漫話狄利克雷函數(shù)

李紅

青年問(wèn)禪師：“我覺(jué)得我在這個(gè)世界上是多余的，沒(méi)有人需要我.”

禪師說(shuō)：“就像你所學(xué)的數(shù)學(xué)，無(wú)論怎樣復(fù)雜艱深的函數(shù)，都有適合的圖象對(duì)應(yīng).你只是還沒(méi)找到那個(gè)圖象而已.”

青年沉思一番，提筆寫(xiě)下了狄利克雷函數(shù)的描述.

狄利克雷函數(shù)可以簡(jiǎn)單地表示為分段函數(shù)的形式：D（x）={1，x為有理數(shù)，0，x為無(wú)理數(shù).在中學(xué)范圍內(nèi)，我們可以理解的基本性質(zhì)有：（1）定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)數(shù)域R;（2）值域?yàn)閧0，1};（3）函數(shù)為偶函數(shù);（4）無(wú)法畫(huà)出函數(shù)圖象，但是它的函數(shù)圖象客觀存在;（5）以任意正有理數(shù)為其周期，但不存在最小正周期.

一、狄利克雷函數(shù)的簡(jiǎn)介

狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)是函數(shù)概念發(fā)展過(guò)程中的標(biāo)志性事件之一.狄利克雷（1805- 1859），德國(guó)數(shù)學(xué)家，他是解析數(shù)論的創(chuàng)始人，很多小學(xué)生熟知的抽屜原理就是他在1834年提出的.

函數(shù)的圖象就是函數(shù)的寫(xiě)真，狄利克雷函數(shù)圖象是客觀存在，但卻無(wú)法畫(huà)出的.

狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)，不僅給了我們一個(gè)無(wú)法畫(huà)出函數(shù)圖象的反例，而且極大地推動(dòng)了函數(shù)概念的發(fā)展，使人們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)超越了1718年瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利提出的函數(shù)解析式定義的階段.在1837年，狄利克雷認(rèn)識(shí)到怎樣去建立兩個(gè)量x與y之間的函數(shù)解析式是無(wú)關(guān)緊要的，關(guān)鍵是建立它們之間的對(duì)應(yīng)，從而創(chuàng)立了現(xiàn)代函數(shù)的正式定義：“如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y是x的函數(shù).”這個(gè)定義抓住了概念的本質(zhì)屬性，變量y稱為x的函數(shù)，只需有一個(gè)法則存在，使得這個(gè)函數(shù)取值范圍中的每一個(gè)值x，有一個(gè)確定的y值和它對(duì)應(yīng)就行了，不管這個(gè)法則是公式或圖象或表格或其他形式.

同樣，周期性是函數(shù)的另一個(gè)重要性質(zhì).具有周期性的函數(shù)，我們更關(guān)心函數(shù)的最小正周期.那么，具有周期性的函數(shù)是不是都有最小正周期呢？答案是否定的，狄利克雷函數(shù)是周期函數(shù)，但是沒(méi)有最小正周期，因?yàn)椴淮嬖谧钚≌欣頂?shù).

二、狄利克雷函數(shù)的應(yīng)用所以，周期T=3，故a20=a2= √3.

點(diǎn)評(píng) 該問(wèn)題以狄利克雷函數(shù)為背景，將周期性和數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行有機(jī)整合，有韻味有變化，看似結(jié)構(gòu)復(fù)雜卻并不復(fù)雜.

例 2

已知函數(shù) f（x）={ 1，x，為有理數(shù)，0，x、為無(wú)理數(shù)，出下列四個(gè)命題：

①函數(shù)f（x）是偶函數(shù);

②函數(shù)f（x）是周期函數(shù);

③存在xi∈R（i=1，2，3），使得以點(diǎn)（xi，f（xi））（i=l，2，3）為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形;

④存在xi∈R（i=1，2，3），使得以點(diǎn)（xi，f（xi））（i=1，2，3）為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.

其中，所有真命題的序號(hào)是_____（填上你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)）.

解析 ①若x為有理數(shù)，則 -x也為有理數(shù)，所以f（x）=f（x）=1;

若x為無(wú)理數(shù)，則-x也為無(wú)理數(shù)，所以f（x）=f（-x）=0.

綜上有f（x）=f（-x），故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，①正確.

②若x為有理數(shù)，則x+3也為有理數(shù)，于是f（x+3）=f（x）=1;若x為無(wú)理數(shù)，則x+3也為無(wú)理數(shù)，則f（x+3）=f（x）=0，故3為函數(shù)的一個(gè)周期，即f（x）是周期函數(shù)，故②正確（易知，任何一個(gè)芷有理數(shù)都是它的周期）.

③設(shè)三個(gè)點(diǎn)（x1，0），（x2，1）（x3，0），且x1=x3= 2x2，x3-x2=√3/3，令x2=0，x1=-√3/3，x3=√3/3，合題意，③正確.

④假設(shè)存在等腰直角三角形ABC，則斜邊AB只能在x軸上或在直線y=1上，且斜邊上的高始終是1.若斜邊AB在x軸上，點(diǎn)C在直線y=1上，故斜邊AB=2，且點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)是無(wú)理數(shù)，則斜邊AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)也是無(wú)理數(shù)，C的橫坐標(biāo)是無(wú)理數(shù)，縱坐標(biāo)只能為0，不符合題意;若斜邊AB在直線y=l上，點(diǎn)C在x軸上，故斜邊AB=2，且點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)是有理數(shù)，則斜邊AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)也是有理數(shù)，C的橫坐標(biāo)是有理數(shù)，縱坐標(biāo)只能為1，不符合題意，即不存在符合題意的等腰直角三角形，④錯(cuò)誤.

故正確答案為①②③.

點(diǎn)評(píng) 要解決好這個(gè)問(wèn)題，我們首先要在閱讀上下功夫.其中部分命題的判斷中，結(jié)合狄利克雷函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行了構(gòu)造處理，或許數(shù)形結(jié)合效果會(huì)更好，不妨試試看.

文章到此應(yīng)該結(jié)束了，但我仍然有意猶未盡的感覺(jué)，忽然想到了狄利克雷的一則軼聞.

狄利克雷一生只癡迷于數(shù)學(xué)事業(yè)，對(duì)于個(gè)人和家庭都是漫不經(jīng)心的.當(dāng)他的第一個(gè)孩子出生時(shí)，向岳父寫(xiě)的信中只寫(xiě)上了一個(gè)式子：2+1=3.

你懂的.

鞏固練習(xí)

1.（福建卷）設(shè)函數(shù)D（x）={1，x，為有理數(shù)，0，x為無(wú)理數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A.D（x）的值域?yàn)閧O，1}

B.D（x）是偶函數(shù)

C.D（x）不是周期函數(shù)

D.D（x）不是單調(diào)函數(shù)

2.f（x）=ax2+bx+c，g（x）=mx2 +nx+p，a，b，c，m，n，p為非零常數(shù)，其中b2- 4ac=a2，設(shè)d（x）={x，x為有理數(shù) 0，x為無(wú)理數(shù) 關(guān)于x的方程f（d（g（x）））=0的解最多有___個(gè).

參考答案

1.C. 2.4.