“算一次”不行，就“算兩次”

周雨霏

首先來看一道題：

試用兩種方式表達(dá)該正方形的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？

解S=（a+b2，S=a2 +2ab+b2

→ 我們可以得到完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2.

早有接觸的完全平方公式，想必大家不會陌生，而這種用不同的形式表示同一量，從而建立相等關(guān)系的“算兩次”的方法在數(shù)學(xué)中也常常會用到.其實(shí)，我們在做計(jì)算題的時(shí)候，常常會采用不同的算法來檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果是否準(zhǔn)確，不也是“算兩次”嗎？

在算法算理更為復(fù)雜的高中數(shù)學(xué)里，這一種方法也可謂利用得“淋漓盡致”.

根據(jù)上面的這個例子，我們還可以發(fā)現(xiàn)“算兩次”是獲得等式的重要方法.如果還是沒有感覺，我們就再來看些例題，

先拿剛學(xué)習(xí)不久的向量運(yùn)算為例：

例1 設(shè)向量a=（cos 75°，sin 75°），b=（cos 15°，sin 15°），試分別計(jì)算a·b=|a||b|cosθ及a·b=x1x2+y1y2，比較兩次計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么？

不妨利用坐標(biāo)系和單位圓進(jìn)行研究.

解 依題意，|a|=1，|b|=1，a，b的夾角 θ=60°，

有 a·b = |a| |b| cosθ= cos 60° =cos（75°-15°） ，

又 a·b =x1x2 +y1y2= COS75°cos15°+sin75°sin15°.

結(jié)論：明顯可以發(fā)現(xiàn)cos（75° -15°）=cos75° cos15°+sin75°sin15°.

一般地，可以得到cos（β-α）=COSβCOSα+ sinβsinα，也就是我們在必修4第三章所學(xué)習(xí)的——兩角差的余弦公式.

“算兩次”的技巧除了可以得出一些規(guī)律性的結(jié)論外，還可以靈活運(yùn)用在計(jì)算當(dāng)中.仍以向量計(jì)算為例：

例2 如圖3，在△ABC中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，且AN=1/2NC·BN與CM相交于點(diǎn)E，設(shè)AB=a，AC=b，試用基底a，b表示向量AE.

解析 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：AE可以在△ANE，△AME中分別表示.

解題先做好準(zhǔn)備工作：

在△ABC中，BC=AC-AB=b-a，

MC=MB+BC=1/2AB+BC=1/2a+（b-a）=-1/2a+b，

NB=AB-AN=AB-1/3AC=a-1/3b.

因?yàn)榭梢栽凇鰽NE，△AME中分別表示AE，而AN和AM已知，

所以不妨設(shè)NE=λNB，ME=μMC，

在△ANE中，AE=AN+NE=1/3b+λ（a-1/3b）=λa+（1/3-1/3λ）b;

在△AME中，AE=AM+ME=1/2a+μ（-1/2a+b）=（1/2-1/2μ）a+μb.

根據(jù)平面向量基本定理——如果e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，可得二元一次方程組

{λ=1/2-1/2μ，1/3-1/3λ=μ，解得{λ=2/5，μ=1/5.所以可得AE=2/5a+1/5b.

問題反思：例2在熟練掌握平面向量基本定理和二元一次方程解法的基礎(chǔ)上，采用“算兩次”的算法，“錦上添花”達(dá)到靈活運(yùn)算的結(jié)果.可見，唯有靈活熟練地掌握更多知識點(diǎn)，才可以“更上一層樓”的加以利用.

感悟提升 初次接觸“算兩次”思想時(shí)，不由得感嘆其精妙與神奇，一直在思索是如何強(qiáng)大的邏輯思維才可以一步步地思考到這種方法，后來經(jīng)過不斷地積累和整理，發(fā)現(xiàn)可能是“嘗試”的結(jié)果吧.

解數(shù)學(xué)題也就好像“人生”，總不可能一帆風(fēng)順，遇到瓶頸時(shí)，不斷地嘗試，說不定會有意料之外的驚喜呢！數(shù)學(xué)作為高考的“大科目”也需要我們每一個人用心體驗(yàn)與感悟，唯有這樣，才會“溫故而知新”，在學(xué)習(xí)與生活上更上一層樓！