關(guān)于空間幾何體截面問題的探究

仇善麗

作為高中數(shù)學(xué)的主干知識之一，立體幾何重點研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的目的是能直觀地認(rèn)識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系;用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)平行、垂直的性質(zhì)和判定;用直觀感知、操作確認(rèn)、推理認(rèn)證、度量計算的方法認(rèn)知和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念[1].

空間幾何體作為研究立體幾何的重要載體，幾乎包含了立體幾何的所有研究對象，空間幾何體截面問題探究也越來越多的出現(xiàn)在高考命題中.然而，目前教學(xué)對截面問題重視不夠，且教材中對此內(nèi)容相對較少，教學(xué)要求也不明確.為此，加強對截面問題探究，對于發(fā)展和提升學(xué)生的空間探究能力具有重要的意義，應(yīng)當(dāng)引起足夠重視.

1?引導(dǎo)獨立分析，親歷探究過程

例1?用一個平面截正方體，探究截面的形狀.

探究思路?截面是指一個平面與空間幾何體相交所得的圖形，包括邊界及其內(nèi)部.給出截面圖形的分類原則，找到截得這些形狀的方法，畫出這些截面的示意圖.例如，可以按照截面圖形的邊數(shù)進行分類（如圖1），結(jié)合正方體截面設(shè)計一系列的問題，引導(dǎo)學(xué)生完成探究、發(fā)現(xiàn)、證明新問題的過程，積累空間幾何體截面問題的探究經(jīng)驗.

引導(dǎo)學(xué)生探討?如果截面是三角形，可以截出幾類不同的三角形？如果截面是四邊形，可以截出幾類不同的四邊形？還能截出哪些多邊形？

進一步探討?能否截出五邊形？有沒有截出邊數(shù)超過6的多邊形？是否存在正六邊形的截面？

這是一個有較大跨度的問題串，可以通過許多方法實施探究.例如，可在透明的正方體盒子中注入有顏色的水，觀察不同水量、不同擺放位置時液體表面的形狀;還可以借助信息技術(shù)手段，直觀地展示各種可能的截面，并證明哪些形狀的截面一定存在或者一定不存在.

學(xué)生通過操作觀察，形成猜想，證明結(jié)論.經(jīng)歷這樣逐漸深入的探究過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分類討論、作圖表達(dá)、推理論證等能力，以期達(dá)到空間想象能力的再提高， 奠定解決未來問題的基本思想方法.

2?確定思維導(dǎo)向，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

本題是2018年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ理科選擇題12題，是以最常見的空間幾何體——正方體為命題素材，重點考查了高中數(shù)學(xué)幾何直觀與邏輯推理、空間想象等核心素養(yǎng)，對學(xué)生提出了較高的要求，起到了考卷壓軸與把關(guān)的作用.

此題對于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查體現(xiàn)在以下幾個方面：一是在獲取信息的基礎(chǔ)上進一步加工信息，從復(fù)雜條件向簡單條件轉(zhuǎn)化，將無從下手的問題經(jīng)轉(zhuǎn)化而精準(zhǔn)切入;二是在探究過程中，確定明確的思維指向，確保在每一個思維的關(guān)鍵結(jié)點處，確定正確的轉(zhuǎn)折方向;三是在邏輯轉(zhuǎn)化的過程中，能夠及時發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題，從而進一步解決問題;四是提升知識的構(gòu)建和應(yīng)用能力，即在分析和解決問題的過程中，建構(gòu)知識，并且靈活運用.求解本題核心素養(yǎng)能力和思維路線如下：

（4）數(shù)學(xué)計算能力素養(yǎng)：計算最大截面面積.

通過分析解題的思維過程可以發(fā)現(xiàn)，基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)在分析和解決問題時貫穿始終.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和直觀想象，此題的求解過程中有充分的展示：把“所有棱”轉(zhuǎn)變?yōu)椤叭龡l棱”，把“三條棱”選在同一個點，再考慮“三條棱”與平面α所成的角相等，結(jié)合線面角原理的“數(shù)學(xué)模型”，得到平面α必與平面AD1B1平行，進而得出面積最大截面.由此重點訓(xùn)練了抽象、邏輯、建模和直觀想象能力.

3?結(jié)束語

空間幾何體截面的探究，首先，要堅持“動手”原則，重視培養(yǎng)“幾何畫圖”的能力，通過對空間位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，提高觀察力，進而培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.其次，要堅持“思維與能力第一”的原則，在空間幾何體的教學(xué)中，要注意對思想方法內(nèi)涵的滲透以及操作程序的強化，持續(xù)提升學(xué)生運用知識解決問題的能力.第三，要把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，把握學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律，提出合適的數(shù)學(xué)問題.第四，啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在思考與交流中理解知識本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想，積累思維經(jīng)驗，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

[1]?中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版） [M].北京：人民教育出版社.

[2]?陳良驥.空間幾何體[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2019（1-2）：112.