“過圓外一點作圓的切線”的教學價值評析及教學設計

李麗娜 張昆

2淮北師范大學?數學科學學院，安徽淮北?235000）[=]【摘?要】“過圓外一點作圓的切線”是“圓的切線的判定定理”教學內容的自然發(fā)展，作為平面幾何基本作圖的一個有價值的知識點，理應成為一個拓展的教學內容。文章闡述了兩種課堂教學途徑，一是講授法，將“過圓外一點作圓的切線”作為鞏固新知識“圓的切線的判定定理”一個例題的課堂教學活動的關鍵環(huán)節(jié);二是探究發(fā)現法，教師與學生進行“心理換位”，從揣摩與推測學生如何思考問題出發(fā)設計教學。兩種教學法各有優(yōu)劣，但研究者倡導授課教師還是要練就以探究發(fā)現法進行教學，因為這是培養(yǎng)學生獨立學習能力的重要途徑。

【關鍵詞】教學設計;講授法;探究發(fā)現法

【作者簡介】李麗娜，中學一級教師，淮北市濉溪縣城關中心學校;張昆，中學高級教師，博士，主要研究方向為數學教學論、數學課程論、數學教育哲學、數學史等。?人教版數學九年級上冊在第95頁至第104頁，以10頁的篇幅呈現了課題名稱為“直線和圓的位置關系”的教學內容，主要包含圓的切線的判定、圓的切線的性質定理、圓的切線長定理（教材注明為選學內容），并相應地配置了合適的例題與習題。教科書的材料內容呈現合理，例題、習題的選擇典型、精當，行文有力，有利于教師的施教與學生的學習，體現了人教版專家編制教科書的高格局、高水平，具有很強的適應性。在此基礎上，筆者認為關于圓的切線的基本作圖問題之一——“過圓外一點作圓的切線”內容理應成為圓的知識點的一個拓展的教學內容。

一、“過圓外一點作圓的切線”的教學價值

研究者認為，教師在完成切線的判定定理教學內容后，可以承接例1增加一個例2，向學生介紹“過圓外一點作圓的切線”的基本作圖問題。如果課堂教學時間充足，教師還可以探究發(fā)現的方式帶領學生學習，掌握基本作圖的一般步驟;如果課堂教學時間不充足，教師可以要求學生在課后自學。增設“過圓外一點作圓的切線”教學內容的主要依據主要體現在以下幾方面。

其一，加深對平面幾何基本圖形的認識，建立幾何直觀。歐幾里得在著《幾何原本》時，特別重視基本作圖。他引進的公理、公設、定理及其證明過程的圖形，都可以通過尺規(guī)（尺——沒有刻度的直尺，規(guī)——沒有特殊功能的圓規(guī)）作出圖形。無獨有偶，波利亞在《數學的發(fā)現（第一卷）》第一章“雙軌跡的模型”中，選擇了“第一，作已知三角形的外接圓;第二，作兩圓的公共切線;第三，給定三條中線，求作三角形”[1]三個典型的用尺規(guī)作圖的例子。透過這些數學家兼數學教育家對尺規(guī)作圖的重視，我們可以認識到，平面幾何的基本作圖具有非常重要的意義。理在用中方知妙，學生通過平面幾何的基本作圖，可以認識作圖工具，并借助作圖工具理解平面幾何理論知識，加深對平面幾何基本圖形的認識，為母語、圖形語言、符號語言的認識、發(fā)展與轉化奠定基礎，為積累嚴謹的幾何語言打下基礎，為證明較為復雜的幾何命題探究活動提供感性材料，為添加輔助線、圖形語言與符號語言的表達與互譯創(chuàng)造條件[2]。

其二，有利于學生對自己的行為結果進行反思。由于學生的基本幾何作圖成果可以通過他們在媒介上留下的直觀痕跡立即加以判斷，因此盡管這些直觀痕跡與探究平面幾何命題證明的思維活動不完全一樣，但是偏向于“實踐操作—結論痕跡”的直截了當過程，他們對作出的痕跡結果反饋是直接的，對所作出的留在媒介上的直觀痕跡是否符合作圖要求也具有一目了然的特點。學生對這些直觀痕跡可以通過邏輯推理加以檢驗與驗證。如果發(fā)現了其中某些環(huán)節(jié)具有缺陷或者錯誤，他們會自覺重新思考，形成新的指導操作作圖工具的幾何觀念，修正其中的某些環(huán)節(jié)，得到正確的結論;或者另起爐灶，重新走一遍前述的作圖過程，直到獲得正確的作圖痕跡為止。

同樣，“過圓外一點作圓的切線”基本作圖的有效正確操作，對于學生理解圓的切線性質定理與判定定理具有極大的幫助。因此，教師應將其作為一個拓展的內容進行教學。

二、“過圓外一點作圓的切線”教學設計研究

由前述分析可知，“過圓外一點作圓的切線”是“圓的切線的判定定理”教學內容的自然發(fā)展，作為平面幾何基本作圖的一個有價值的知識點，理應成為圓知識點的一個拓展教學內容。在進行這個知識點的學習時，由于需要制作輔助圓，因此對于學生來講，并不是一件容易的事情。研究者探究了兩種課堂教學途徑，現摘要性地展示，供大家評判與參考。

教師甲將“過圓外一點作圓的切線”作為鞏固新知識“圓的切線的判定定理”一個例題的課堂教學活動的關鍵環(huán)節(jié)（其中的省略號表示學生的思維中斷）。

師：剛剛學習的“圓的切線的判定定理”具有什么特征？

生1：具有兩個方面的結構特征。其一，經過半徑的外端;其二，并且垂直于這條半徑的直線。

師：下面請同學們看例1（PPT展示例1）。如圖1，已知⊙O2經過⊙O1的圓心，⊙O2與⊙O1相交于點A與點B，直線O1O2交⊙O2于點P，求證：PA是⊙O1的切線。

師：要證明PA是⊙O1的切線，我們就要運用生1所說的圓的切線的判定定理的結構特征。如何利用這兩個特征解鎖證明的思路呢？

生2：由于點A是PA和⊙O1的公共點，因此我們只要證明點A到點O1的距離是⊙O1的半徑就行了。連接O1A，證明O1A垂直于PA就達到目的了。因為O1P是⊙O2的直徑，故O1P所對的圓周角∠O1AP為直角，O1A是點O1到PA的距離，從而得到PA是⊙O1的切線。

師：讓我們一起反思這道證明題。老師再提出一個新問題（記為例2）。如圖2，已知⊙O1與⊙O1外一點P，求作⊙O1的切線。同學們如何解決這道作圖題？

生：……

師：大家仔細觀察圖1，并認真研究例1的證明過程。這對解決例2有幫助嗎？請大家認真思考，擬定例2的作圖步驟。

生3：第一步，連接O1P;第二步，取線段O1P的中點O2，以O2為圓心，以O2P的長為半徑，畫⊙O2交⊙O1于點A和點B;第三步，連接PA。如此，PA是⊙O1的一條切線。

師：生3提供的作圖步驟正確嗎？如何判斷這個結論？

生4：正確。可以依據生3作圖所提供的條件，對“PA是⊙O1的一條切線”結論加以證明就可以了。這個證明過程就是生2所給出的證明過程。

教師甲通過分析學生對“過圓外一點作圓的切線”發(fā)生認識時的心理疑難，進步分散難點。例1的證明活動，一方面促使學生鞏固剛剛學習的“圓的切線的判定定理”，另一方面又以其為支持點，設計新問題（例2）促使學生認識這個重要的基本作圖步驟。在教學的啟發(fā)下，從例1的證明中，學生獲得基本作圖步驟的分析活動過程，教師也圓滿地完成了教學任務。

然而，這種教學設計也具有較大的缺點，在“過圓外一點作圓的切線”教學活動中，由于有例1的奠基，因此掩蓋了學生發(fā)現作圖步驟的思維活動過程。這種發(fā)現作圖步驟的思維活動過程極其重要，因為學生學習的不僅僅是數學知識的內容，更是伴隨數學知識內容的產生，練就思維活動的創(chuàng)造性。從分析信息開始，到確定問題的疑難所在，再到這個疑難是如何轉化為舊知識，或者創(chuàng)作新的數學觀念、數學方法等數學內容，這些才是數學課堂教學活動真正重要的地方。學生的這些數學觀念、數學能力發(fā)展起來之后，才能形成自己的個性化數學經驗。這種經驗比較容易遷移到今后面臨的新數學疑難問題中去，為解決新問題奠定基礎[3]。

為了研究“過圓外一點作圓的切線”基本作圖的教學設計，研究者設計如下新的教學活動。

師：如圖2，已知點P是⊙O1外一點。我們知道，過點P肯定存在與⊙O1相切的直線。請同學們思考，如何作出其中的一條切線？

生：……

師：我們如何判定過點P的一條直線是⊙O1的切線？

生1：這肯定要使用圓的切線的判定定理。對于圖2的作圖要求而言，要過點P引一條直線，使這條直線滿足兩個條件：一是所引的這條直線與⊙O1有交點;二是把這個交點與點O1連接起來，同時使這條連線與所引的直線垂直，這個交點就是垂足。如此就可以判斷過點P所引的這條直線是⊙O1的切線了。

師：生1說得非常清楚。要想依據這個問題的條件作出合適的直線（過點P作⊙O1的切線），就要同時保證滿足這兩個條件。這是一件比較難以辦到的事情。大家對此有什么意見嗎？

生2：假定符合要求的那條切線已經被我們找到（如圖3），那么它就滿足了兩個條件：一是點A在⊙O1上，為半徑O1A的外端點;二是O1A⊥PA。

師：你們可否一個條件、一個條件地考慮？或者先考慮第二個條件作O1A⊥PA呢？

生3：由生2的提示，我們可以作一個以O1P為斜邊、以點A為直角頂點的Rt△AO1P就可以達到目的?？上В乱徊轿也恢廊绾翁幚砹?。

師：大家開動腦筋，認真仔細地思考，如何作出Rt△AO1P呢？

生：……

師：在什么條件下，我們不用有意識地過直線外一點引這條直線的垂線，就可以自然而然地得到直角三角形呢？

生：……

師：大家可能受到了“直角是在直線的條件下產生的”思維定式的影響?，F在我們將O1P連接起來（如圖4）。大家想到了什么？

生4：我想到了，只要以線段O1P為直徑作一個新的圓，就可以確?！螼1AP為直角了。

師：大家可以通過我們所使用的探究活動過程所得到的結果，寫出“過圓外一點作圓的切線”的一般作圖步驟嗎？（下面回歸到教師甲的教學活動所產生的作圖過程，如圖1）

以上教學設計是以研究者帶領學生在課堂展開探究活動為主旨的。其前提條件是教師與學生進行“心理換位”，揣摩與推測學生是如何思考問題的。在探究發(fā)現法中，學生對數學新知識發(fā)生認識時最重要的地方在于明確問題關鍵點的準確位置，然后針對這個關鍵點，教師要捂住“包袱”，不要輕易抖開。因為正是在這個地方需要教師誘發(fā)學生生成解決問題的數學觀念（例如，通過研究者的教學設計可以發(fā)現，在啟發(fā)學生作O1A⊥PA時，研究者使用了層層鋪墊、步步緊逼，使生4萌生了作“輔助圓”的數學觀念，從而比較好地發(fā)揮了這個知識點的教學價值;而在教師甲的教學設計中，他通過例1的證明活動過程，將“輔助圓”的構建過程和盤托出，使學生在產生這種新數學知識時，失去培養(yǎng)學生萌生相應的解決問題的數學觀念的機會，從而達不到了這個知識點的教學價值）。如此，在課堂教學活動過程中，研究者通過不斷鋪墊與渲染，激起學生“接力”性地生成一個“序列”性的數學觀念。在這些數學觀念的指引下，學生合理操作圖形，找到了“過圓外一點作圓的切線”基本作圖的一般性方法與步驟，徹底解決了問題。

三、兩種教學設計方法的簡要評價及其合適的應用場合

在前面行文的敘述中，教師甲的教學方法更傾向于講授法，而研究者所提供的教學方法更傾向于探究發(fā)現法。關于“過圓外一點作圓的切線”基本作圖的這兩種教學設計皆有優(yōu)勢與劣勢。教師甲的課堂教學效率高，通過增加例題量來彌補學生探究經驗的不足;研究者的教學設計的優(yōu)勢自不必言，但也有劣勢，那就是教學效率低，課堂教學的絕對時間量往往不夠用。因此，在教學設計的選擇中，關鍵的一項條件即教師面對的是具有怎樣學習心理特征（學習習慣、前任教師的教學方式產生的影響等）的學生?？傊?，能夠適應學生心理發(fā)展的教學設計就是最好的教學設計。

當面對的學生已經養(yǎng)成獨立的學習習慣，且前任教師在自己的教學活動中也非常注重培養(yǎng)學生探究發(fā)現的學習方法，班級中已形成探究發(fā)現活動的氛圍，此時授課教師就應該選擇研究者所提供的教學設計進行教學。當面對的學生獨立學習能力比較差，也未養(yǎng)成很好的獨立學習習慣，且前任教師采用的教學方法大部分是傳授式的，班級中沒有形成探究發(fā)現活動的氛圍，此時授課教師選擇教師甲的教學設計進行教學，效果可能會更好。

雖然如此，但是授課教師還是要練就研究者所提供的教學設計途徑進行教學，因為這是培養(yǎng)學生獨立學習能力的重要途徑?！敖淌菫榱瞬唤獭币髮W生在獲得數學知識的過程中，同步養(yǎng)成數學學習習慣，同步發(fā)展數學能力，同步自己（而不是教師提供）萌生相應的數學觀念，同步形成新鮮的、有價值的數學經驗。但學生這種獨立學習的習慣、能力、觀念與經驗，都不是一蹴而就的，需要數學教師課堂教學的長期影響，時時注意啟發(fā)，才有可能養(yǎng)成。

選擇研究者提供的這種教學設計途徑進行教學，大部分數學教師在開始教學時可能有點不適應。其一，在教學中，教師要以像“學生一樣的探索者”的身份出現，明明自己知道答案，卻要偽裝成不知道，明明掌握了問題的絕妙的解法，卻要隱忍于心、不講出來，讓學生思考，這對教師來說，是一件非常為難的事[4]。其二，這種課堂教學效率（產生知識量與教學時間的比率）較低，研究者在實際課堂教學時，為了促使學生萌生“輔助圓”這種數學觀念，用了將近十分鐘的時間，而且整個教學任務在當堂課沒有完成，因此在評課時，很多教師認為這樣做是得不償失的。其三，數學教師對數學知識特點的分析與學生發(fā)生數學知識認識的心理環(huán)節(jié)的揣測更不是一件容易的事情。如果教師不能理解數學知識的某些特點所構成的特定關鍵環(huán)節(jié)，不能準確把握學生認識數學知識的心理活動，就不可能恰到好處地設計學生探究活動的環(huán)節(jié)，也不可能發(fā)揮探究發(fā)現教學活動的真正價值[5]。因此，一線數學教師需要在這方面下一番苦功夫，提高認識、轉變觀念、練就能力、吸收經驗，才能掌握探究發(fā)現模型的教學方法，以發(fā)揮數學課程資源的教育價值。

四、結語

“過圓外一點作圓的切線”的基本作圖問題應該作為一個拓展的內容進行教學。因為它對鞏固“圓的切線的判定定理”知識是一種非常好的材料;同時，它又是與圓的知識內容相關的一項“基本作圖”（初中平面幾何的基本作圖問題為數不多），學生學習這一個教學內容可以感受幾何作圖的思維方法;另外，它還是一項非常好的啟發(fā)學生進行探究學習的學習內容。在施教“過圓外一點作圓的切線”的基本作圖知識點時，數學教師選擇的教學途徑應該是研究者所提供的這種教學設計，對此一線數學教師應該思之再思，慎之又慎！

參考文獻：

[1]波利亞.數學的發(fā)現：第一卷[M].劉靜麟，曹之江，鄒清蓮，譯.呼和浩特：內蒙古人民出版社，1979.

[2]張昆.“理性”與“實用性”：何長何消——對平面幾何知識進入義務教育課程的一些思考[J].課程·教材·教法，2007（8）：42-45.

[3]張昆.教材的結構-功能分析方式探索：基于數學教學設計的視角[J].中學數學（初中版），2017（6）：28-31.

[4]張昆，曹一鳴.完善數學教師教學行為的實現途徑[J].數學教育學報，2015（1）：33-37.

[5]張昆.整合數學教學設計的取向：基于知識發(fā)生的邏輯取向與心理取向研究[J].中國教育學刊，2011（6）：52-55.