指向核心素養(yǎng)的“一元一次方程”的教學(xué)及其分析

王可芳

摘要：促進(jìn)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)需要過(guò)程教育，但在以“一元一次方程”為載體的研修活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)普遍存在過(guò)程教育不到位的問(wèn)題。研究者在重復(fù)觀摩與反思的基礎(chǔ)上對(duì)該課的教學(xué)進(jìn)行重建，改進(jìn)后的教學(xué)方案實(shí)踐后取得了較好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)素養(yǎng);過(guò)程教育;一元一次方程;教學(xué)方法;教學(xué)分析

一、背景介紹

數(shù)學(xué)教育中的“立德樹(shù)人”，以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)?！皵?shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動(dòng)之后所積淀和升華的產(chǎn)物”。由此可知，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)需要“過(guò)程教育”。但筆者在以浙教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第五章第1節(jié)“一元一次方程”為載體的“多人同課異構(gòu)”的研修活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)普遍存在過(guò)程教育不到位的問(wèn)題。鑒于此，筆者在重復(fù)觀摩與反思的基礎(chǔ)上對(duì)該課的教學(xué)進(jìn)行重建，改進(jìn)后的教學(xué)方案實(shí)踐后取得了較好的教學(xué)效果。本文呈現(xiàn)改進(jìn)后的教學(xué)過(guò)程，并提供教后分析，供讀者參考，研究。

二、教學(xué)實(shí)錄

環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷產(chǎn)生對(duì)象與提出問(wèn)題的過(guò)程——明確研究問(wèn)題。

師：我們知道，含有未知數(shù)的等式叫作方程，我們以前曾經(jīng)學(xué)過(guò)怎樣列算式、列代數(shù)式和列方程，那么，根據(jù)下列問(wèn)題的條件，我們可以列出怎樣的算式和方程？

（1）“雙十一”期間，“銀泰百貨”搞促銷(xiāo)活動(dòng)。若一件衣服按8折銷(xiāo)售的售價(jià)為72元，則這件衣服的原價(jià)是多少元？

①求這件衣服的原價(jià)可列出算式： 。

②若設(shè)這件衣服的原價(jià)為x元，則可列出方程：

。

（2）物體在水下，水深每增加10.33米承受的壓力就會(huì)增加1個(gè)大氣壓。當(dāng)“蛟龍”號(hào)下潛至3500米時(shí)，它承受的壓力約為340個(gè)大氣壓。當(dāng)它承受壓力增加到500個(gè)大氣壓時(shí)，它又繼續(xù)下潛了多少米？

①求它又繼續(xù)下潛的深度可列出算式：? ? ? ? ?。

②若設(shè)它又繼續(xù)下潛了y米，則可列出方程：

。

（3）小強(qiáng)、小杰、張明參加投籃比賽，每人投了20次。小強(qiáng)投進(jìn)10個(gè)球，小杰比張明多投進(jìn)2個(gè)，三人平均每人投進(jìn)14個(gè)球。小杰和張明各投進(jìn)多少個(gè)？

①求張明投進(jìn)的個(gè)數(shù)可列出算式：。

②若設(shè)張明投進(jìn)z個(gè)，則可列出方程：? ? ? ? ?。

（學(xué)生自主列式，教師巡視指導(dǎo)）

師：誰(shuí)來(lái)匯報(bào)所列的算式和方程？

生1：（1）算式? ? ? ? ? ? ? ? ? ，方程? ? ? ? ? ? ? ? ? ?;

（2）算式? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，方程? ? ? ? ? ? ? ? ;

（3）算式? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，方程? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

生2：（1）方程? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;（2）方程

。

生3：（2）方程? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;

（3）方程? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

師：不錯(cuò)。不同的著眼點(diǎn)，可以得到不同的方程。

師：列方程的依據(jù)是什么？列方程的目的是什么？

生4：依據(jù)是問(wèn)題中的等量關(guān)系，目的是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。

師：列算式簡(jiǎn)單還是列方程簡(jiǎn)單？

生5：列方程比列算式簡(jiǎn)單。

師：事實(shí)上，方程中的字母（未知數(shù)）和已知數(shù)享有同等地位，并且可以參與運(yùn)算。方程打破了列算式時(shí)只能用已知數(shù)的限制，使得列方程要比列算式思考起來(lái)更直接，更自然，從而為解決問(wèn)題帶來(lái)更大的便利。

師：正因?yàn)橛梅匠探鉀Q實(shí)際問(wèn)題是人類(lèi)的一個(gè)偉大創(chuàng)舉，就有系統(tǒng)地研究方程的必要。像研究代數(shù)式一樣，我們?cè)谡J(rèn)識(shí)方程概念的基礎(chǔ)上，采用從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的研究策略，先來(lái)研究最簡(jiǎn)單的方程的特征、解法及其應(yīng)用。（揭示課題）

環(huán)節(jié)2：參與定義對(duì)象的活動(dòng)——形成一元一次方程的概念。

師：方程? ? ? ? ? ? ? ? ? 與算式? ? ? ? ? ? ? ? 相比有何差異？

生6：算式? ? ? ? ? ? ? 只含有已知數(shù)，而方程

有已知數(shù)，也有未知數(shù)。

生7：算式? ? ? ? ? ? ? ? 表示計(jì)算的程序，而方程

表示數(shù)量的相等關(guān)系。

師：不錯(cuò)。方程? ? ? ? ? ? ? ? ? ?與整式? ? ? ? ? ?相比分別有何差異？

生8：整式? ? ? ? ? 表示某種量，而方程

表示某種量的相等關(guān)系。

生9：整式? ? ? ? ?中的字母表示某種量且可取不同的值，而方程? ? ? ? ? ? ? 中的字母表示某個(gè)特定的未知量。

師：方程? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，

有何共同特征？（提示：可從字母?jìng)€(gè)數(shù)、字母次數(shù)、代數(shù)式的類(lèi)型等多個(gè)角度觀察）

生10：它們都含有一個(gè)未知數(shù)。

師：你是從未知數(shù)的個(gè)數(shù)角度來(lái)歸納。

生11：它們未知數(shù)的最高次數(shù)都是1次。

師：你是從未知數(shù)的次數(shù)角度來(lái)歸納。

生12：它們左右兩邊都是整式。

師：你是從代數(shù)式的類(lèi)型角度來(lái)歸納。

生13：它們都是等式。

師：你是從左右兩邊數(shù)量關(guān)系的角度來(lái)歸納。

生14：它們都不是算式。

師：你是借用算式的概念來(lái)歸納。

師：由此可知，它們的本質(zhì)特征是“一個(gè)未知數(shù)”“未知數(shù)的最高次數(shù)是1次”“整式”。

師：一般地，等式兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是一次，這樣的方程叫作一元一次方程。像方程的解的概念一樣，能使一元一次方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫作一元一次方程的解，也叫作一元一次方程的根（含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也可以稱(chēng)為方程的根）。

師：這里“一元”“一次”的含義分別是什么？

生15：“一元”是指“一個(gè)未知數(shù)”，“一次”是指“未知數(shù)的最高次數(shù)是1次”。

師：不錯(cuò)。我們獲得一元一次方程的概念經(jīng)歷了哪幾個(gè)步驟？

生16：列方程→觀察所列方程的特征→歸納所列方程的共同特征→命名這樣的方程。

師：這個(gè)獲得概念的思維過(guò)程我們以后會(huì)經(jīng)常用到。

師：大家認(rèn)為還需要進(jìn)一步研究什么？

生17：像研究算式、代數(shù)式一樣，還需要研究如何求一元一次方程的解。

師：有道理。引進(jìn)一個(gè)對(duì)象，就要研究它的運(yùn)算。

環(huán)節(jié)3：探索解特定的一元一次方程——生成“嘗試檢驗(yàn)法”。

師：在上面“小強(qiáng)、小杰、張明參加投籃比賽”的問(wèn)題中，我們列出的方程是“? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ”，能用方程解的概念來(lái)求這個(gè)方程的解嗎？

師：這個(gè)問(wèn)題中的未知數(shù)z有何特征？

生18：z是自然數(shù)。

師：z的大致取值范圍是什么？

生19：z的大致取值范圍是0到20中的自然數(shù)。

師：z在這個(gè)取值范圍內(nèi)可取哪些值？

生20：z在這個(gè)取值范圍內(nèi)可取12到18中的自然數(shù)。

師：將z可取的值分別代入代數(shù)式? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，

其對(duì)應(yīng)的代數(shù)式的值分別是什么？

生21：計(jì)算結(jié)果可用下表表示：

師：根據(jù)方程解的概念，哪個(gè)z的值是方程

的解？

生21：z=15。

師：這種解方程的方法叫作嘗試檢驗(yàn)法。其依據(jù)是方程解的概念，其基本過(guò)程是：先確定未知數(shù)的一個(gè)較小的取值范圍，再確定未知數(shù)可取的值，然后逐一將這些可取的值代入方程進(jìn)行嘗試檢驗(yàn)，能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解。

師：大家對(duì)用嘗試檢驗(yàn)法解方程有何感觸？

生22：用嘗試檢驗(yàn)法解方程比較費(fèi)時(shí)。

生23：它只適用于未知數(shù)是整數(shù)且取值個(gè)數(shù)有限的情況。

師：不錯(cuò)。盡管用嘗試檢驗(yàn)法解方程比較費(fèi)時(shí)，但它也是解決問(wèn)題的重要方法，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中會(huì)經(jīng)常用到。不久我們就能知道，解一元一次方程還有更簡(jiǎn)單的方法。

環(huán)節(jié)4：參與嘗試知識(shí)應(yīng)用的活動(dòng)——合作解答有代表性的問(wèn)題。

首先，教師要求學(xué)生完成課本第115頁(yè)的練習(xí)題1～3，并待學(xué)生完成任務(wù)后組織學(xué)生進(jìn)行交互反饋與評(píng)價(jià)。

其次，要求學(xué)生解答下列問(wèn)題：

（1）若x=-4是一元一次方程6-ax=x的解，則a的值是什么？

（2）先填寫(xiě)下表，再說(shuō)出方程3x-6=x（x是自然數(shù)）的解。

x 0 1 2 3 4 …

3x-6 -6 …

最后，引導(dǎo)學(xué)生反思：解答上述問(wèn)題的依據(jù)分別是什么？判斷所給的值是不是給定方程的解怎樣表達(dá)？

環(huán)節(jié)5：參與回顧與思考的活動(dòng)——合作進(jìn)行反思與總結(jié)（略）。

三、教學(xué)分析

一元一次方程可以看成是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的，也可以看成是從等式概念中演繹出來(lái)的，但采用“從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的”的看法，更能反映方程的數(shù)學(xué)本質(zhì)，更能使學(xué)生感悟研究一元一次方程的意義。一元一次方程可以采用白描方式定義，也可以采用歸納方式定義，又可以采用抽象方式定義，但觀察、歸納具體一元一次方程的共同特點(diǎn)有能力發(fā)展點(diǎn)，所以定義一元一次方程宜采用歸納方式，它要遵循用歸納方式定義的概念的認(rèn)知過(guò)程觀。用嘗試檢驗(yàn)法解一元一次方程的教學(xué)性質(zhì)是問(wèn)題解決教學(xué)，它要遵循問(wèn)題解決教學(xué)的基本規(guī)范。

本課例在精致化分析的基礎(chǔ)上，用抽象方式產(chǎn)生研究對(duì)象，用歸納方式定義研究對(duì)象，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)了“提出問(wèn)題（從具體問(wèn)題出發(fā)）→操作觀察（列方程并觀察其特征）→歸納抽象（歸納所列方程的共同特征，抽象所列方程的本質(zhì)特征）→表達(dá)概念（用歸納的方式表達(dá)概念）→研究解法（用嘗試檢驗(yàn)法解特定的一元一次方程）→解決問(wèn)題（用獲得的概念解決有代表性的問(wèn)題）→反思內(nèi)化（欣賞概念，感悟研究過(guò)程和其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想等）”的教學(xué)過(guò)程。

參與研修的教師普遍認(rèn)為，本課例遵循了概念教學(xué)的基本規(guī)范，體現(xiàn)了過(guò)程教育和以學(xué)為中心的思想，能實(shí)現(xiàn)“能根據(jù)簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的條件列出方程，能感悟研究方程的意義;能發(fā)現(xiàn)一元一次方程的本質(zhì)特征，會(huì)用文字語(yǔ)言表達(dá)一元一次方程及其解的概念，能積淀多角度觀察事物特征的經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)歸納思想;會(huì)模仿樣例用嘗試檢驗(yàn)法解特定的一元一次方程，能積淀用嘗試檢驗(yàn)法解方程的經(jīng)驗(yàn);能識(shí)別一元一次方程，能用一元一次方程及其解的概念解決有關(guān)問(wèn)題”的教學(xué)目標(biāo)。

因此，過(guò)程教育理論下的概念教學(xué)的重要標(biāo)志是：根據(jù)概念的定義形式有針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)，并引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的認(rèn)知過(guò)程;根據(jù)概念的地位與作用和所蘊(yùn)含的教育價(jià)值選擇教學(xué)的側(cè)重點(diǎn);根據(jù)概念的抽象程度、教學(xué)要求和學(xué)生實(shí)際選擇教學(xué)載體與方法。一般地，在組織實(shí)施概念教學(xué)活動(dòng)時(shí)，教師要從學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，運(yùn)用教師價(jià)值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開(kāi)放的方式，要留給學(xué)生足夠的自主思考與實(shí)踐的時(shí)間和合作交流的機(jī)會(huì)，要合理評(píng)價(jià)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中的表現(xiàn)，以促使學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]孔凡哲，史寧中.中國(guó)學(xué)生發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念界定及養(yǎng)成途徑[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017（9）：3.

[2]鄔云德.旨在統(tǒng)籌兼顧過(guò)程與結(jié)果的過(guò)程教育理論[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（11）：62-64.

（責(zé)任編輯：韓曉潔）