從“云山霧罩”到“豁然開(kāi)朗”
——絕對(duì)值函數(shù)雙重最值問(wèn)題探究

☉鄭州外國(guó)語(yǔ)新楓楊學(xué)校 何培鋌

“疑問(wèn)”是點(diǎn)燃智慧的火種，誘發(fā)思考，激發(fā)學(xué)生用自己的思維去獲取知識(shí)，多角度探索思考，對(duì)提高解題能力有巨大的推動(dòng)力.縱觀近幾年的高考試題，有關(guān)含絕對(duì)值函數(shù)的雙重最值問(wèn)題層出不窮，它與函數(shù)、不等式、分段函數(shù)等交匯出現(xiàn)，其特點(diǎn)是立意新穎、綜合性強(qiáng)、難度系數(shù)大，對(duì)學(xué)生的能力要求非常高.在高三復(fù)習(xí)過(guò)程中，含絕對(duì)值函數(shù)的雙重最值問(wèn)題高頻出現(xiàn)，筆者通過(guò)這一典型題類對(duì)其進(jìn)行探究梳理.

一、參數(shù)賦值，嘗試逐步解惑

雙重最值問(wèn)題通常帶有幾個(gè)參數(shù)，再加上絕對(duì)值，更讓人望而生畏.而數(shù)學(xué)的本質(zhì)往往是簡(jiǎn)單的，越是簡(jiǎn)單越是接近本質(zhì).首先是審題問(wèn)題，如何理解題中所描述的條件呢？

多元變量造成學(xué)生思維混亂，解題困難的局面，為了理清題中描述的條件，對(duì)其部分參數(shù)字母a，b賦值，轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量x的函數(shù)問(wèn)題，先把不含參數(shù)的函數(shù)f（x）理清，再隨著a，b的不同賦值，觀察對(duì)函數(shù)f（x）的影響，逐步解惑.也體現(xiàn)了將數(shù)學(xué)問(wèn)題化整為零、化繁為簡(jiǎn)的解題原則.

第一步：我們給定具體的a，b來(lái)加以理解：

取a=1，b=0.

再取a=2，b=1.

第二步：加了條件對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a和實(shí)數(shù)b，又是什么意思呢？

不同的a，b，有不同的最大值M（a，b），問(wèn)題化為對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a和實(shí)數(shù)b，m≤M（a，b）恒成立，所以要求M（a，b）的最小值.所以設(shè)f（x）的最大值為M（a，b），問(wèn)題等價(jià)于x∈［1，2］時(shí)求M（a，b），再求M（a，b）min.

通過(guò)對(duì)字母參數(shù)a，b賦值發(fā)現(xiàn)：（1）對(duì)自變量x∈［1，2］而言，求函數(shù)f（x）的最大值；（2）從不同的賦值中發(fā)現(xiàn)隨著參數(shù)a，b的不同，函數(shù)f（x）的最大值是變化的，函數(shù)f（x）的最大值是關(guān)于a，b的函數(shù)，記為M（a，b）；（3）對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a和實(shí)數(shù)b恒成立，即求M（a，b）的最小值.

通過(guò)賦值，快速地判斷出各參數(shù)對(duì)函數(shù)f（x）的變化趨勢(shì)的影響，幫助理清如何針對(duì)函數(shù)變量和各參數(shù)逐步求出函數(shù)的雙重最值.本題綜合性非常強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的要求也非常高，那么如何利用已有的知識(shí)構(gòu)建模式，達(dá)成目標(biāo).

二、系統(tǒng)函數(shù)思想，利用數(shù)形結(jié)合，實(shí)現(xiàn)“融匯貫通”

要解決絕對(duì)值函數(shù)f（x）的最值問(wèn)題，先明確函數(shù)f（x）的取值范圍問(wèn)題.

先求u（x）的取值范圍.

當(dāng)x∈［1，2］時(shí)，因?yàn)閍＞0，函數(shù)u（x）單調(diào)遞減，所以1-2a-b≤u（x）≤2-a-b.

根據(jù)u（x）的取值范圍，討論f（x）=｜u（x）｜的最大值，圍繞參數(shù)a，b求絕對(duì)值函數(shù)f（x）的最值問(wèn)題.下面筆者利用函數(shù)思想的各種解題方法對(duì)其探究.

1.分類討論，借助線性規(guī)劃

根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義，關(guān)鍵先明確函數(shù)f（x）的最大值和最小值，對(duì)參數(shù)a，b取值范圍進(jìn)行分類討論，此類解題方法對(duì)學(xué)生的條理性、縝密性提出了很高的要求.

顯然M（a，b）=max{｜1-2a-b｜，｜2-a-b｜}.

（1）若｜1-2a-b｜≤｜2-a-b｜，即｜1-2a-b｜2≤｜2-a-b｜2，

借助線性規(guī)劃知識(shí)求M（a，b）min.

圖1

圖2

（2）若｜1-2a-b｜＞｜2-a-b｜，

圖3

含絕對(duì)值的函數(shù)本身就是分段函數(shù)的縮影，利用絕對(duì)值的非負(fù)性，只要對(duì)其端點(diǎn)的絕對(duì)值比較大小即可，大大降低了類的種數(shù)，從而降低了解題的難度.在求M（a，b）min的過(guò)程中，利用了線性規(guī)劃.不等式求最值問(wèn)題對(duì)學(xué)生而言，始終是一個(gè)難點(diǎn)，而線性規(guī)劃知識(shí)點(diǎn)較為簡(jiǎn)單，學(xué)生掌握程度高，將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃求最值問(wèn)題，避免了難而繁瑣的計(jì)算，快速地完成解題.在教學(xué)過(guò)程中，重視學(xué)生的知識(shí)遷移、靈活運(yùn)用的能力.

2.利用絕對(duì)值的幾何意義，關(guān)注臨界狀態(tài)

含絕對(duì)值的函數(shù)蘊(yùn)藏著“距離”的幾何特征，解題過(guò)程中盡可能利用絕對(duì)值的幾何意義，利用“1-2a-b，2-ab”隨著變量b的變化趨勢(shì)中形的變化，1-2a-b，2-a-b的值的變化.

因?yàn)?-2a-b≤u（x）≤2-a-b，所以u(píng)（x）max-u（x）min=a+1.

下面通過(guò)考慮b變化的幾何意義解決問(wèn)題，

考慮到b變化，引起函數(shù)u（x）圖像上下平移，

但是u（x）max-u（x）min=a+1不變，

結(jié)合圖像即圖3，當(dāng)u（x）max=-u（x）min時(shí)，M（a，b）最小，即

本題具有u（x）max-u（x）min=a+1，可以通過(guò)b的變化，絕對(duì)值的非負(fù)性質(zhì)，對(duì)應(yīng)到圖像中的翻折概念，觀察判斷可得當(dāng)｜1-2a-b｜=｜2-a-b｜時(shí)，M（a，b）取到最小值.與分類討論比較，利用函數(shù)的形，更直觀解決函數(shù)的最值問(wèn)題，避免了分類討論.

三、變式探究，實(shí)現(xiàn)觸類旁通

經(jīng)典母題中，給出參數(shù)a＞0，使得u（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，直接求出u（x）的值域，那若a∈R呢？利用函數(shù)思想，對(duì)所含參數(shù)引起的各種可能逐一分類討論，無(wú)疑降低了解題的成功率.本題利用函數(shù)思想和絕對(duì)值的幾何意義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，優(yōu)勢(shì)十分明顯.

變式：函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)a和實(shí)數(shù)b，總存在x0∈［1，2］，使得f（x0）≥m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：由

圖4

M（a，b）的幾何意義是：x∈［1，2］時(shí)，｜AB｜的最大值，如圖4中，當(dāng)x=1時(shí)｜AB｜最大，要求M（a，b）min的幾何意義是：尋找直線的合適位置，使｜AB｜的最大值最小.

如圖5中，l1變?yōu)閘2時(shí)，明顯的，M（a，b）變大.

那么，最適當(dāng)?shù)闹本€位置在哪呢？

圖5

圖6

圖7

若|MS|=|NH|≠|(zhì)KE|，則可以通過(guò)平移直線l，使max{|MS|，|KE|}變小.

如圖7，此時(shí)，平移直線MN到PQ，使直線PQ與函數(shù)g（x）=，x∈［1，2］的圖像相切，切點(diǎn)為E，不妨設(shè)P，Q在直線x=1，x=2上，則直線l是平行四邊形MPQN的一條中位線，這就是使|AB|的最大值最小的直線位置.

因?yàn)閷?duì)直線l平移和轉(zhuǎn)動(dòng)，都會(huì)使|MS|，|KE|，|NH|中的某一值變大.此時(shí)，kMN=-1，

對(duì)于多參數(shù)絕對(duì)值函數(shù)模型，如果一味地針對(duì)“原函數(shù)”分層解決，多層次分類討論，學(xué)生對(duì)此問(wèn)題的解決是望而生畏的，結(jié)果很難達(dá)到目的.充分利用絕對(duì)值的幾何意義，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像之間的距離模型，快速準(zhǔn)確地把握?qǐng)D像的關(guān)鍵特點(diǎn)，找到解題的突破點(diǎn)，順利地避開(kāi)計(jì)算，提高解題的成功率.

波利亞曾說(shuō)：“對(duì)于一個(gè)特例之所以要進(jìn)行這樣周密的描述，其目的就是為了從中提出一般的方法的模式.”筆者試著從一題出發(fā)，對(duì)函數(shù)思想、不等式思想、解題模型的綜合問(wèn)題進(jìn)行梳理，以期達(dá)到觸類旁通，融匯貫通的效果.