基于平面向量的高中數(shù)學(xué)解題想法研究

張萍

摘 要：在高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，平面向量是非常常用的知識(shí)點(diǎn)，也是比較重要的教學(xué)內(nèi)容。在學(xué)習(xí)與三角函數(shù)相關(guān)的知識(shí)、解答不等式、解決幾何難題過(guò)程當(dāng)中都會(huì)涉及到平面向量相關(guān)的知識(shí)。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，筆者也會(huì)分析很多用平面向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)的運(yùn)用平面向量知識(shí)解決一些相對(duì)較難的數(shù)學(xué)難題。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中三角函數(shù)問(wèn)題、幾何問(wèn)題和不等式問(wèn)題等難度較大也是教學(xué)重點(diǎn)。因此筆者根據(jù)教學(xué)實(shí)踐探究，就平面向量知識(shí)的合理運(yùn)用進(jìn)行了以下簡(jiǎn)要分析。

關(guān)鍵詞：平面向量;數(shù)學(xué)問(wèn)題;解題思路

一、平面向量教學(xué)內(nèi)容

平面向量相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)在學(xué)生進(jìn)入高一階段學(xué)習(xí)就已經(jīng)開(kāi)始接觸。這是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的知識(shí)點(diǎn)之一。通過(guò)教材分析以及探究，我們可以分析出高中階段的平面向量知識(shí)，具有這幾類特征：首先向量有大小與方向。其次，向量也具有幾何意義，具有相同的方向以及模長(zhǎng)，是證明兩個(gè)非零向量的必要條件。再次，向量具備運(yùn)算的特征，同時(shí)也可以從向量具備的幾何特點(diǎn)入手進(jìn)行一系列幾何形式的運(yùn)算。通過(guò)教材探究我們可以發(fā)現(xiàn)向量的這一特征主要與向量自身的長(zhǎng)度、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、向量間的加減法、其自身的幾何意義、向量的數(shù)乘運(yùn)算、幾何意義等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)所共同構(gòu)成。因此在進(jìn)行高中向量知識(shí)點(diǎn)教學(xué)時(shí)，可以合理地將向量與三角函數(shù)平面幾何、立體幾何、不等式等相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)相互聯(lián)系進(jìn)行教學(xué)。

二、合理運(yùn)用平面向量知識(shí)，解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的相關(guān)策略

（一）運(yùn)用平面向量解決平面幾何問(wèn)題

當(dāng)學(xué)生進(jìn)入高中階段進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，平面幾何方面的求直線方程式這類問(wèn)題，成為學(xué)生所面臨的首要難題。當(dāng)學(xué)生接觸到向量相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)之后就能夠靈活的利用平面向量相關(guān)的知識(shí)，去解決平面幾何當(dāng)中一些直線方程式類的問(wèn)題。筆者在一次教學(xué)過(guò)程中，遇到了這類的幾何問(wèn)題：在一個(gè)三角形當(dāng)中給出了三角形ABC三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（0，-4），B（4，0），C（-6，2），而D、E、F分別是BC、AB、AC邊的對(duì)應(yīng)中點(diǎn)，這時(shí)求出直線EF、DE、FD的方程式。在解決這一問(wèn)題過(guò)程中，首先筆者從已經(jīng)給出的條件三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)開(kāi)始思考，因此通過(guò)分析可以得出如此結(jié)論F點(diǎn)的坐標(biāo)（-2，1），D點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，1），E點(diǎn)的坐標(biāo)（-3，-1），然后可以設(shè)置DE上的一點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，y），然后我們根據(jù)已知條件能夠推導(dǎo)出的相關(guān)向量DM，以及向量DE互相平行的這一結(jié)論，這樣就可以分析求出直線DE的相關(guān)方程式，在采用這一方法解決幾何問(wèn)題的時(shí)候，就變的非常方便簡(jiǎn)單了。同理分析出另外兩條直線的相關(guān)方程式。

（二）運(yùn)用平面向量知識(shí)解決三角函數(shù)問(wèn)題

在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，三角函數(shù)問(wèn)題也是學(xué)生日常學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中所遇到最多的問(wèn)題之一。同時(shí)，這也是高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)點(diǎn)，在面對(duì)三角函數(shù)累的問(wèn)題時(shí)，許多學(xué)習(xí)成績(jī)處于中等水平的學(xué)生也會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)畏難情緒，一次可以看出三角函數(shù)問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)知識(shí)當(dāng)中是一類難度較大的知識(shí)點(diǎn)在教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，學(xué)生接觸到了三角函數(shù)相關(guān)的知識(shí)之后，在解決問(wèn)題時(shí)，時(shí)常無(wú)法靈活運(yùn)用這里，筆者以這里問(wèn)題為例：證明，解決這類問(wèn)題的解題方法有很多種，因此筆者這里以平面向量相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容來(lái)分析解答這個(gè)三角函數(shù)問(wèn)題。當(dāng)然這也是一類非常有效的解決三角函數(shù)問(wèn)題的方法。在分析這類三角函數(shù)問(wèn)題的解題過(guò)程中，首先可以設(shè)置兩個(gè)向量分別是：向量a與向量b，這兩個(gè)向量在平面當(dāng)中滿足標(biāo)準(zhǔn)的正交集關(guān)系，再設(shè)置兩個(gè)向量分別：向量c與向量d，這兩個(gè)向量為平面當(dāng)中的單位向量。這時(shí)將設(shè)置為向量a與向量d之間的夾角，將設(shè)置為向量b與向量c之間的夾角。在此過(guò)程當(dāng)中夾角小于夾腳，這時(shí)就可以運(yùn)用坐標(biāo)（）與（，）分別表示兩個(gè)向量，向量c與向量d在（a，b）的坐標(biāo)，我們已經(jīng)知道向量c與向量d都是單位向量，因此，就可以設(shè)置這兩個(gè)向量的模長(zhǎng)為1。這樣就可以運(yùn)用到向量坐標(biāo)的乘積公式知識(shí)解決這一問(wèn)題，就可得到：mn=以及mn=，將這兩個(gè)公式聯(lián)立之后就能夠得到：。

（三）平面向量知識(shí)解決不等式問(wèn)題

在學(xué)習(xí)不等式相關(guān)的知識(shí)之后，不等式問(wèn)題的解決也是教學(xué)一大難點(diǎn)。教學(xué)中可以利用平面向量的相關(guān)知識(shí)解決這類問(wèn)題。因此筆者這里以這一問(wèn)題為例：已知x，y都不小于0，同時(shí)x+y=1，因此求證： 。在運(yùn)用平面向量相關(guān)的知識(shí)解決這一問(wèn)題時(shí)，首先我們應(yīng)從已知的題目開(kāi)始分析。這時(shí)設(shè)置向量，坐標(biāo)為（1，1），將向量的坐標(biāo)可以設(shè)置成（），這時(shí)我們就能夠運(yùn)用平面向量知識(shí)中數(shù)量積的知識(shí)解決這一問(wèn)題，這樣就能夠得到這樣的公式，（1）2，然后通過(guò)公式的簡(jiǎn)化就能得到：

結(jié)語(yǔ)：總之，在高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，運(yùn)用平面向量相關(guān)的知識(shí)解決高中數(shù)學(xué)當(dāng)中的一些難題，可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中能夠更加輕松?？梢宰寣W(xué)生巧妙地利用平面向量的知識(shí)，解決一些采用傳統(tǒng)解題方式無(wú)法解決的一些數(shù)學(xué)難題。在平面向量相關(guān)知識(shí)教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真理解教材基礎(chǔ)知識(shí)內(nèi)容，這樣方便學(xué)生更好的利用基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。學(xué)生在不斷的練習(xí)過(guò)程當(dāng)中，熟練掌握這些知識(shí)。

參考文獻(xiàn)

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