以思維為核心 讓“數(shù)學抽象”螺旋上升

摘 要：數(shù)學抽象素養(yǎng)是高中數(shù)學教學需要培養(yǎng)的六大核心素養(yǎng)之一。如何培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，筆者嘗試建構以數(shù)學思維為核心的教學，形成研究一個具體的數(shù)學對象或解決一類數(shù)學問題的基本結構模式：素材探究（現(xiàn)實需要、數(shù)學發(fā)展的需要）——概念表征（表示及分類）——性質歸納——理解應用，讓“數(shù)學抽象”螺旋上升，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。

關鍵詞：數(shù)學思維；數(shù)學抽象；啟發(fā)性導學語；關聯(lián)性

“數(shù)學抽象”貫穿于數(shù)學的產生與發(fā)展，反映了數(shù)學的一般性特征，是數(shù)學的核心素養(yǎng)。其素養(yǎng)的達成實際上就是要在理解數(shù)學知識的精神實質上下功夫，創(chuàng)建以思維為核心的課堂教學，實現(xiàn)數(shù)學育人的核心目標。筆者在教學實踐中基于學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，嘗試建構以數(shù)學思維為核心的教學，形成研究一個具體的數(shù)學對象或解決一類數(shù)學問題的基本結構模式：素材探究（現(xiàn)實需要、數(shù)學發(fā)展的需要）——概念表征（表示及分類）——性質歸納——理解應用，讓“數(shù)學抽象”螺旋上升，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。

一、 提供豐富性素材，轉換教學主體

研究一個具體的數(shù)學對象或是解決一類數(shù)學問題，往往需要經歷從定性到定量，從具體到抽象，從宏觀到微觀的過程。這就需要根據學生不同的認知風格，提供一個位于學生思維最近發(fā)展區(qū)內，蘊含當前學習內容本質的豐富的情境素材，激發(fā)學生的主動求知欲。其教學設計要由“知識點”拓展到“知識群”，從而在整體上把握知識的主線。

比如在《任意角》的教學設計中，我們可以這樣設計：以前我們是如何定義一個角的？它的范圍是多少？通過建構情景1：手表慢了5分鐘，如何校準？手表快了1.25小時，如何校準？情景2：車輪向后滾了半圈，那么車輪的一條半徑OP旋轉了多少度？如果車輪向前滾了1圈半，那么車輪的這條半徑OP旋轉了多少度？其目的是回顧已有知識。創(chuàng)設問題情景，讓學生在解決問題的過程中感知任意角。

再請學生舉生活中所接觸到的不在0°～360°的角的實例，并加以說明。思考：刻畫以上所舉的角的關鍵是什么？結合具體實例，感受角的概念推廣的必要性。在如何刻畫角的問題討論中，引發(fā)學生的認知沖突，認識到刻畫這些角，不僅要用旋轉量，還要用旋轉方向。接著用任意角的概念來解釋校正表的問題和前面所列舉的例子。利用新概念重新認識問題，并在問題的解決過程中加深對概念的理解。以同一射線為始邊作出下列角：210°，-150°，450°。讓學生感受沒有統(tǒng)一的參照系時，角的表示的不方便，由此引出在統(tǒng)一的直角坐標系內討論角的便利性。給出象限角的概念，同時也為下一步研究三角函數(shù)奠定基礎。引導學生討論感受：說說在直角坐標系內討論角的好處。

在這樣的教與學過程中，根據具體的學習內容和目標，教師為學生提供合理、豐富的素材和具體的實例，或者是蘊含數(shù)學本質的活動情境，學生從這樣設計的學習素材中學會抽象出數(shù)學概念的方法和學習經驗，學會用數(shù)學抽象的思維方式去領會數(shù)學的本質，由此提升數(shù)學抽象素養(yǎng)。

二、 設計啟發(fā)性導學語，再構學習內容

在數(shù)學問題解決中教會學生讀題，善于從題目的背景信息中提取有用信息，并通過不同對象的數(shù)學表征，再構學習內容，按圖索驥，形成知識體系，加深學生對數(shù)學知識的理解，并提升解決問題的能力。

當問題解決后，我們常常需要重新審視這道題的解題過程、策略和運用到的思想和方法。在重新審視的過程中，我們還要對此類問題做一個梳理，在解決問題的過程中方向和方法的確定需要對思路進行反思與修正等等，這一系列的思維過程需要通過平時教師啟發(fā)性導學語的設計不斷的固化和再抽象，從而提高學生解決問題的能力。

啟發(fā)性導學語：

1. 題目中的哪些關鍵信息讓你聯(lián)想到相關的基本定義、公式、定理，這些相關聯(lián)的定理能解決問題嗎？如何打通它們之間的關系？

2. 題中哪些步驟容易發(fā)生錯誤？原因是什么？

3. 如何防止或者如何才能避免錯誤？

4. 有哪些經驗和教訓？

5. 解題中用到了哪些數(shù)學思想方法，具體是怎么運用的？這個題有沒有其他解法？

比如過點P（1，-2）作圓x2+y2=1的切線，求切線方程。這題的解題分析可以先呈現(xiàn)學生錯誤資源，暴露學生知識缺漏。學生的做法是設過點P（1，-2）的切線方程為y+2=k（x-1），則圓心（0，0）到切線-kx+y+k+2=0的距離等于半徑1，即

|k+2|k2+1=1，解之得k=-34，則所求的切線方程為3x+4y+5=0。

教師通過啟發(fā)性導學語：題目的這個結果對嗎？你能檢驗嗎？你能一眼看出來嗎？讓學生養(yǎng)成檢驗解答結果的習慣，從“數(shù)”與“形”不同的角度積累簡單易掌握的借助幾何性質檢驗方法，提高答案的正確率。繼續(xù)追問：題中哪些步驟容易發(fā)生錯誤？原因是什么？引導學生根據用到的數(shù)學知識尋求知識與知識之間的聯(lián)系，尋求解題突破口，形成解題思路，對其中所設計的數(shù)學思想方法等方面進行回顧，對知識方法的再梳理，再確認，這樣深層次的數(shù)學思維訓練，提升了學生分析問題和解決問題的能力，完善認知結構，使數(shù)學抽象的再抽象得以落實，從而進一步養(yǎng)成一般性思考的學習習慣。

三、 關注聯(lián)系性學習，理解數(shù)學應用

數(shù)學知識總是以不同的特征和形式加以呈現(xiàn)，在學習中要關注其多元表征，關注知識之間的聯(lián)系，掌握其聯(lián)通的方式，這樣的學習才能加深學生對數(shù)學的理解，才會用數(shù)學的眼光看待數(shù)學，觀察世界，從而引發(fā)思考，經歷抽象過程，發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)。比如在《幾何概型》教學中，通過問題串完整體現(xiàn)了幾何概型的概念形成過程，學生在問題的引導下，類比已有古典概型的形成過程與方法，通過五個實例的分析，發(fā)現(xiàn)幾何概型與古典概型之間的區(qū)別與聯(lián)系，打通了它們之間的聯(lián)通關系，逐步體會三種不同的幾何度量，從而加深對幾何概型的理解與應用。這樣的設計目的是充分發(fā)揮這一內容的數(shù)學思維教育價值。

總之，學生數(shù)學抽象素養(yǎng)不是通過一、兩節(jié)課就能提升的，這是一個螺旋上升的漫長過程。其培養(yǎng)應貫穿整個高中階段，應落實在每節(jié)課的課堂教學中實現(xiàn)以學生為主體、以開放性問題為主線的學習內容再構；重點關注知識的關聯(lián)性，激發(fā)學生的深度思維，最終發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]章建躍.數(shù)學教育隨想錄.下卷[M].杭州：浙江教育出版社，2017（6）：485.

[2]胡浩，張永超.立足教材探數(shù)學核心素養(yǎng)落地生根[J].數(shù)學通訊，2017（10）.

[3]晁豐成.讓“數(shù)學抽象”素養(yǎng)在“概念教學”中落地[J].中學數(shù)學研究，2017（5）.

作者簡介：葉志娟，福建省廈門市，廈門市逸夫中學。