強(qiáng)化應(yīng)用題教學(xué)，提高學(xué)生建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)
——淺議高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)現(xiàn)狀與對(duì)策

☉江蘇省金湖中學(xué) 陳萬斌

數(shù)學(xué)不是空洞的，也不完全是抽象的，數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐又服務(wù)于實(shí)踐，而數(shù)學(xué)應(yīng)用題正是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法來解決實(shí)際問題的能力，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的無處不在與無所不能.數(shù)學(xué)應(yīng)用題是考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，也是高考的重要組成部分，在每年的高考中所占分值較大，一般江蘇省高考應(yīng)用題處于試卷解答題的中間位置，是中等生和優(yōu)等生得高分的基礎(chǔ)，若處理不好，往往會(huì)影響后面的習(xí)題解答，進(jìn)而直接影響到最終的數(shù)學(xué)成績(jī).但就目前學(xué)生的現(xiàn)狀來說，一是畏懼應(yīng)用題，閱讀能力不高，特別是遇到題目較長(zhǎng)、字母較多、數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜的題目時(shí)就缺乏堅(jiān)持讀題的信心；二是解決應(yīng)用題時(shí)缺乏耐心，讀題草率，審題不仔細(xì)，特別是不善于列出有用信息，并找出關(guān)鍵句；三是不會(huì)建模，特別是遇到陌生的數(shù)學(xué)情境時(shí)就會(huì)茫然不知所措.這就要求我們數(shù)學(xué)教師要加強(qiáng)應(yīng)用題教學(xué)，并對(duì)應(yīng)用題進(jìn)行深入的研究，進(jìn)而幫助學(xué)生找到應(yīng)用題的解決辦法，希望本文能對(duì)教師開展應(yīng)用題的復(fù)習(xí)課教學(xué)有所幫助.

一、案例分析

（一）近期考題再次分析

下面例題是江蘇省淮安市高三三模試卷中的數(shù)學(xué)應(yīng)用題.

例題將一鐵塊高溫熔化后制成一張厚度忽略不計(jì)，面積為100dm2的矩形薄鐵皮（如圖1所示），并沿虛線l1，l2裁剪成A、B、C三個(gè)矩形（B、C全等），用來制成一個(gè)柱體，現(xiàn)有兩種方案：

圖1

方案①：以l1為母線，將A作為圓柱的側(cè)面展開圖，并從B、C中各裁剪出一個(gè)圓形作為圓柱的兩個(gè)底面；

方案②：以l1為側(cè)棱，將A作為正四棱柱的側(cè)面展開圖，并從B、C中各裁剪出一個(gè)正方形（各邊分別與l1或l2垂直）作為正四棱柱的兩個(gè)底面.

（1）設(shè)B，C都是正方形，且其內(nèi)切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面，求底面半徑；

（2）設(shè)l1的長(zhǎng)為xdm，則當(dāng)x為多少時(shí)，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大？

解析：（1）設(shè)所得圓柱的底面半徑為rdm，則（2πr+2r）×4r=100，

（2）題意分析：

①本題是由平面圖形裁剪后構(gòu)成的空間幾何體，但涉及到的“未知量”較多，且不完全是“相等”關(guān)系.

②找出“相等”關(guān)系和“不等”關(guān)系.

③把條件和結(jié)論聯(lián)系起來，可以從條件入手，向結(jié)論轉(zhuǎn)化；也可以從題意入手，挖掘其實(shí)際內(nèi)涵.

④對(duì)數(shù)學(xué)的建模能力和“純”數(shù)學(xué)的處理能力要求較高.

方法一：常規(guī)思路，從“式子”出發(fā)，采用“消元”法.轉(zhuǎn)化為以“x”為“未知量”的分段函數(shù)，即以“x”為主元，通過不等關(guān)系消去“a”.

如圖2所示，設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為adm，KP=mdm，且已知PN=xdm，QK=4adm，則有100=（4a+m）x.

圖2

方法二：一般思路，從“式子”出發(fā)，采用“主元”法.

轉(zhuǎn)化為以“a”為“未知量”的函數(shù)，即以“a”為主元，通過不等關(guān)系消去“x”.

方法三：觀察已知式子和所求結(jié)論的“結(jié)構(gòu)”特點(diǎn)，進(jìn)行“配湊”.

方法四：立足“題意”本質(zhì)，從“意圖”出發(fā).

圖3

設(shè)PK=mdm，已知PN=xdm，且x（m+4a）=100，比較PK與PF的大小，即小的就為正四棱柱的邊長(zhǎng).

錯(cuò)因：①學(xué)生對(duì)平面到空間的轉(zhuǎn)換不適應(yīng).②習(xí)題的表達(dá)過長(zhǎng)，讓人望文生畏.③題目中變量的關(guān)系較多，而且多為“不等”關(guān)系，錯(cuò)綜復(fù)雜.④因變量過多導(dǎo)致關(guān)系混亂，不能準(zhǔn)確理解題意，不易建模.⑤不等關(guān)系不易計(jì)算，學(xué)生不善于把條件和結(jié)論結(jié)合起來聯(lián)想，數(shù)學(xué)化能力不強(qiáng)，解決數(shù)學(xué)問題的能力不夠.⑥應(yīng)用題的題意能懂但理解的不夠透徹，缺乏耐心和提取關(guān)鍵信息的能力.⑦沒有解決應(yīng)用題的科學(xué)習(xí)慣，剛粗略讀題后就立即書寫，沒有進(jìn)行更深層次的思考，實(shí)際讀題只停留在表面.⑧格式不夠規(guī)范，沒有掌握應(yīng)用題解題的基本步驟.⑨仍有畏懼心理，“不想做”“不敢做”“不能做”，更不會(huì)“分層做”.

（二）近三年高考考題專門研究

研究近三年江蘇省高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題，總結(jié)如下：

背景：行程、保護(hù)區(qū)、公路、倉庫、容器等.

知識(shí)：三角、圓、切線、解析幾何、立體幾何等.

考查：解三角形、解析法、求體積、求解析式等最值問題.

方法：找出關(guān)系，建構(gòu)函數(shù)模型，利用和積不等式或求導(dǎo)求得最值.

注意：變量的取值范圍、習(xí)題中的敘述轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或數(shù)量關(guān)系；綜合性較強(qiáng)，如轉(zhuǎn)化三角形，除了用到正弦、余弦定理外，還會(huì)用到兩角和與差的三角函數(shù)等；先列解析式再通過求導(dǎo)進(jìn)而得出最值.

二、應(yīng)用題再認(rèn)識(shí)

1.特點(diǎn)：背景豐富（用概念新穎、取材廣泛的實(shí)際載體或配圖為空間圖形和復(fù)雜的平面圖形等）、文字冗長(zhǎng)、變量較多、數(shù)量關(guān)系復(fù)雜（相等和不等關(guān)系等）.

2.難點(diǎn)：閱讀量大、字母多且抽象性高、背景不熟、概念不清、顯性關(guān)系復(fù)雜或隱性關(guān)系不明、數(shù)學(xué)求解不易等.

3.考查要求：閱讀能力、創(chuàng)新思維、實(shí)踐能力、數(shù)學(xué)類型識(shí)別、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)思維等綜合考查，間接考查數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)等.

4.近幾年江蘇省的考查類型：函數(shù)（含分段函數(shù)、含范圍等）、三角、不等關(guān)系、立體幾何背景、解析幾何背景、物理等學(xué)科背景、生活背景等.

三、淺談應(yīng)用題的教學(xué)策略

1.教會(huì)能力

（1）讀題能力：對(duì)語言進(jìn)行簡(jiǎn)化，使題目簡(jiǎn)明、清晰，可借助表格、圖形來處理數(shù)據(jù)，弄清概念、名詞，進(jìn)一步熟悉和理解背景.一是略讀，了解大意，屬于哪一類問題，邊讀邊記，邊畫示意圖，防止信息遺漏；二是細(xì)讀，抓住關(guān)鍵詞和重要語句，篩選出有價(jià)值的信息，在略讀基礎(chǔ)上進(jìn)行研讀；三是精讀，重在領(lǐng)會(huì)，關(guān)鍵把應(yīng)用題的抽象內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具體內(nèi)容.要舍得花時(shí)間，才能真正讀懂、讀透，絕不能走馬觀花就隨意動(dòng)筆.

（2）數(shù)學(xué)建模能力：即根據(jù)題意建立合適的數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，涉及數(shù)學(xué)抽象能力、挖掘內(nèi)涵和轉(zhuǎn)化能力等，還涉及：比較、綜合、抽象、概況、演繹、推理、聯(lián)想等能力.

（3）解題能力：針對(duì)轉(zhuǎn)化而來的數(shù)學(xué)問題，選擇和運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力，涉及邏輯思維能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，找準(zhǔn)相應(yīng)解題方法.

（4）計(jì)算能力：實(shí)際問題的結(jié)果都是通過數(shù)學(xué)運(yùn)算獲得的，需要學(xué)生有較高的計(jì)算能力.在計(jì)算過程中需要學(xué)生能靈活應(yīng)變，化解計(jì)算中的難點(diǎn)，同時(shí)要兼顧應(yīng)用題的“實(shí)際性”，如自變量的范圍、結(jié)果的選擇等，確保最終答案的正確.

2.教會(huì)自主

（1）自主閱讀：?jiǎn)拘褜W(xué)生主動(dòng)參與，留時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)閱讀，從慢讀、細(xì)讀、精讀、會(huì)讀，逐步提速，迅速接受概念，快速全面理解題意.

（2）自主提煉：教會(huì)學(xué)生透過冗長(zhǎng)的敘述抓住關(guān)鍵詞句，找出重要數(shù)據(jù)，可以訓(xùn)練學(xué)生提煉材料，抓主體保本質(zhì).

（3）尋找關(guān)系：提煉有價(jià)值的信息，找出關(guān)系并能等價(jià)轉(zhuǎn)化，學(xué)會(huì)聯(lián)系，依靠數(shù)學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型.

（4）尋找細(xì)節(jié)：注意細(xì)節(jié)和特殊條件，應(yīng)用題的過程和結(jié)果離不開實(shí)際背景.

3.精心選題 加強(qiáng)系統(tǒng)訓(xùn)練

通過分析近5年江蘇高考及全國(guó)高考的應(yīng)用題的特點(diǎn)，編制知識(shí)面系統(tǒng)、建模典型的《應(yīng)用題專題復(fù)習(xí)》導(dǎo)學(xué)案，即按照知識(shí)體系對(duì)應(yīng)用題進(jìn)行分類，對(duì)各類模型進(jìn)行匯總，以培養(yǎng)學(xué)生識(shí)別模型、建立模型、應(yīng)用模型的意識(shí)和能力，提高教學(xué)效益，讓學(xué)生有法可依.

四、感悟

有位著名的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)說過：知識(shí)不是硬性灌輸給學(xué)生的，一位優(yōu)秀的傳輸者應(yīng)該積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行反思，而不是磨滅學(xué)生的創(chuàng)造性和主動(dòng)性.數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)也是如此，它是一個(gè)創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)、更新并且不斷提高的動(dòng)態(tài)過程，我們老師作為高中數(shù)學(xué)課程的直接建設(shè)者與有序引導(dǎo)者，應(yīng)用題教學(xué)的課堂要“慢”下來，教師要善于“引導(dǎo)”、善于“等待”、善于“利用”學(xué)生主體，以學(xué)生的核心素養(yǎng)為發(fā)展核心，逐步提高學(xué)生的解題能力.

應(yīng)用題是高中學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，更是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，難在它的冗長(zhǎng)的文字、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系、隱含的關(guān)鍵信息、難以建立的數(shù)學(xué)模型、關(guān)系式的數(shù)學(xué)處理、格式的規(guī)范表達(dá)等，這就需要我們數(shù)學(xué)教師對(duì)高中知識(shí)涉及的典型應(yīng)用題進(jìn)行梳理、對(duì)大綱考查的數(shù)學(xué)模型的情境及種類進(jìn)行整理，對(duì)高中三年的應(yīng)用題的教學(xué)按照所學(xué)的知識(shí)模塊順序制定一個(gè)總體、科學(xué)的規(guī)劃，分期、分階段逐步、分層實(shí)施.同時(shí)充分利用課堂這條傳授知識(shí)和方法的主渠道，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)讀題、審題、提取信息；學(xué)會(huì)建模，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)解題，激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，培養(yǎng)興趣和良好的思維習(xí)慣；提高學(xué)生克服閱讀的障礙，敢于閱讀、勇于審題、長(zhǎng)于轉(zhuǎn)化、善于建模、樂于計(jì)算；再是教師要對(duì)每一節(jié)應(yīng)用題的教案進(jìn)行合理設(shè)計(jì)，著重理解和思維.如果這樣堅(jiān)持下去，經(jīng)過師生的共同努力，應(yīng)用題就不再是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，反而會(huì)變成一個(gè)促進(jìn)學(xué)生建模素養(yǎng)、運(yùn)算素養(yǎng)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提高的一個(gè)落腳點(diǎn).