立足核心素養(yǎng) 精心設(shè)計課堂

李雪靜

摘 要：完全平方公式是蘇科版數(shù)學(xué)七年級下冊第九章《9.4乘法公式》的一個內(nèi)容，同時也是本章《9.5多項式的因式分解》里的一個內(nèi)容，所以，本節(jié)課的學(xué)習(xí)要讓學(xué)生充分地了解這節(jié)課的完全平方公式是“整式乘法”里的“完全平方公式”，同時，教學(xué)中還要注意公式結(jié)構(gòu)特征的滲透.就整個初中階段而言，完全平方公式起著舉足輕重的作用，它是打開代數(shù)寶庫的一把金鑰匙.

關(guān)鍵詞：七年級數(shù)學(xué);完全平方公式;設(shè)計;實驗操作;引導(dǎo)

一、教材分析

《9.4乘法公式（1）——完全平方公式》是蘇科版七年級下冊的內(nèi)容，是繼《9.3多項式乘多項式》后再學(xué)習(xí)的一種特殊的兩個相同二項式的乘法，進而得出完全平方公式.完全平方公式在這一章起著承上啟下、舉重若輕的作用，它不僅給我們帶來運算的簡便，而且逆向應(yīng)用還可進行后面因式分解的教學(xué).正因為公式的重要性，所以在上課時選用數(shù)形結(jié)合和多項式乘法兩種方法推出公式.前者是借助圖形讓學(xué)生對完全平方公式有一個直觀的認(rèn)識，后者則是從特殊的整式乘法推出公式，以利于學(xué)生理解公式的幾何、代數(shù)意義.這兩種推理不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，而且還可以使學(xué)生進一步感受數(shù)形結(jié)合、由一般到特殊的數(shù)學(xué)思想.

教學(xué)目標(biāo)：（1）理解、掌握完全平方公式及結(jié)構(gòu)特點;（2）經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進一步感悟數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)展符號感和推理能力，了解化歸思想;（3）能正確運用完全平方公式進行計算.

教學(xué)重、難點：能夠熟練掌握完全平方公式，正確運用完全平方公式進行計算.

二、教學(xué)設(shè)計

布魯納曾說過：“學(xué)習(xí)者在一定的問題情境中，經(jīng)歷對學(xué)習(xí)材料的親身體驗和發(fā)展過程，才是學(xué)習(xí)者最有價值的東西.”基于這一理論，故創(chuàng)設(shè)問題情境時，要從符合當(dāng)前學(xué)生的興趣入手，這樣才能使學(xué)生人人都積極參與課堂，人人都有所發(fā)現(xiàn).

1.創(chuàng)設(shè)情境 激發(fā)興趣

本節(jié)課引入從學(xué)生所熟悉的、感興趣的事物入手，播放動畫視頻《阿凡提》片段：從前有一個貪心的財主，人們叫他巴依老爺.巴依老爺有兩塊地，一塊面積為a2，另一塊面積為b2，而阿凡提只有一塊地，面積為（a+b）2.有一天，巴依老爺眼珠一轉(zhuǎn)對阿凡提說：“我用我的兩塊地?fù)Q你的一塊地，可以吧？”如果你是阿凡提，你會和巴依老爺換嗎？

通過動畫視頻播放拋出本節(jié)課的問題，可以激發(fā)學(xué)生興趣，勾起學(xué)生解決問題的欲望，讓學(xué)生積極地參與課堂;同時也為本節(jié)課的學(xué)習(xí)埋下伏筆.

2.探究活動

（1）實驗操作 得出新知

在探究學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生會通過自己的親身體驗、動手操作、小組合作交流，主動地去發(fā)現(xiàn)問題，并創(chuàng)造性地解決問題.所以，以學(xué)生為主體通過實驗操作進行自主探究：（a+b）2與a2+b2哪個大？

準(zhǔn)備材料：邊長分別是a、b的正方形彩色卡片各60張，寬為a、長為b的長方形彩色卡片120張.

操作方法：可將學(xué)生按照4人一組進行分組，每人發(fā)放寬為a、長為b的長方形卡片2張，及邊長是a或b的正方形卡片1張，用手中的卡片和組員協(xié)作進行拼圖，來解決提出的問題.并請一位同學(xué)將拼圖的結(jié)果張貼在黑板上.

學(xué)生借助拼圖，更加直觀、形象地發(fā)現(xiàn)（a+b）2≠a2+b2，而是前者比后者多了2ab，預(yù)設(shè)問題得以解決.在解決問題的同時，逐步引出今天所學(xué)內(nèi)容.實驗操作，不僅可以調(diào)動學(xué)生的積極性，讓每位學(xué)生參與其中，大大提高課堂效率，激發(fā)學(xué)生的思維，而且使學(xué)生更容易理解、掌握完全平方公式及其結(jié)構(gòu)特點;同時還可活躍課堂氣氛，培養(yǎng)學(xué)生的合作、交流意識，正所謂“一舉多得”.

（2）乘勝追擊 激發(fā)思維

除了用拼圖的方法解決這個問題，你可以用代數(shù)的方法嗎？請同學(xué)上來展示（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2

即（a+b）2=a2+2ab+b2

從代數(shù)的角度，通過整式的乘法再次得出公式，讓學(xué)生充分了解完全平方公式其實就是兩個相同二項式相乘的這一特殊的乘法形式，進而加深本節(jié)課所講內(nèi)容是“整式乘法”中的“完全平方公式”;同時，為后面即將學(xué)習(xí)的因式分解也奠定了基礎(chǔ).這樣，完全平方公式的兩種證明方法——幾何圖形、代數(shù)方法得以完美呈現(xiàn)，學(xué)生也理解了完全平方的幾何意義和代數(shù)意義.

與此同時，教師還要強調(diào)等號的右邊，積的2倍里的數(shù)字“2”是這個公式中唯一的一個常數(shù)，可為今后公式的逆向應(yīng)用等后續(xù)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).為了鞏固這個公式，不妨做一些簡單的計算.

計算（1）（x+y）2 （2）（a+1）2 （3）（2+m）2 （4）（2x+1）2

最后教師總結(jié)：公式中的字母a、b不僅可以代表單獨的一個字母，還可以代表單獨的一個數(shù)，甚至是代數(shù)式，以加強符號意識;為后面（a-b）2的推理埋下伏筆.

（3）小試牛刀 關(guān)聯(lián)知識

例1 計算（a-b）2

在做本題時，可以先請學(xué)生討論，這時，學(xué)生可能會有兩種做法：一種是按照平方的定義轉(zhuǎn)化成（a-b）（a-b）計算，一種是將兩數(shù)差的平方轉(zhuǎn)化為兩數(shù)和的平方計算;教師可請兩種不同做法的同學(xué)演板，讓學(xué)生找出最優(yōu)化的計算方法，同時向?qū)W生表明老師比較傾向于將減法轉(zhuǎn)化為加法的這種計算方法，可以回避“-”，避免符號出錯.

這個例題的設(shè)計，既鞏固了兩數(shù)和的平方公式，又推出了兩數(shù)差的平方公式，達到完善完全平方公式的目的;同時，還有利于引導(dǎo)學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和建立知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.

解：（a-b）2=a+（-b）2=a2+2·a·（-b）+（-b）2=a2-2ab+b2

學(xué)生演板后教師總結(jié)，并在黑板上板書兩個公式.這種做法既可以突出本節(jié)課的重點，也便于學(xué)生清晰理解、掌握公式.

（4）層層設(shè)疑 深化公式

為了讓學(xué)生對公式的形式特征及結(jié)構(gòu)有更深刻的認(rèn)識，便于熟練掌握、應(yīng)用公式，特設(shè)置以下兩個問題：仔細(xì)觀察公式，小組討論并回答：

問題1 你可以用語言描述完全平方公式嗎？

問題2 你能說出公式的結(jié)構(gòu)特點嗎？

教師根據(jù)學(xué)生實際情況，適時地引導(dǎo)學(xué)生進行觀察.

最后，做出總結(jié)：（首±尾）2=首2±2首尾+尾2

并重點強調(diào)，“2首尾”前的符號取決于左邊二項式的運算符號，前面是“+”，積的2倍則用“+”，前面是“-”，積的2倍則用“-”.簡言之：首平方，尾平方，積的2倍加（減）在中央.

（5）應(yīng)用新知 鞏固深化

練一練 下面的計算是否正確？如有錯誤，請改正.

①（x+y）2=x2+y2? ②（x-2y）2=x2-2xy+4y2? ③（2m+n）2=2m2+4mn+n2

根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，特選用以上幾道典型的學(xué)生易錯題進行辨析，以加強對公式的理解和掌握.待學(xué)生完成后，教師總結(jié)：

完全平方的結(jié)果是三項（首2、2首尾、尾2）、乘積不忘乘2倍、2m要整體乘方.

在辨析題后，設(shè)計利用完全平方公式計算的例題以鞏固.

例2 利用完全平方公式計算：

（1）（5+3p）2 （2）（2x-7y）2 （3）（-m+2n）2? （4）（-2a-5）2

第（1）題可以由教師帶領(lǐng)學(xué)生一起來分析，找準(zhǔn)首項、尾項，再決定乘積的2倍用加法還是減法，然后教師把這道題目的計算過程寫在黑板上作為范例.

其他三道題目讓學(xué)生自己在下面做，然后老師巡視下面學(xué)生的完成情況.在巡視的過程中你會發(fā)現(xiàn)第（3）題同學(xué)們有兩種做法：一種是直接使用完全平方公式中和的形式計算，還有一種做法是利用交換律將題目轉(zhuǎn)化成（2n-m）2，利用公式里差的形式計算;同樣，第（4）題也是兩種解法：一種是直接按公式里差的形式計算，一種是利用平方這個偶次冪將其轉(zhuǎn)化到相反數(shù)的平方上去做，即轉(zhuǎn)化成（2a+5）2計算.教師把這兩道不同解法的同學(xué)請到講臺上板演或把解題過程投影，讓學(xué)生自己比較哪個做法更簡單.并請同學(xué)們談?wù)勛约簩σ陨?道例題的收獲.最后，教師對例題做出總結(jié)：

①注意完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)果是三項——首平方、尾平方、首尾的2倍;乘積不忘乘2倍、2倍的符號;代數(shù)式整體乘方;

②最后兩道例題老師傾向于轉(zhuǎn)化的這種做法，可以有效地把“-”規(guī)避掉，符號不容易弄錯，也讓計算得以簡便;

③通過以上題目的解法，今后我們遇到的用完全平方公式計算的題目最終都可以轉(zhuǎn)化為（a+b）2、（a-b）2這兩種形式進行計算.

通過學(xué)生以上練習(xí)、小結(jié)和教師的歸納總結(jié)，教師可再設(shè)置幾道練習(xí)以鞏固公式及計算方法.

3.拓展延伸 鞏固提升

例3 用簡便方法計算 982

分析 本題是計算一個數(shù)的平方，應(yīng)用今天所學(xué)的知識，只要把982寫成兩數(shù)和或兩數(shù)差的平方就可以了.觀察可以發(fā)現(xiàn)，把98寫成100-2最為簡便.

解：982=（100-2）2=1002-2×100×2+22=9604

接下來，教師可以請學(xué)生出一道用簡便方法計算的題目，其他同學(xué)來求解.讓學(xué)生感受從學(xué)知識到用知識這樣的轉(zhuǎn)變過程，體驗學(xué)習(xí)的快樂，同時活躍了課堂氣氛.

想一想 你會計算（a+b+c）2嗎？

這個問題比例3更加難一些，需要學(xué)生在大腦里經(jīng)過分析、類比等，將信息進行整合、加工、轉(zhuǎn)化方可計算.教師可根據(jù)學(xué)生實際情況，適時地加以引導(dǎo)，比如：完全平方公式是兩個數(shù)和的平方，而這道題目是三個數(shù)和的平方，能否將三數(shù)和轉(zhuǎn)化為兩數(shù)和呢？經(jīng)過這一提示，掌握得好的學(xué)生立馬就可以用加法的結(jié)合律將其中兩個數(shù)的和（a+b）看做一個整體，從而將（a+b+c）2轉(zhuǎn)化成（a+b）+c2，兩次使用公式就可以了.通過這道題目幫學(xué)生再總結(jié)一下字母的含義，加強符號意識，讓學(xué)生再次體會整體思想、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

4.布置作業(yè)

作業(yè)：完成課時學(xué)案.

三、設(shè)計理念

數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾指出：“積極的數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)是數(shù)學(xué)活動（思維活動）的教學(xué)，而不是數(shù)學(xué)活動的結(jié)果——數(shù)學(xué)知識的教學(xué).”所以，教學(xué)設(shè)計要重視學(xué)生對所學(xué)知識的參與、體驗程度;要本著符合學(xué)生的認(rèn)知特點、順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展的目的而設(shè)計;同時要對課堂教學(xué)內(nèi)容進行優(yōu)化重組——精選例題和習(xí)題，要緊緊圍繞教學(xué)重難點有針對性地、合理地設(shè)計問題和活動.當(dāng)一切都在適當(dāng)?shù)膯栴}引領(lǐng)之下、學(xué)生的積極參與之下、教師的適當(dāng)點撥下自然生成時，學(xué)生的主體作用得以體現(xiàn)是水到渠成的事.整個教學(xué)過程，學(xué)生體驗到了知識的生成過程，感受到了數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，也體驗了思維的過程，感受到了數(shù)學(xué)思想，必會實現(xiàn)教師和學(xué)生教學(xué)相長.

參考文獻：

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編輯 郭小琴