基于數(shù)學(xué)史的三角形內(nèi)角和探究活動的設(shè)計與實施

瞿鑫婷 汪曉勤 賈彬

【摘 要】 探究性學(xué)習(xí)（inquirybased learning）是近幾十年來全球科學(xué)和數(shù)學(xué)改革中的熱門話題，而數(shù)學(xué)史是探究性教學(xué)的指南。文章基于數(shù)學(xué)史的三角形內(nèi)角和探究活動的設(shè)計與實施，為HPM視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考。

【關(guān)鍵詞】 探究性學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)史；HPM；三角形內(nèi)角和

一、引言

探究性學(xué)習(xí)（inquirybased learning）是近幾十年來全球科學(xué)和數(shù)學(xué)改革中的一個熱門話題。1991年，美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會（NCTM）指出，探究是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念和知識重要的環(huán)節(jié)之一，包括探索、猜想、邏輯推理和評估[1]。2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》中，使用了“探索”這一刻畫數(shù)學(xué)活動水平的過程性目標(biāo)動詞，體現(xiàn)了對學(xué)生在數(shù)學(xué)思考、解決問題等方面的要求?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將“數(shù)學(xué)探究”作為初中數(shù)學(xué)課程的主要內(nèi)容之一，明確指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。認(rèn)真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。 學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程?！倍磐↗Dewey） 認(rèn)為，探究是發(fā)現(xiàn)和學(xué)習(xí)的基礎(chǔ) [2]。研究表明，基于探究活動的數(shù)學(xué)教育能加強學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解和思考，培養(yǎng)學(xué)生積極的態(tài)度和信念，提升學(xué)生的課堂參與度，同時提高創(chuàng)造力以及解決問題的能力[3]。

美國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家M克萊因曾指出，數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教學(xué)的指南[4]，據(jù)此我們可以說，數(shù)學(xué)史也是探究性教學(xué)的指南。英國學(xué)者福韋爾（JFauvel）指出，數(shù)學(xué)史為學(xué)生提供了探究的機會[5]。數(shù)學(xué)的概念、定理等都是經(jīng)過漫長的歷史不斷演進而來的，在數(shù)學(xué)教學(xué)中借鑒有關(guān)主題的歷史發(fā)展過程來設(shè)計探究活動，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生發(fā)展過程，體會數(shù)學(xué)研究的方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，加深對數(shù)學(xué)的理解，從而踐行了弗賴登塔爾（HFreudenthal）的“再創(chuàng)造”理論，并體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)要求。

近年來，HPM視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)日益受到一線教師的關(guān)注，HPM專業(yè)學(xué)習(xí)共同體所開發(fā)的HPM課例受到一線教師的歡迎。許多初中一線教師希望在實踐中運用數(shù)學(xué)史提高教學(xué)效果；但由于手頭缺乏資料且未掌握數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的具體方法，他們在具體實踐中遇到了很大的困難。 為此，本文通過典型的初中HPM課例，呈現(xiàn)基于數(shù)學(xué)史的初中數(shù)學(xué)探究活動的設(shè)計和實施方法，為HPM視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考。

二、探究式教學(xué)的過程

美國哥倫比亞大學(xué)的西格爾（MSiegel）教授在1998年就提出了數(shù)學(xué)探究式教學(xué)的四個階段：準(zhǔn)備與聚焦、探索與發(fā)現(xiàn)、綜合與交流、評價與延伸[6]。該教學(xué)模式的具體活動內(nèi)容如下。

① 準(zhǔn)備與聚焦：教師通過介紹數(shù)學(xué)活動，喚起學(xué)生對定義、證明等的初步想法，并在學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)上挑戰(zhàn)學(xué)生的固有觀念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，確定探究的主題和目標(biāo)。

② 探索與發(fā)現(xiàn)：學(xué)生針對教師提出的開放性問題提出猜想，并進行分析、推理與試驗，得到初步的結(jié)果。

③ 綜合與交流：教師協(xié)助學(xué)生進行小組討論，借由辨析、論證、研討的過程，獲得最后結(jié)果。在此過程中，學(xué)生表達自己的想法（如運用表格、圖形、證明等），回應(yīng)他人的意見，教師適時引導(dǎo)或幫助學(xué)生得出一般結(jié)論。

④ 評價與延伸：教師歸納學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，對學(xué)生的參與、表現(xiàn)和學(xué)習(xí)進行評價，引導(dǎo)學(xué)生反思探究活動過程，學(xué)會將一般結(jié)論進行類比，并應(yīng)用在其他數(shù)學(xué)情境中，對新知加以整理和拓展，激發(fā)更深層次的探究。

本文利用西格爾的四階段框架，對基于數(shù)學(xué)史的三角形內(nèi)角和定理的探究活動進行深入分析。

三、三角形內(nèi)角和課例分析

1三角形內(nèi)角和定理的歷史

（1）三角形內(nèi)角和的發(fā)現(xiàn)

公元前6世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯（Thales）通過拼圖發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理。泰勒斯可能已經(jīng)知道等腰三角形的兩底角相等，因而知道等邊三角形的三個內(nèi)角相等。首先，他發(fā)現(xiàn)將六個同樣的正三角形的某一個頂點置于同一點，恰好填滿該點周圍區(qū)域，因而正三角形六個內(nèi)角之和等于四個直角之和，三個內(nèi)角之和等于兩個直角之和。接著，他將六個同樣的等腰三角形的不同頂點置于同一點，其中的每一個頂點出現(xiàn)兩次，結(jié)果也恰好填滿該點周圍區(qū)域。最后，他用六個同樣的不等邊三角形來拼圖，也發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)論。

（2）三角形內(nèi)角和定理的證明

為了證明三角形內(nèi)角和定理，古希臘數(shù)學(xué)家（如畢達哥拉斯學(xué)派、歐幾里得）大多是過三角形某個頂點，作對邊的平行線，從而將三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個平角。現(xiàn)行教科書大多也采用這樣的方法。18世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家克萊羅（ACClairaut） 則利用平行線將三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一對同旁內(nèi)角。

19世紀(jì)末20世紀(jì)初，西方教科書編者將古希臘的方法推廣到一般情形：不在某一頂點處作某一邊的平行線，而是過三角形某一條邊上的任一點作另兩邊的平行線，甚至過三角形所在平面內(nèi)任一點同時作三條邊的平行線。最后一種方法多用于三角形外角和定理的證明。

（3）避免使用平行線的嘗試

古希臘數(shù)學(xué)家普羅克拉斯（Proclus）試圖不用平行線來證明三角形內(nèi)角和定理。如圖1，過三角形[WTBX]ABC的三個頂點A、B和C，分別作底邊BC的垂線，則

這種方法可以推廣到一般的非垂直情形。

1809年，德國數(shù)學(xué)家提波特（BFThibaut）首次利用旋轉(zhuǎn)方法證明了三角形內(nèi)角和定理。如圖2，[WTBX]將BC所在的直線XY繞點B沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度β，到BA所在直線X′Y′；將X′Y′繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度α，到AC所在直線X″Y″。最后X″Y″繞點C沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度γ，到BC所在直線YX。從XY到Y(jié)X[WTBZ]，總共轉(zhuǎn)了180°。

2三角形內(nèi)角和探究活動的設(shè)計與實施

在課例“三角形內(nèi)角和”中，教師根據(jù)三角形內(nèi)角和定理的歷史設(shè)計了如下探究活動（如圖3所示）。

（1）準(zhǔn)備與聚焦

上課伊始，教師播放視頻（時長約2分鐘），追溯三角形內(nèi)角和定理的歷史：泰勒斯受生活中地磚鑲嵌的啟示，通過六個同樣的等邊三角形的拼圖，發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和等于兩個直角之和；之后，畢達哥拉斯和歐幾里得相繼通過平行線證明了該定理。學(xué)生觀看視頻后，教師要求學(xué)生分組合作，探究以下問題：

利用不等邊三角形，能否發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理？

能否用不同于教科書和視頻中的方法（即畢達哥拉斯和歐幾里得的方法）來證明三角形內(nèi)角和定理？

（2）探索與發(fā)現(xiàn)

① 探索與發(fā)現(xiàn)一

學(xué)生將六個完全相同的不等邊三角形在一個點的周圍無縫隙、無重疊地拼成不同的圖形，部分拼圖如圖4所示。

從這些拼圖方案中都能夠發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和等于180°。就本節(jié)課而言，“探索與發(fā)現(xiàn)”的目標(biāo)之一并非三角形內(nèi)角和定理的結(jié)論，而是定理結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程。學(xué)生通過探究得到結(jié)果：通過不等邊三角形的拼圖，也能發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理；從特殊到一般，這是三角形內(nèi)角和性質(zhì)的一般發(fā)現(xiàn)過程。

② 探索與發(fā)現(xiàn)二

“探索與發(fā)現(xiàn)”的目標(biāo)之二是三角形內(nèi)角和性質(zhì)的新說理方法。部分學(xué)生將三角形的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為同旁內(nèi)角，與克萊羅的證明一致。學(xué)生說理過程如圖5所示。

學(xué)生通過探究得到初步的結(jié)果：為實現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化，不僅可以過三角形頂點，還可以過三角形一邊上的某一點作平行線。

（3）綜合與交流

在本環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生思考新的問題：將三角形的三個內(nèi)角進行轉(zhuǎn)化時，所構(gòu)造的角的頂點可否不位于邊上？通過討論，部分學(xué)生猜想，頂點可以位于三角形的內(nèi)部，教師要求學(xué)生畫圖驗證自己的猜想，如圖8所示。

上述證明激發(fā)了學(xué)生的思維。部分學(xué)生開始思考：頂點位于三角形內(nèi)部，是否是一般的情形呢？經(jīng)過討論，有的學(xué)生將頂點設(shè)在三角形外，如圖9所示。

至此，學(xué)生通過探究，實現(xiàn)了平角頂點從三角形的頂點到三角形一邊上的一點，再到三角形所在平面內(nèi)任意一點作平行線的演進過程。

（4）評價與延伸

教師把學(xué)生的證明與歷史上數(shù)學(xué)家的證明進行對比，對學(xué)生的表現(xiàn)給予積極的評價；總結(jié)三角形內(nèi)角和定理背后的數(shù)與形、形與形互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，以及從特殊到一般的數(shù)學(xué)探究方法。最后，教師提出進一步探究的課題：

三角形一條邊上的任意一點作另兩條邊的平行線，這種方法與畢達哥拉斯學(xué)派和歐幾里得過三角形一個頂點作平行線的方法有何聯(lián)系？過三角形一條邊上的任意一點，是否可以作出其他輔助線來證明三角形內(nèi)角和定理？由此得到的新說理方法與畢達哥拉斯學(xué)派和歐幾里得過一個頂點作平行線的方法有何聯(lián)系？

運用過三角形內(nèi)或三角形外任一點作平行線的方法，能否對三角形外角和進行說理？

如果規(guī)定不能使用平行線，如何證明三角形內(nèi)角和定理？

四、結(jié)語

綜上可知，三角形內(nèi)角和定理的探究活動基本滿足西格爾的探究式教學(xué)的四個階段。在準(zhǔn)備與聚焦階段，教師基于學(xué)生的認(rèn)知起點，創(chuàng)設(shè)泰勒斯鋪地磚這種貼近生活的情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并提出探究任務(wù)。在探索與發(fā)現(xiàn)階段，教師引導(dǎo)學(xué)生分組進行拼圖、討論、說理論證等一系列探究活動，實現(xiàn)從特殊到一般的發(fā)現(xiàn)過程，并初步完成從特殊到一般的證明過程。在綜合與[KG（0.1mm]交流階段，教師引導(dǎo)學(xué)生對證明做出更進一步的探究，最終實現(xiàn)了說理方法的一般化。在評估與延伸階段，教師評價學(xué)生的表現(xiàn)，讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的成功體驗，體現(xiàn)了探究之樂。同時，教師總結(jié)本節(jié)課所涉及的數(shù)學(xué)思想和探究方法，并提出拓展性問題，激發(fā)學(xué)生課后進一步探究與思考的興趣。

在基于數(shù)學(xué)史開展的數(shù)學(xué)探究活動中，一方面，數(shù)學(xué)史是探究性教學(xué)的指南，教師可依據(jù)數(shù)學(xué)定理的歷史演進過程設(shè)計和實施探究活動；另一方面，探究活動是數(shù)學(xué)史的重構(gòu)，數(shù)學(xué)史創(chuàng)造了探究活動的機會。通過探索數(shù)學(xué)史上不同的證明方法，拉近了學(xué)生與古代數(shù)學(xué)家的距離，使數(shù)學(xué)課充滿人文氣息。因此，數(shù)學(xué)史是溝通歷史與現(xiàn)實、數(shù)學(xué)與人文的橋梁。

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