例談一類抽象函數(shù)的“周期性”

李超

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，也是高考考察的重要內(nèi)容.抽象函數(shù)問題將函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和圖象集于一身，綜合考察了函數(shù)基本概念、各類性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，所以在高考中不斷出現(xiàn).通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)階段對(duì)于抽象函數(shù)的研究多集中以下幾個(gè)方面：

1.通過賦值（數(shù)值、代數(shù)式），求函數(shù)在特定點(diǎn)的函數(shù)值、最值以及解析式，或判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及周期性;

2.采取“模型函數(shù)”，將抽象函數(shù)具體化，并借助“模型函數(shù)”猜測函數(shù)所具有的性質(zhì)，來研究函數(shù)相應(yīng)性質(zhì);

3.構(gòu)造可導(dǎo)抽象函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來研究抽象函數(shù)的單調(diào)性，解決抽象不等式問題;

4.通過幾類常見的抽象函數(shù)模型，研究抽象函數(shù)的周期性和對(duì)稱性.

上述研究基本涵蓋了抽象函數(shù)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn).但在今年高考中，出現(xiàn)了一類抽象函數(shù)，其表達(dá)形式與周期性的抽象表達(dá)形式相似但又不同.我們又該如何處理呢？下來我們先欣賞一下題目：

上述變換過程，與我們所熟知的“左加右減”，“上加下減”有所不同.我們“左加右減”，“上加下減”的變換法則是針對(duì)于兩個(gè)不同函數(shù)之間的圖象關(guān)系，而我們上述變換法則針對(duì)的是同一個(gè)函數(shù)之間內(nèi)部函數(shù)值的關(guān)系，是函數(shù)f（x）在不同的點(diǎn)處的函數(shù)值的關(guān)系，兩者截然不同.

以上通過對(duì)一道高考題的深入研究，層層遞進(jìn)，從特殊到一般探究出一類抽象函數(shù)“周期性”，綜合考察了函數(shù)基本的定義域、值域、周期性以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，這也體現(xiàn)出高考試題凝聚了眾多專家的心血，其每一道題都有著自己的獨(dú)特的背景意義.這就要求我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)過程中，深入研究，才會(huì)有意想不到的收獲.

參考文獻(xiàn)

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