俞靜
【摘? ?要】“搭配問題”屬排列組合知識。在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn),學(xué)生對于排列組合問題認(rèn)知模糊,或思考無序,或類型混淆等。為改變這種狀況,在教學(xué)中可以從數(shù)學(xué)建模的角度來探討,以幫助學(xué)生更好地抽象、建構(gòu)搭配問題中三類題型的模型,深化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
【關(guān)鍵詞】搭配問題;模型建構(gòu);小學(xué)數(shù)學(xué)
人教版教材在二年級上冊數(shù)學(xué)廣角編排了“搭配一”,在三年級下冊數(shù)學(xué)廣角編排了“搭配二”。三年級下冊主要呈現(xiàn)了三種問題類型:排列問題(如用0、1、3、5能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù))、搭配問題(如三件衣服和兩條褲子的搭配種類)、兩兩組合(如求四個隊(duì)循環(huán)賽比賽場次)。這里的搭配問題,在于培養(yǎng)學(xué)生有順序地、全面地思考問題的意識,發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力,對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)影響較大。
鑒于自己的教學(xué)體會以及在與同行的探討中發(fā)現(xiàn),學(xué)生解答此類習(xí)題時錯誤率較高,往往把不同類型的問題相互混淆,生搬硬套。
【問題與分析】
筆者設(shè)計(jì)了三類習(xí)題組對三(1)班39位學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行了調(diào)查,試圖尋求教學(xué)突破。
從測試情況來看,A組習(xí)題正確率較高,個別學(xué)生出現(xiàn)小錯誤,或因題目要求看錯,如A組中第二題錯看成兩位數(shù)排列?;蛞驍?shù)錯算錯,如A組的第一題和第三題,但解題思路基本正確。而B組的題目與A組的題目類型一致,只是稍加變式,學(xué)生錯誤率便明顯提高。
通過對學(xué)生的訪談發(fā)現(xiàn),B組題的錯因可以歸為以下幾點(diǎn)。
1.對各類問題模型本質(zhì)認(rèn)識模糊、片面、不深刻。如第一題中的B組從本質(zhì)上說與衣服和褲子的搭配問題結(jié)構(gòu)相同,都可以抽象成一類與另一類的搭配。只是衣服與褲子的搭配可近似看成 “點(diǎn)狀物搭配”,而有幾種走法的問題類似“線狀物搭配”,當(dāng)出現(xiàn)這種稍有變化的問題情境時,部分學(xué)生無法做出準(zhǔn)確判斷和辨識,導(dǎo)致在解題中思路受阻,出現(xiàn)了3×2=6(條)的現(xiàn)象。
2.題目中的信息條件有時比較隱晦,部分學(xué)生缺乏理解和轉(zhuǎn)換能力,便任意套用模式進(jìn)行解答,相互混淆。如第二題中的B組,好多學(xué)生把“王老師要把三本不同的課外書分別送給小青、小林和小芳”理解為“一個學(xué)生搭配一本書”是一種情況,而不是三個學(xué)生都送才能算一種情況。第三題中的B組同理,部分學(xué)生對于“每次取兩個,取出的錢共有哪幾種情況”的解讀出現(xiàn)偏差,錯以為是排列問題。這些都恰恰反映出學(xué)生對稍稍隱晦的信息辨別、轉(zhuǎn)換能力較弱。
3.思考缺乏有序性,導(dǎo)致重復(fù)、遺漏或表達(dá)不清。如第二題中的B組錯例3和第三題中的B組錯例2,學(xué)生雖然能辨識確定問題類型,但要把思考過程和結(jié)果有序、完整地表示出來還存在一定的困難。而第二題B組中的錯例2,雖然排列出了6種情況,卻沒有把書本與人對應(yīng),不知道誰得到的是哪一本,表達(dá)不清。
顯然,在課堂上教師不僅需要在問題模型的意義建構(gòu)上下功夫,還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生有效解讀習(xí)題中的信息和問題,實(shí)現(xiàn)問題與內(nèi)存模型的順利銜接,并適當(dāng)?shù)財(cái)U(kuò)展延伸。通過多角度的打磨,實(shí)現(xiàn)模型的“精加工”,深化學(xué)生的結(jié)構(gòu)認(rèn)知。
筆者嘗試通過以下幾個方面加以落實(shí)改進(jìn)。
【策略與實(shí)踐】
一、抽象加工,認(rèn)清模型本質(zhì)
數(shù)學(xué)模型是舍去對象的一些非本質(zhì)的屬性,借助數(shù)學(xué)符號形成的一種數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu),在引導(dǎo)學(xué)生探究問題時教師要適當(dāng)放大這一過程,以學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)為基點(diǎn),逐步抽象、概括出數(shù)學(xué)模型,認(rèn)清模型本質(zhì)。如在教學(xué)“衣服與褲子的搭配問題”時,教師可以在探究思考環(huán)節(jié)讓學(xué)生用不同的符號或圖形來表征數(shù)學(xué)問題,諸如“
二、比較加工,類化模型結(jié)構(gòu)
在注重每種問題模型本身建構(gòu)的同時,也需要對不同的問題模型進(jìn)行溝通、比較。教師可以借助生活中相關(guān)的三個實(shí)際問題作為載體,借助圖示引導(dǎo)學(xué)生逐步歸類比較。如可創(chuàng)設(shè)一組問題情境:
從兩名男演員和兩名女演員中選一名男演員和一名女演員進(jìn)行雙人舞表演,一共有幾種不同選法?
從兩名男演員和兩名女演員中選兩人表演一個節(jié)目,一共要表演幾個節(jié)目?
從兩名男演員和兩名女演員中選兩人站成一排照相,一共有多少種不同的照法?
通過解答,有意識地引導(dǎo)學(xué)生用畫圖表征的方法得到如下三種情況(圖中的○和△分別表示男演員和女演員)。
通過直觀的符號圖示引導(dǎo)學(xué)生觀察對比,就能一目了然地得出三類問題之間的區(qū)別和關(guān)聯(lián)。比如:排列問題與順序有關(guān),順序不同,結(jié)果也不同,而組合問題、搭配問題與順序無關(guān)。排列問題,可以分步思考,第一個位置有幾種情況,第二個位置有幾種情況,一一羅列。也可先找出組合數(shù),再求得排列數(shù)。當(dāng)然,這里不必要求學(xué)生抽象地計(jì)算出有多少組合數(shù)和排列數(shù),若學(xué)生能自我感悟并提出計(jì)算方法,則進(jìn)行鼓勵。這三類問題解答的共同點(diǎn)都需要有序、全面地思考。通過如此比較“加工”,學(xué)生自然而然地實(shí)現(xiàn)了對三種問題的結(jié)構(gòu)區(qū)分。如果學(xué)生能清晰地表征并有序思考和羅列,那么我們的教學(xué)目標(biāo)也隨之達(dá)成了。
三、解碼加工,有效對接模型
數(shù)學(xué)問題的解決離不開對數(shù)學(xué)信息的正確解讀,倘若讀取信息偏差、解碼錯誤,那么就不能有效地實(shí)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)情境與腦中問題模型的對接。所以,指導(dǎo)學(xué)生正確解讀信息這一步至關(guān)重要,特別是關(guān)于問題情境中一些相對比較隱晦的信息,比如“王老師要把三本不同的課外書分別送給小青、小林和小芳,共有多少種送法”的問題,教師要引導(dǎo)學(xué)生抓住關(guān)鍵信息“分別送給小青、小林和小芳”來分析:怎樣算一種送法?是一人送出一本算一種情況,還是三個人分別送出算一種情況?如果交換書本的順序,送書的情況一樣嗎?那么經(jīng)過仔細(xì)思考和分析,學(xué)生應(yīng)該能夠理解三人都送出才算一種送法,也能確定三本書的排列問題了。這與“1、2、3三個數(shù)字能組成幾個三位數(shù)”的結(jié)構(gòu)模型一樣,這樣一來,便實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)換“對接”。具體解答中還需要指導(dǎo)學(xué)生把每一種送法與相應(yīng)的人對應(yīng)起來。如以下形式排列(①②③分別代表三本不同的書):
小青? ? ?小林? ? ? 小芳
①? ? ? ? ?②? ? ? ? ?③
①? ? ? ? ?③? ? ? ? ?②
②? ? ? ? ?①? ? ? ? ?③
②? ? ? ? ?③? ? ? ? ?①
③? ? ? ? ?①? ? ? ? ?②
③? ? ? ? ?②? ? ? ? ?①
另外還要關(guān)注相似問題的信息解讀,比如:“四個好朋友,每兩人互相握一次手,一共要握幾次”“四個好朋友,互寄賀卡,一共要寄幾張賀卡”。從字面上看,互相握手和互寄賀卡差不多,但實(shí)際上意義完全不同?;ハ辔帐峙c順序無關(guān),而互寄賀卡與順序有關(guān),兩個人之間要寄兩張賀卡,需要引導(dǎo)學(xué)生甄別。
四、變式加工,靈活運(yùn)用模型
在實(shí)際應(yīng)用中,教師可以有意識地對三類數(shù)學(xué)問題進(jìn)行拓展延伸,達(dá)到融會貫通、靈活運(yùn)用的預(yù)期目標(biāo)。比如,對于衣服和褲子搭配這種兩類事物的組合問題,可以適當(dāng)增加信息拓展到三類事物的搭配:有三件衣服,三條褲子,兩頂帽子,如果一件衣服搭配一條褲子和一頂帽子,那么一共有幾種搭配?讓學(xué)生根據(jù)之前的活動經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行探究,找到解題方法,即“衣服數(shù)×褲子數(shù)×帽子數(shù)”,體會“把每一類事物數(shù)量相乘等于搭配總數(shù)”的結(jié)構(gòu)模型。
在排列問題中同樣能設(shè)計(jì)一些變式練習(xí),如:參加獨(dú)唱的四位選手小明、小華、小東、小麗抽簽決定比賽順序,小明抽到的不是3號,你能寫出一共有多少種順序嗎?解題中不僅有排列,還要根據(jù)信息排除不符合要求的情況,要求學(xué)生能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)問題模型。
經(jīng)過問題分析及教學(xué)策略改進(jìn)后,筆者進(jìn)行了再次調(diào)查,設(shè)計(jì)了一組類似于B組的綜合變式題。學(xué)生的平均解題正確率達(dá)到了87.1%,正確率明顯提高。
綜上所言,任何數(shù)學(xué)模型的抽象和意義建構(gòu)都不是一蹴而就的,需要經(jīng)歷“精加工”的過程。教師需要做的是,善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的阻點(diǎn)和斷層,找出內(nèi)因,幫助學(xué)生解疑釋惑,掃除障礙,做一個合格的“加工者”,讓學(xué)生養(yǎng)成應(yīng)用模型進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
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(浙江省寧波市奉化區(qū)錦屏中心小學(xué)? ?315500)
教學(xué)月刊·小學(xué)數(shù)學(xué)2019年8期