基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的概率統(tǒng)計(jì)試題命制與分析

張鵠 陳莉 孔峰 郭曉凌 李紅春

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立、又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體.”同時(shí)又指出：“命題應(yīng)依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和課程內(nèi)容，注重對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.在命題中，選擇合適的問(wèn)題情境是考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體.”

可見(jiàn)，在新的課程標(biāo)準(zhǔn)指導(dǎo)下，教師不僅要思考如何將學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程，更要研究在試題的命制中如何體現(xiàn)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.為此，筆者結(jié)合2019年武漢市高三四月調(diào)研測(cè)試中的一道概率統(tǒng)計(jì)題的命制過(guò)程，談?wù)劵跀?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的試題命制問(wèn)題，旨在與同仁切磋交流.

1?命制過(guò)程

考前，市教育科學(xué)研究院數(shù)學(xué)學(xué)科命題組召開了全體命題人員會(huì)議，確定了試題命制的原則與要求.經(jīng)過(guò)積極的討論與研究，在概率統(tǒng)計(jì)解答題的命制過(guò)程中，命題組全體人員認(rèn)為，最近幾年全國(guó)Ι卷將概率與統(tǒng)計(jì)視為一個(gè)有機(jī)聯(lián)系的整體，以當(dāng)前社會(huì)熱點(diǎn)應(yīng)用問(wèn)題為切入點(diǎn)，緊密聯(lián)系教材組織試題素材，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).因此，作為高考前的最后一次市級(jí)大型模擬考試的試題命制，應(yīng)該積極貫徹落實(shí)全國(guó)Ι卷的命題精神與特點(diǎn)，引導(dǎo)師生做好后續(xù)復(fù)習(xí)備考.

首先，在試題的命制背景方面，我們主要參考了2018年全國(guó)Ι卷理科第4題：

某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下所示餅圖：

則下面結(jié)論中不正確的是（）.

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少;

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上;

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍;

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半.

該題以黨中央提出的新農(nóng)村建設(shè)工程為背景，引導(dǎo)考生關(guān)注社會(huì)生活，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)考查學(xué)生的理解能力、讀取數(shù)表信息能力和數(shù)據(jù)處理能力.由此可見(jiàn)，此題包含的背景回應(yīng)了當(dāng)前社會(huì)發(fā)展的熱點(diǎn)問(wèn)題，可以作為概率與統(tǒng)計(jì)方面的命題切入點(diǎn).

其次，在試題的知識(shí)點(diǎn)考查以及設(shè)問(wèn)方式等方面又參考了2014年全國(guó)Ι卷理科第19題：從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：

第二小問(wèn)考查二項(xiàng)分布，以“精準(zhǔn)扶貧、不落一人”為背景，旨在提醒考生年收入位于13.432千元～21.368千元之間的概率接近100%，由此可以得出，要順利解答本題，需要考生平時(shí)加強(qiáng)閱讀能力和審題能力的訓(xùn)練，2018年全國(guó)Ⅰ卷概率統(tǒng)計(jì)題之所以能成為考生的壓軸題就在于許多考生缺乏這些能力，而若有了這方面的諸多能力就不難分析得出，收入位于13.432千元～21.368千元區(qū)間的概率屬于大概率事件，又由于每個(gè)農(nóng)民的年收入是否位于該區(qū)間相互獨(dú)立，所以該隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，最終得出數(shù)學(xué)期望.

試題命制出來(lái)后，又進(jìn)行了深入的討論研究，一致認(rèn)為最后一小問(wèn)表述不夠簡(jiǎn)潔和嚴(yán)謹(jǐn)且與全國(guó)卷概率統(tǒng)計(jì)大題的考查難度還有一定的差距，能否結(jié)合后期復(fù)習(xí)回歸教材的要求設(shè)計(jì)新的合理的設(shè)問(wèn)方式進(jìn)行考查.最后，在選修2-3第58頁(yè)閱讀材料《服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量取何值時(shí)概率最大》一文中找到了命題素材.這樣就得到了如下的試題：

2?試題解答

十九大以來(lái)，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康.經(jīng)過(guò)不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加.為了更好的制定2019年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收入力爭(zhēng)早日脫貧的工作計(jì)劃，該地扶貧辦統(tǒng)計(jì)了2018年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：

由此可知，在所走訪的1000位農(nóng)民中，最多可能有978人的年收入不少于12.14千元.

3?命題感想

3.1?素材積累，功在平時(shí)

俗話說(shuō)，功夫在詩(shī)外.命題也是如此，這次命題讓我感覺(jué)到要命制一道出色的試題，必須堅(jiān)持持續(xù)的學(xué)習(xí)與思考，必須注重零星的素材積累與整理.機(jī)會(huì)總是留給有準(zhǔn)備的頭腦.如何做到厚積薄發(fā)呢？筆者以為，要重視課本例習(xí)題的研究、改編、重組;高考真題的收集、整理、歸類、研究等.唯有這樣方能內(nèi)化于心，外化于形.

3.2?立足學(xué)生，關(guān)注發(fā)展

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)，命題比解題難，命題要測(cè)得出水平，測(cè)得出能力.這就要求我們命題者要深入思考命題的目的是什么.只有這樣，才不會(huì)命制出偏題怪題，才能命制出考查學(xué)生關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng)的好題.因此，命題時(shí)一定要心懷學(xué)生，立足學(xué)生實(shí)際，傾聽學(xué)生心聲.即便是命制壓軸題，也要站在學(xué)生的立場(chǎng)加以考慮，難要合理，新要恰當(dāng)，不在無(wú)關(guān)緊要之處設(shè)置障礙.

3.3?控制難度，精心磨題

命制一道好的試題就像是在創(chuàng)作一幅藝術(shù)作品.藝術(shù)作品為什么有強(qiáng)大的感染力，原因在于它能使人易于親近并感受到它的內(nèi)在美.命題也是如此，唯有適當(dāng)降低難度，才能讓學(xué)生樂(lè)于親近它接受它研究它.所以，命制的題目要盡量控制難度、信息量、閱讀量，力求敘述簡(jiǎn)潔、文字凝練、語(yǔ)言親切，讓學(xué)生感受到題目各方面的美，如簡(jiǎn)約美、對(duì)稱美、深刻美，讓學(xué)生在愉悅的狀態(tài)下積極思考，這也體現(xiàn)了命題者的人文關(guān)懷.這些都要求我們命題者要不辭辛勞，精心打磨試題，力求創(chuàng)造出美的試題.這也是我們命題者孜孜不倦的追求.