同形繼承導(dǎo)致錯(cuò)誤舒竹

曹晶晶 林玲郜

【摘? ?要】在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，存在著將已有經(jīng)驗(yàn)中的某種形式直接應(yīng)用于其他對(duì)象中的現(xiàn)象。這反映出學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中會(huì)產(chǎn)生“同形繼承”的心理。在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中有四種常見的“同形繼承”類型：“一一對(duì)應(yīng)”的繼承、從“個(gè)位”算起的繼承、“從左到右”的繼承和“分配律”的繼承。教師利用學(xué)生的“同形繼承”心理可以設(shè)計(jì)“自我否定”的教學(xué)活動(dòng)，將錯(cuò)誤變成有效的教學(xué)資源。

【關(guān)鍵詞】數(shù)與代數(shù);同形繼承;錯(cuò)誤

“同形繼承”是人們普遍存在的一種心理，簡(jiǎn)單地說就是照“老樣子”做。依據(jù)這樣的心理做事，有時(shí)是正確的，有時(shí)卻是錯(cuò)誤的。因此研究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“老樣子”對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)的影響是必要的。

一、什么是“同形繼承”

1830年，劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)教授喬治·皮克科（George Peacock）在《論代數(shù)》（A Treatise on Algebra）一書的前言中首次提到了繼承性（Permanence）一詞，主要研究在算術(shù)中的運(yùn)算規(guī)律，如何繼承到代數(shù)運(yùn)算中。皮克科指出，這樣的繼承應(yīng)當(dāng)遵循“同形繼承原理（The principle of Permanence of Equivalent Forms）”[1]。原文的說法是：無論是什么形式的代數(shù)，當(dāng)符號(hào)在形式上是普遍的，而在數(shù)值（正整數(shù)）上是特殊的時(shí)候是同形的，那么當(dāng)符號(hào)在值上和形式上都是普遍的時(shí)候也應(yīng)當(dāng)是同形的。[2]同形繼承原理強(qiáng)調(diào)了形式與內(nèi)容這兩者之間的關(guān)系。形式是可以直觀感知到的東西，例如運(yùn)算規(guī)則和性質(zhì);內(nèi)容則是隱于形式的成分，例如取值。同形繼承原理想表達(dá)的意思就是如果形式是相同的，那么隱于形式之下的內(nèi)容是與形式相一致的。

對(duì)于“permanence”一詞的翻譯需要進(jìn)行說明。我國(guó)學(xué)者對(duì)于“permanence”一詞有不同的翻譯。例如，李躍武和金英姬在“等價(jià)形式的永恒性原理——皮考克的符號(hào)代數(shù)”一文中將其翻譯為“永恒性”;李宏魁在翻譯美國(guó)思想家M·克萊茵的《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》一書時(shí)，將書中涉及的“permanence”一詞也翻譯為“永恒性”;郜舒竹分別在《關(guān)于“[（-8）13]”的跨國(guó)討論》與《數(shù)學(xué)課程中“人為規(guī)定”的思想性》這兩篇文章中介紹皮克科的原理時(shí)將其翻譯為“繼承性”。

《牛津高階英語(yǔ)雙解詞典（第6版·大字版）》[3]中對(duì)于這個(gè)詞的解釋是：一種持久的狀態(tài)。結(jié)合對(duì)原理的理解，運(yùn)算性質(zhì)和規(guī)則由算術(shù)領(lǐng)域擴(kuò)展到代數(shù)領(lǐng)域的過程應(yīng)該是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，所以對(duì)這個(gè)詞的翻譯除了要保留原有的意思外，還應(yīng)該體現(xiàn)跨領(lǐng)域的動(dòng)態(tài)過程。因此在對(duì)該原理進(jìn)行闡述時(shí)，沿用郜舒竹教授提出的“繼承性”的翻譯，此后凡涉及“permanence”都將使用這樣的翻譯。

在19世紀(jì)，這一原理的形成標(biāo)志著數(shù)學(xué)家對(duì)形成新數(shù)學(xué)概念的態(tài)度發(fā)生了變化，并為20世紀(jì)新理論的快速擴(kuò)張開辟了道路。之后，這個(gè)原理隨著四元數(shù)的產(chǎn)生而失效，因?yàn)樗脑獢?shù)沒有分配律。雖然同形繼承原理在數(shù)學(xué)上失去了“公信力”，但是同形繼承原理反映出數(shù)學(xué)家在建構(gòu)數(shù)學(xué)理論時(shí)有一種“同形繼承”的心理。這種心理與學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中遷移“形式”的學(xué)習(xí)心理是相符的。正是由于這種“同形繼承”的心理導(dǎo)致學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)了遷移形式的學(xué)習(xí)現(xiàn)象，這種學(xué)習(xí)現(xiàn)象也可以稱為“同形繼承”的現(xiàn)象。其中有一類“同形繼承”的現(xiàn)象違背了同形繼承原理，它的內(nèi)容與形式并不一致，這就導(dǎo)致學(xué)生在繼承形式的過程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤。因此，“同形繼承”這個(gè)詞用在可見的書寫形式上是一種現(xiàn)象，而導(dǎo)致這個(gè)現(xiàn)象出現(xiàn)的原因就可以叫作“同形繼承”心理。

二、同形繼承導(dǎo)致錯(cuò)誤

學(xué)生在“數(shù)與代數(shù)”的學(xué)習(xí)中有四種比較常見的“同形繼承”類型，分別為：“一一對(duì)應(yīng)”的繼承、從“個(gè)位”算起的繼承、“從左到右”的繼承和“分配律”的繼承。

（一）“一一對(duì)應(yīng)”的繼承

“一一對(duì)應(yīng)”的繼承，其特征表現(xiàn)為學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中遵循形式上的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將學(xué)習(xí)對(duì)象的構(gòu)成元素進(jìn)行有序的分配。

例如，觀察表1中的錯(cuò)題。錯(cuò)題1，學(xué)生在比較分?jǐn)?shù)的大小時(shí)，均是分別將分?jǐn)?shù)的分子與分母“一一對(duì)應(yīng)”進(jìn)行比較;錯(cuò)題2，學(xué)生在比較小數(shù)的大小時(shí)，則是分別將小數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分“一一對(duì)應(yīng)”進(jìn)行比較?？梢妼W(xué)生在計(jì)算分?jǐn)?shù)比大小與小數(shù)比大小時(shí)都繼承了自然數(shù)比大小“一一對(duì)應(yīng)”的形式，這種同形繼承的類型就是“一一對(duì)應(yīng)”的繼承。

（二）從“個(gè)位”算起的繼承

從“個(gè)位”算起的繼承，其特征表現(xiàn)為學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中習(xí)慣于從“個(gè)位”開始思考問題。例如，在北師大版教材三年級(jí)下冊(cè)“分桃子”一課的教學(xué)中，教師首先為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了猴媽媽給兩只猴子分68只桃子的情境，由此引發(fā)問題：怎樣分才公平？學(xué)生根據(jù)題意很容易就列出式子：68÷2=。之后教師讓學(xué)生用多種方法探索68÷2。在這個(gè)過程中學(xué)生有多種生成，表2所示的兩種生成符合“同形繼承”的特點(diǎn)。

通過表格的呈現(xiàn)可以看出，二者繼承的已有經(jīng)驗(yàn)不同：生成1繼承了學(xué)生已有的關(guān)于表內(nèi)除法的經(jīng)驗(yàn)，生成2繼承了學(xué)生已有的乘法豎式的經(jīng)驗(yàn)。盡管生成1與生成2源于不同的已有經(jīng)驗(yàn)，通過對(duì)比二者繼承的具體內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，這兩種除法豎式的書寫思路實(shí)際上具有共同的形式：均是從個(gè)位開始試商，都符合從“個(gè)位”算起的形式。

（三）“從左到右”的繼承

“從左到右”的繼承，其特征表現(xiàn)為學(xué)生在數(shù)的運(yùn)算過程中習(xí)慣于按照從左到右的順序進(jìn)行思考。例如，圖1中的一元一次方程，等號(hào)左側(cè)是有乘法、減法和括號(hào)的混合運(yùn)算，學(xué)生應(yīng)該用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算。觀察學(xué)生解方程的步驟可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生解題的第一步是繼承了同級(jí)運(yùn)算的運(yùn)算順序，按照從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算。顯然，“6×7-x”與“6×7-6×x”相比在形式上更趨近于6×（7-x），因?yàn)樗鼈冊(cè)氐膫€(gè)數(shù)相同，這樣計(jì)算是追求形式上的一致。

（四）“分配律”的繼承

在“分?jǐn)?shù)加減法”這節(jié)數(shù)學(xué)課中，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生有如圖2所示的生成，通過觀察該生的書寫可以發(fā)現(xiàn)他把加號(hào)分別分配給了分子和分母。

又例如，初一的學(xué)生在學(xué)習(xí)完全平方公式之后，做相應(yīng)的計(jì)算題時(shí)會(huì)出現(xiàn)如圖3所示的錯(cuò)誤。觀察學(xué)生給出的答案可以發(fā)現(xiàn)，該生是將指數(shù)“2”進(jìn)行了分配，分別分配給了2x和y，可見學(xué)生繼承的已有經(jīng)驗(yàn)形式為：（2x+y）×2。

雖然以上是學(xué)生在不同的學(xué)段學(xué)習(xí)的不同內(nèi)容，但是將學(xué)生的兩種計(jì)算思路進(jìn)行整理可以發(fā)現(xiàn)二者有共同的地方。

如表3所示，學(xué)生在計(jì)算的過程中都是將同一元素分別分配給了另外兩個(gè)對(duì)象。由此可以發(fā)現(xiàn)，這樣的計(jì)算形式與學(xué)生學(xué)習(xí)過的乘法分配律的形式是一致的，因此可以將這種繼承的形式稱之為“分配律”的繼承。

三、“自我否定”的學(xué)習(xí)活動(dòng)

由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中普遍存在“同形繼承”的現(xiàn)象，學(xué)生在學(xué)習(xí)中會(huì)產(chǎn)生“同形繼承”的心理。因此教師在教學(xué)設(shè)計(jì)之前首先應(yīng)該清楚在新的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)是否會(huì)導(dǎo)致“同形繼承”心理的產(chǎn)生。針對(duì)這樣的心理，教師可以設(shè)計(jì)讓學(xué)生經(jīng)歷“自我否定”的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

“自我否定”的學(xué)習(xí)活動(dòng)是指在新知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)歷自己否定自己的學(xué)習(xí)活動(dòng)。在教學(xué)過程中，教師可以首先利用學(xué)生的“同形繼承”心理引發(fā)學(xué)生的錯(cuò)誤推論，然后通過設(shè)計(jì)合理的學(xué)習(xí)活動(dòng)讓學(xué)生自行判斷推論的正誤，而后再開展新知識(shí)的學(xué)習(xí)。這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)是將學(xué)生的錯(cuò)誤視為教學(xué)資源，讓學(xué)生在錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)。接下來，將結(jié)合人教版五年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形的面積”的教學(xué)來介紹這種方法。

步驟一：利用“同形繼承”的心理引發(fā)學(xué)生的錯(cuò)誤

學(xué)生在學(xué)習(xí)平行四邊形的面積時(shí)容易受長(zhǎng)方形面積的影響，將平行四邊形的面積計(jì)算公式記成相鄰兩邊長(zhǎng)度相乘。那么，教師在教學(xué)平行四邊形面積求法之前，可以利用學(xué)生的這種“同形繼承”的心理引發(fā)學(xué)生的錯(cuò)誤推論：平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長(zhǎng)度乘積。

步驟二：教師布置學(xué)習(xí)任務(wù)

教師可以布置學(xué)習(xí)任務(wù)，請(qǐng)學(xué)生分小組討論，比較兩個(gè)鄰邊對(duì)應(yīng)相等的平行四邊形面積大小，并為學(xué)生提供畫有兩個(gè)平行四邊形的方格紙（如圖4所示）和直尺。

步驟三：學(xué)生經(jīng)歷“自我否定”的學(xué)習(xí)過程

在活動(dòng)的過程中，學(xué)生用直尺分別測(cè)量?jī)蓚€(gè)平行四邊形的長(zhǎng)邊和短邊，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)平行四邊形的長(zhǎng)邊和短邊分別對(duì)應(yīng)相等，學(xué)生根據(jù)推論就會(huì)認(rèn)為這兩個(gè)平行四邊形的面積是相等的;然而學(xué)生在直接數(shù)格子的過程中又會(huì)發(fā)現(xiàn)，左邊的平行四邊形的面積明顯比右邊的平行四邊形大，由此學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)自己的推論是錯(cuò)誤的。

學(xué)生用兩種方法比較兩個(gè)平行四邊形的面積時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，盡管這兩個(gè)平行四邊形的相鄰兩邊長(zhǎng)度一樣，但是實(shí)際的面積卻不一樣，進(jìn)而否定了自己的推理。讓學(xué)生經(jīng)歷自己否定自己的過程，能讓他們?cè)跊]有學(xué)習(xí)平行四邊形面積求法之前，就深刻地理解用求長(zhǎng)方形面積的方法來求平行四邊形的面積肯定是不對(duì)的，同時(shí)還能激發(fā)學(xué)生想要學(xué)習(xí)平行四邊形面積求法的愿望。

從以上案例可以看出，學(xué)生通過這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)，可以在自己否定自己的過程中加深對(duì)知識(shí)的理解。他們發(fā)現(xiàn)照“老樣子”做往往是不對(duì)的，進(jìn)而引發(fā)“怎么辦”的心理需求，也就是產(chǎn)生了進(jìn)一步探究的動(dòng)機(jī)。

參考文獻(xiàn)：

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（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院? ?100048）