注重對(duì)通性、通法的研究. 分解此道試題，不難發(fā)現(xiàn)所考查的數(shù)列概念、等比數(shù)列概念、遞推數(shù)列求通項(xiàng)，以及特殊數(shù)列求和等考點(diǎn)均是高中數(shù)學(xué)中的主干知識(shí)或重點(diǎn)知識(shí)，無(wú)論從內(nèi)容上還是難度上來(lái)看，均屬于高考數(shù)學(xué)中的穩(wěn)定考查對(duì)象. 因此，在高三復(fù)習(xí)中，要注意回歸基礎(chǔ)、追根溯源，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的鞏固與提升要做到穩(wěn)扎穩(wěn)打，切不可求快、求偏，根深才能葉茂，只有基石穩(wěn)固，才能求突破、求發(fā)展.

2. 回歸本質(zhì)，重視數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)生成

在高考命題堅(jiān)持“信息切入，能力考查”的大背景下，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)是從命題到教學(xué)的強(qiáng)烈呼聲. 回顧此道試題，對(duì)于數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的綜合考查突出了從知識(shí)立意到能力立意，再到學(xué)科素養(yǎng)立意的評(píng)價(jià)核心. 因此，在高三復(fù)習(xí)中，教師要寧心靜氣、精選精練，敢于留白，敢于利用充足的時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度思考，并且啟發(fā)學(xué)生抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，關(guān)注一題多解、多題一解，學(xué)會(huì)探究、學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)總結(jié)，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的生成.

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