提升數(shù)學(xué)例題教學(xué)實(shí)效性的實(shí)踐和思考

☉江蘇省溧陽市光華高級(jí)中學(xué) 偰維國

數(shù)學(xué)概念的形成、規(guī)律的揭示、技能的訓(xùn)練、學(xué)生智能的培養(yǎng)都需要例題教學(xué)作為有力支撐.很多學(xué)生在傳統(tǒng)教學(xué)的課堂上往往能認(rèn)真聽取教師的講解與分析，但在解決具體問題時(shí)卻又表現(xiàn)得懵懂慌亂.現(xiàn)代認(rèn)知學(xué)派的理論認(rèn)為學(xué)生的主動(dòng)參與往往能使其更好地建構(gòu)新知結(jié)構(gòu).教師在例題教學(xué)中應(yīng)積極滲透數(shù)學(xué)思想方法并引導(dǎo)學(xué)生借助原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)獲得新的發(fā)現(xiàn)、理解與創(chuàng)造.以例導(dǎo)思、由例及類是例題教學(xué)中慣用的教學(xué)手段，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)做到以下五點(diǎn)并由此實(shí)現(xiàn)例題教學(xué)的優(yōu)化.

一、溫故引新并實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移

數(shù)學(xué)新知是在舊知基礎(chǔ)上的拓展與延伸，往往會(huì)生成更多新的例題，這些例題的教學(xué)必須從新舊知識(shí)的連接點(diǎn)與新知識(shí)的生長點(diǎn)上進(jìn)行知識(shí)與方法的遷移，優(yōu)化相關(guān)舊知并引導(dǎo)學(xué)生因此展開新知的探索.

案例1 問題1：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+3-a，有f（x）≥0恒成立，試求a的取值范圍.

問題2：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+3-a，若x∈［-2，2］時(shí)，有f（x）≥0恒成立，試求a的取值范圍.筆者引導(dǎo)學(xué)生在問題1的復(fù)習(xí)基礎(chǔ)上對(duì)問題2進(jìn)行了探究以實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移.有學(xué)生利用判別式很快得出了問題1的答案，但在解決問題2時(shí)仍舊運(yùn)用了這一思路，教師應(yīng)及時(shí)指出學(xué)生的錯(cuò)誤并引導(dǎo)學(xué)生思考錯(cuò)誤的原因，然后請(qǐng)學(xué)生進(jìn)行自主糾正，學(xué)生很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)建立不等式Δ≤0對(duì)任意x∈（-∞，+∞）均成立，但在問題2中，題設(shè)為任意的x∈［-2，2］，這是必要條件被當(dāng)成了充分條件進(jìn)行運(yùn)用.也有學(xué)生畫出了函數(shù)f（x）=x2+ax+3-a的草圖并發(fā)現(xiàn)了二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間之間的關(guān)系，運(yùn)用分類討論進(jìn)行了解題.由此可見，知識(shí)遷移的解題教學(xué)帶給了學(xué)生更多的探究欲望并獲得了學(xué)生情感與知識(shí)上的共鳴.

布魯納早就提出過探索是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線這一著名的觀點(diǎn)，教師在教學(xué)中應(yīng)積極創(chuàng)設(shè)探究氛圍并為學(xué)生創(chuàng)造出更多的思維活動(dòng)的平臺(tái).

二、指導(dǎo)分析并獲得解題思路

學(xué)生“聽得懂、不會(huì)做”的現(xiàn)象在例題教學(xué)之后是普遍存在的，教師沒有引導(dǎo)學(xué)生參與分析和思考的過程是產(chǎn)生這一現(xiàn)象的主要原因，教師應(yīng)扮演好“引導(dǎo)者”、“組織者”的角色并教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)解題思考.

案例2設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，an+1=證明數(shù)列｝為等比數(shù)列.

以下是筆者的教學(xué)過程：

師：題目要求的是什么？

師：證明某數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)是怎樣做的？

生：用等比數(shù)列的定義.

師：怎樣用符號(hào)或式子來表達(dá)要證明的結(jié)果？

師：可否將其適當(dāng)變形？

生：可變形為nSn+1=q（n+1）Sn.①

師：已知條件是什么？

師：條件②和目標(biāo)①之間應(yīng)該怎樣建立聯(lián)系呢？an+1和Sn+1、Sn之間又有怎樣的聯(lián)系？

生：an+1=Sn+1-Sn.

師：不錯(cuò)，解題目標(biāo)現(xiàn)在能實(shí)現(xiàn)了嗎？

學(xué)生在上述啟發(fā)中很快獲得了以下解題思路：

在例題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生合作學(xué)習(xí)能使其在相互交流中獲得解題思路的優(yōu)化，以及思維境界的升華和解題能力的提高.

三、回顧深化并實(shí)現(xiàn)觸類旁通

解題回顧是解題過程中不可缺少的一個(gè)步驟，不僅如此，解題者還應(yīng)對(duì)不同的解題方法、解題結(jié)果在其他題中的運(yùn)用進(jìn)行新的思考.

案例3運(yùn)用構(gòu)造法求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式：求形如an+1=pan+qn（p、q均為常數(shù)，p≠1，p≠0，q≠0）的通項(xiàng)公式.

復(fù)習(xí)：已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+3，求an.

方法：在數(shù)列{an}中，已知遞推關(guān)系形如an+1=pan+qn（p、q均為常數(shù)且p≠1，p≠0，q≠0），求an.可運(yùn)用待定系數(shù)法將原遞推公式轉(zhuǎn)化成：an+1-x=p（an-x），其中然后將其轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列進(jìn)行解題.

回顧上述解法之后提出變式：已知在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n+1（n∈N*），求an.

引導(dǎo)思考：兩邊除以2n+1，可將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化成形如an+1=pan+qn（p、q均為常數(shù)p≠1，p≠0，q≠0）的形式嗎？然后再運(yùn)用構(gòu)造法對(duì)其進(jìn)行求解？

方法：一般應(yīng)先在an+1=pan+qn兩邊同除以qn+1，得引入輔助數(shù)列{bn}（其中），得，然后運(yùn)用待定系數(shù)法解題.

問題拓展：已知在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n+1（n∈N*），求an.可有不同解法？

引導(dǎo)思考：是否可以把遞推關(guān)系變形為an+1+2n+2=3（an+2n+1），則數(shù)列{an+2n+1}是等比數(shù)列，再求解？或者兩邊同除以3n+1，化成最后再用迭加法來解題？

先復(fù)習(xí)回顧后變式深化的教學(xué)將情境變化完全凸顯出來，在有效訓(xùn)練學(xué)生思維遷移的同時(shí)也令學(xué)生更好地捋清了解題思路，學(xué)生的思維遷移能力也因此得到了很好的鍛煉.學(xué)生在一題多解、多題一解的訓(xùn)練與合理變式中學(xué)會(huì)了知識(shí)的靈活運(yùn)用，在舉一反三的解題思考與實(shí)踐中實(shí)現(xiàn)了解題的觸類旁通，學(xué)生在解題靈感得到有力激發(fā)的同時(shí)也獲得了思維能力與創(chuàng)新意識(shí)的大力提升.

四、相互滲透并形成解題策略

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、規(guī)律進(jìn)行本質(zhì)認(rèn)識(shí)與提煉即為數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法這一解題的策略與程序?qū)嶋H上正是數(shù)學(xué)思想的具體反映，數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn)往往需要數(shù)學(xué)知識(shí)這一載體才能實(shí)現(xiàn).因此，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)應(yīng)注意滲透意識(shí)的增強(qiáng)并把握好尺度，使數(shù)學(xué)知識(shí)、方法與思想能做到有機(jī)結(jié)合與自然滲透.

案例4已知a＞0，函數(shù)f（x）=（x2-2ax）ex，設(shè)f（x）在［-1，1］上為單調(diào)函數(shù)，試求a的取值范圍.

解：f′（x）=ex［x2+2（1-a）x-2a］.由f（x）在［-1，1］上為單調(diào)函數(shù)，可知g（x）=x2+2（1-a）x-2a在［-1，1］上有g(shù)（x）≥0恒成立，或g（x）≤0恒成立.

（1）如圖1，g（x）≥0恒成立時(shí)（x∈［-1，1］），有以下三種情況：

圖1

圖2

（2）如圖2，g（x）≤0恒成立時(shí)（x∈［-1，1］），有綜上所述可得

這是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式相互滲透融合的例題，數(shù)形結(jié)合和分類討論在此題的求解過程中相得益彰.借助直觀的圖形進(jìn)行解題有效地避免了繁瑣的計(jì)算，且思想方法得到提升的同時(shí)也形成了清晰的解題策略，抽象問題也因此變得更加直觀易解.

五、突出重點(diǎn)并提升自學(xué)能力

很多數(shù)學(xué)例題都是以題組的形式出現(xiàn)，弄清例題之間的關(guān)系與例題編排的意圖能使例題教學(xué)的重點(diǎn)更為突出，合理取舍可講與可不講、重點(diǎn)講與粗略講并因此提升教學(xué)效率.

總之，教師如果能在以上五個(gè)方面進(jìn)行例題教學(xué)的優(yōu)化，必然能更好地發(fā)揮學(xué)生的主體作用并使學(xué)生學(xué)會(huì)探究性思考，使學(xué)生在合作學(xué)習(xí)與共同交流中不斷優(yōu)化解題的思路與策略，不斷發(fā)展學(xué)生解題的應(yīng)變能力，同時(shí)獲得課堂教學(xué)實(shí)效的提升.