培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的教學(xué)研究

☉江蘇省南通市開發(fā)區(qū)天星湖中學(xué) 施慧麗

對于高中數(shù)學(xué)幾何知識的學(xué)習(xí)，除了要掌握必要的計(jì)算公式和方法外，還需要具備一定的直觀想象素養(yǎng)，養(yǎng)成直觀想象的解題思維習(xí)慣，這樣才能夠幫助學(xué)生快速地掌握幾何知識，有效地破解幾何難題.高中幾何知識對于部分想象能力強(qiáng)的學(xué)生來說不算是什么難點(diǎn)，但是對于缺乏這種能力或者這種能力不高的學(xué)生來說，有必要掌握一些直觀想象的辦法，并由此開拓自身的解題思路，讓自身的思維和數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生必要的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生在自主想象和思考的過程中逐個擊破高中的幾何知識難點(diǎn)問題，并以此來提升自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力與數(shù)學(xué)學(xué)科綜合成績.

一、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識，形成空間圖像表象

教師要明白，讓學(xué)生學(xué)好幾何知識，必須要將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇^的空間圖像表象，有了這樣的轉(zhuǎn)化，學(xué)生才能借助于空間思維能力去構(gòu)建幾何圖形，并以此借助運(yùn)算方法計(jì)算幾何知識.教師可在教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上，著重為學(xué)生講解幾何知識的基本原理和公式，讓學(xué)生學(xué)會使用語言、作圖等形式傳達(dá)教材中的幾何知識點(diǎn)，并學(xué)會使用自己的思維模式去分析幾何問題的解題思路.例如，在學(xué)習(xí)《立體幾何初步》一課時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從簡單的階段——認(rèn)識幾何知識和學(xué)會幾何作圖出發(fā)，讓學(xué)生構(gòu)建屬于自己思維慣性的幾何圖形的學(xué)習(xí)模式，讓學(xué)生觀察圖形代表的幾何知識點(diǎn)，并由此進(jìn)一步讓學(xué)生學(xué)會對幾何知識的總結(jié).尤其是幾何形體之間的聯(lián)系，像錐體、柱體、臺體、球體等這幾類立體幾何圖形的學(xué)習(xí)，學(xué)生需要在自主學(xué)習(xí)和探索的過程中利用空間圖像表象的構(gòu)建去認(rèn)識它們之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)以及聯(lián)系，如圖1所示的圓錐和圓臺，它們之間的關(guān)系就是圓臺可以由圓錐截掉上端的一部分得到.這樣便于學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握幾何圖形的一些基礎(chǔ)原理，進(jìn)而加深對幾何圖形的認(rèn)識，強(qiáng)化對幾何知識的掌握程度.

圖1

二、加強(qiáng)學(xué)生用圖意識，合理利用直觀想象解題

高中幾何知識的學(xué)習(xí)需要一定的直觀想象能力，尤其是對于在這方面能力薄弱的學(xué)生來講，需要教師強(qiáng)化學(xué)生的用圖意識，引導(dǎo)學(xué)生在合理的直觀想象下去逐步解題.因此，教師在日常的幾何類知識的教學(xué)過程中，需要告訴學(xué)生圖形轉(zhuǎn)化思想的重要性，讓學(xué)生學(xué)會將教材內(nèi)容圖形表征之間的聯(lián)系進(jìn)行自主思考和探索，強(qiáng)化自身的圖形轉(zhuǎn)化能力.同時，教師要告訴學(xué)生，幾何圖形是可以使用數(shù)學(xué)語言去描述的，二者之間存在相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，例如告訴學(xué)生一些幾何圖形的常識原理“一條直線上有兩個點(diǎn)都在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在一個平面內(nèi).”以此來強(qiáng)化學(xué)生對圖形原理知識的記憶，便于學(xué)生在腦海中自主構(gòu)建圖形表征，從而提升解題效率.

三、使用多種畫法解題，構(gòu)建最佳問題

教師引導(dǎo)學(xué)生使用多種畫法來解題，這不僅有助于學(xué)生快速解題，而且有助于提高學(xué)生的解題思維能力.同時，在多種畫法的解題過程中，教師需要構(gòu)建出最佳問題，尋找到圖形解題的最佳途徑，讓學(xué)生在遇到同類型的題目時，能快速找到最佳畫法，而不是在眾多畫法中難以選擇哪一種最為有效.首先，教師需要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察幾何類型的題目，以命題人的視角去觀察這道題的最佳解題辦法，以此構(gòu)建多樣的畫法，讓幾何圖像直觀地呈現(xiàn)在草稿紙上，這對于學(xué)生精確理解題意和快速掌握解題辦法有很大的幫助.其次，在學(xué)生解題時，要借助腦海中的直觀圖像來解題，例如在解決函數(shù)類的知識題目時，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建最佳解題的思維辦法去解題，讓函數(shù)知識與幾何知識得以轉(zhuǎn)化，使用作圖的方法來實(shí)現(xiàn)函數(shù)的最佳解決路徑，以此可提升學(xué)生的解題質(zhì)量和效率.

例1已知函數(shù)f（x）=若f（x）=10，則x=______.

例題答案：函數(shù)f（x）的圖像，如圖2.由10＞0得f（x）=x2+1=10，且x＜0，得x=-3.

圖2

例2已知關(guān)于x的方程x2-4|x|+5=m有四個不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______.

圖3

例題分析：這道題如果用直接法的話就要先將方程化簡，然后求出x1，x2，并進(jìn)行分類討論再應(yīng)用.這樣的過程既繁瑣又會加大題目難度；但若結(jié)合二次函數(shù)來繪制題目圖像，采用數(shù)形結(jié)合的方法，就可以簡化解題過程，鍛煉學(xué)生的直觀想象能力.

例題答案：設(shè)y1=x2-4|x|+5，y2=m.又y1為偶函數(shù)，由圖3可知1＜m＜5.

四、培養(yǎng)學(xué)生識圖能力，變換方式尋求解題辦法

識圖能力是高中生學(xué)習(xí)幾何知識的一種必備能力.教師在教導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識時，有必要引導(dǎo)學(xué)生具備一定的識圖能力.在識圖過程中，要運(yùn)用多種方式變化解題，這樣才能保障學(xué)生已經(jīng)對題目中的內(nèi)容充分理解并消化，以此抓取有效的題目信息，幫助學(xué)生識圖、作圖，借助一定的計(jì)算公式，得出題目答案.教師要引導(dǎo)學(xué)生對題目的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以構(gòu)建圖形的方式轉(zhuǎn)化為自己的理解方式，有效地理解題目中隱藏的信息，以此幫助學(xué)生快速理解題目轉(zhuǎn)化，以直觀想象解決題目問題.

例3圓x2＋y2-2x-2y＋1＝0上的動點(diǎn)Q到直線3x＋4y＋8＝0距離的最小值為______.

圖4

答案：2.

解：因?yàn)閳Ax2+y2-2x-2y+1=0，即（x-1）2+（y-1）2=1，所以該圓為以（1，1）為圓心，r=1為半徑的圓，圓心到直線的距離為，則圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為dmin=3-1=2.

五、利用特殊模型，提升圖形語言轉(zhuǎn)化能力

在高中幾何知識的學(xué)習(xí)中，教師可借助特殊模型的構(gòu)建，讓學(xué)生在直觀想象的同時，將圖形中隱藏的語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而幫助快速解題.例如，在“異面直線的概念”一課的學(xué)習(xí)中，教師可以讓學(xué)生使用作圖的方式，構(gòu)建出不同平面內(nèi)的兩條直線，通過兩條直線的不同位置變化，來分析這些不同平面內(nèi)直線之間的關(guān)系，并由此掌握不同平面直線位置關(guān)系的問題，幫助學(xué)生理解異面直線的幾何概念.借助特殊的模型，例如兩只直尺，在兩本書封面上的位置變化來理解異面直線的概念，這些都可以幫助學(xué)生掌握一定的圖形語言轉(zhuǎn)化形式，培養(yǎng)學(xué)生的幾何語言理解能力.

六、總結(jié)

總之，直觀想象素養(yǎng)對于幫助提升高中生學(xué)習(xí)幾何知識極為重要.解決幾何問題都需要直觀想象，有了這樣的能力，學(xué)生不但可以加深對幾何原理、概念的理解，還可以掌握更快速的解題技巧，對提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的效率有重要的現(xiàn)實(shí)意義.