淺談如何求橢圓的離心率

鄧宏江

摘要：就近年來(lái)的高考命題趨勢(shì)來(lái)看，高考數(shù)學(xué)對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力的要求越來(lái)越高，在這一背景下高中教師不僅僅應(yīng)當(dāng)注重學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)的培養(yǎng)和夯實(shí)，更是應(yīng)當(dāng)從新高考的背景下對(duì)學(xué)生解題能力、思維能力和綜合能力進(jìn)行培養(yǎng)和提升。本文通過筆者總結(jié)的幾個(gè)例題的角度來(lái)看，對(duì)于如何求橢圓的離心率做出了一些探討總結(jié)，以期望能夠啟發(fā)廣大考生的思維。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);橢圓習(xí)題;離心率;解題方法

引言：橢圓離心率是橢圓的幾何性質(zhì)中的重要內(nèi)容，但是由于橢圓不像是圓形那樣有固定的公式對(duì)于自身的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解，橢圓離心率的求解過程中往往需要學(xué)生綜合的運(yùn)用各種不同的數(shù)學(xué)知識(shí)，比如不等式、方程等知識(shí)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行求解。這就對(duì)于學(xué)生的綜合能力要求很高。在這一背景下，教師應(yīng)當(dāng)積極的結(jié)合學(xué)生的實(shí)際探究橢圓離心率的解題方法，讓學(xué)生認(rèn)知到解橢圓離心率的關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生在高考緊張的數(shù)學(xué)考試背景下能夠快速的找到解題思路，幫助學(xué)生獲取理想的學(xué)習(xí)成績(jī)。

1 基礎(chǔ)題型利用定義求解

在橢圓離心率求解的過程中最基礎(chǔ)也是最基本的就是利用定義求解，在利用這一方法的過程中需要學(xué)生長(zhǎng)出題目中給出的c、a中的值或者在題目中找出，然后再利用相關(guān)的值進(jìn)行解析，這一類題型較為簡(jiǎn)單，需要學(xué)生對(duì)于橢圓離心率的定義能夠深入掌握。

例一、已知橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率為（）。

例題解析：本題由于沒給出具體的數(shù)值，那么就可以利用設(shè)未知數(shù)的方式來(lái)進(jìn)行相關(guān)的解析，比如設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為2a，設(shè)橢圓的短軸為2b，設(shè)橢圓的焦距為2c，則可以利用題目中給出的“等差數(shù)列”這一條件列出等式：2a+2c=2×2b，然后在整理等式可以得出橢圓的e=。

2 提升題型利用方程求解

提升題型筆者在這里定義的是較難的題型，這類題型往往具有較為復(fù)雜的題干，其定義中的c、a等和橢圓離心率相關(guān)的數(shù)值沒有直接給出，需要學(xué)生根據(jù)題目條件進(jìn)行解析，然后利用題目中的等量關(guān)系進(jìn)行相關(guān)方程的列舉，最終求出橢圓的離心率。利用這種方法進(jìn)行解題的過程中不僅僅要求學(xué)生對(duì)于橢圓相關(guān)的定義和公式進(jìn)行牢固的掌握，更是需要對(duì)于方程等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)能歐透徹理解，認(rèn)真的讀懂題目，才能夠找出題目中隱含的方程條件。

例二、設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若三角形F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（）

例題解析：仔細(xì)分析題目我們可以看出本題給出的關(guān)鍵條件為“三角形F1PF2為等腰直角三角形”并且橢圓的長(zhǎng)軸垂直相較于橢圓于P點(diǎn)，這就可以利用等腰三角形的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行解析，利用F1=F2這一條件我們可以輕易的列出等式2ac=b2=a2c2，再對(duì)這個(gè)等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最終可以轉(zhuǎn)化成e2+2e=0，最終利用方程組進(jìn)行求解。這樣就可以快速的進(jìn)行解題。學(xué)生在觀察這一題目時(shí)應(yīng)當(dāng)在草紙上畫出相應(yīng)的圖形，這樣才能夠有效的幫助學(xué)生進(jìn)行題目的解析。

3 綜合題型利用不等式求解

在橢圓離心率求解的題目中讓學(xué)生最為頭疼的就是利用不等式進(jìn)行求解，一方面是由于不等式解析起來(lái)較為困難，另一方面就是往往蘊(yùn)含不等式相關(guān)知識(shí)的題目都較為綜合，對(duì)于學(xué)生綜合能力的要求很高，因此筆者將蘊(yùn)含不等式知識(shí)點(diǎn)的題目定義為綜合題型。綜合題型中運(yùn)用不等式的知識(shí)點(diǎn)往往存在著幾種方式，接下來(lái)筆者就針對(duì)不同的方式進(jìn)行分類的例題解析：

3.1 直接根據(jù)題意列出不等式關(guān)系進(jìn)行求解

例三、橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，兩條準(zhǔn)線與x軸相交于M、N點(diǎn)，如果∣MN∣≦2∣F1F2∣，則該橢圓的離心率的取值范圍為（）。

例題解析：根據(jù)題目可以得出很簡(jiǎn)單的得出a和c之間的不等關(guān)系式，因此，可以進(jìn)一步的利用這一不等關(guān)系式進(jìn)行取值范圍的求解。

3.2 利用平面幾何的關(guān)系或者圓錐曲線之間的關(guān)系建立不等式求解

例四、橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，若其右準(zhǔn)線上存在點(diǎn)P ，線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2，那么求得此橢圓的離心率取值范圍為（）。

例題解析：在進(jìn)行例題解析的過程中明顯的看出本題應(yīng)當(dāng)利用“中垂線”這一條件進(jìn)行解題，因此可以利用這一點(diǎn)列出不等式：，然后經(jīng)過轉(zhuǎn)化進(jìn)行解析。在這類題目中應(yīng)當(dāng)利用題目中所給出的幾何關(guān)系進(jìn)行解答，這樣能夠更加快速準(zhǔn)確的找到解題思路。

3.3 利用圓錐曲線的性質(zhì)建立不等式求解

例五、橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，如果點(diǎn)P位其上的一點(diǎn)，∣PF1∣=2∣PF2∣，則該橢圓的離心率的取值范圍為（）。

例題解析：本題目中的關(guān)鍵條件為∣PF1∣=2∣PF2∣，這就需要學(xué)生結(jié)合圓錐曲線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行相應(yīng)的不等式的建立，由本題的條件可以得出，進(jìn)一步的通過這個(gè)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求出離心率的取值范圍。

4 結(jié)語(yǔ)

橢圓的離心率在最近幾年中已經(jīng)逐漸的成為了高考命題的熱點(diǎn)，而橢圓離心率的相關(guān)題目不僅僅考察的是學(xué)生的綜合能力，更是要求學(xué)生應(yīng)當(dāng)掌握相關(guān)的知識(shí)技巧來(lái)進(jìn)行解題。高中階段是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要階段，教師應(yīng)當(dāng)積極的利用方法的總結(jié)來(lái)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，學(xué)生掌握良好的數(shù)學(xué)解題方法不僅僅可以幫助學(xué)生提升自身的解題效率，更是可以全面的促進(jìn)學(xué)生的能力提升。

參考文獻(xiàn)：

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（作者單位：四川省廣元外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）