數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主線文獻(xiàn)綜述及反思與展望

趙俁婕 陳碧芬

【摘?要】?在高中數(shù)學(xué)課標(biāo)修訂過程中，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主線逐漸引起了廣大教育研究者的關(guān)注.目前指向數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主線的相關(guān)研究成果主要集中于內(nèi)容主線的確定與發(fā)展.結(jié)合我國(guó)內(nèi)容主線研究的現(xiàn)狀，今后的研究要更加重視內(nèi)容主線的進(jìn)一步梳理和細(xì)化，進(jìn)一步關(guān)注內(nèi)容主線縱向發(fā)展的深度以及確定主線時(shí)要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展和生活經(jīng)驗(yàn).

【關(guān)鍵詞】?數(shù)學(xué)課程;內(nèi)容主線;核心概念;反思與展望

隨著全球范圍內(nèi)數(shù)學(xué)課程改革的推進(jìn)，一些學(xué)者認(rèn)為中小學(xué)數(shù)學(xué)課程要圍繞“Big ideas”來聯(lián)系和組織，如2010年尤西斯金（Usiskin）[1]提出了數(shù)學(xué)課程發(fā)展的九大主線.并且，教師也必須了解他們所教學(xué)科的結(jié)構(gòu)和主線，一方面有助于深刻理解教材，另一方面可以以此作為認(rèn)知路標(biāo)來指導(dǎo)學(xué)生的作業(yè)、評(píng)價(jià)學(xué)生的進(jìn)步[2].同時(shí)，主線成為了數(shù)學(xué)課程中內(nèi)容結(jié)構(gòu)的主要方式.美國(guó)全國(guó)州長(zhǎng)協(xié)會(huì)最佳實(shí)踐中心（National Governors Association Center for Best Practices， NGA Center）和各州教育長(zhǎng)官委員會(huì)頒布的《共同核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（The Common Core State Standards for Mathematics）[3]按照學(xué)科分支確定了9-12年級(jí)的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn).我國(guó)重新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》[4]（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》）采用了“主線—主題—核心內(nèi)容”的課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)，通過梳理出 “統(tǒng)整”不同數(shù)學(xué)內(nèi)容的主線，將數(shù)學(xué)知識(shí)編織在一起形成一個(gè)整體，以凸顯數(shù)學(xué)課程的整體性.史寧中[5]認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)邏輯體系之中，因此研究數(shù)學(xué)內(nèi)容主線是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)抓手.為了能夠?qū)?shù)學(xué)課程中內(nèi)容主線更加豐富化，很多研究者在不斷地進(jìn)行主線研究.本文將對(duì)這些研究進(jìn)行概括分析，以期為課標(biāo)的再一次修訂和教學(xué)提供參考.

1?數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主線研究概況

對(duì)中國(guó)知網(wǎng)上搜索到的與內(nèi)容主線相關(guān)（包括內(nèi)容主線、發(fā)展主線等）的論文進(jìn)行分析后發(fā)現(xiàn)，與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主線相關(guān)的研究主要涉及以下幾個(gè)方面：一是“內(nèi)容（發(fā)展）主線”概念的界定.如有5篇碩士論文[6][7][8][9][10]通過與學(xué)習(xí)進(jìn)階/學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行類比來界定“中小學(xué)課程內(nèi)容發(fā)展主線（發(fā)展主線）”.二是如何確定內(nèi)容主線.如吳春燕[11]通過闡述函數(shù)、運(yùn)算與數(shù)學(xué)課程中其他知識(shí)的聯(lián)系確定了函數(shù)主線和運(yùn)算主線.尤西斯金[1]在APEC數(shù)學(xué)教育大會(huì)上的報(bào)告中指出了中學(xué)數(shù)學(xué)課程發(fā)展的九條主線（如何確定主線的呢？）;趙炯美、鮑建生[12]通過梳理度量的核心概念與思想方法理出了度量這一課程主線;賈光輝[13]通過挖掘運(yùn)算內(nèi)容蘊(yùn)含的核心素養(yǎng)和育人價(jià)值確定運(yùn)算主線;三是如何發(fā)展內(nèi)容主線.如5篇碩士論文通過挖掘主線中蘊(yùn)含的核心內(nèi)容和思想方法，并從國(guó)際比較的視野出發(fā)確定了函數(shù)、幾何等內(nèi)容的發(fā)展主線;再如李錦濤[14]從概率課程的遞進(jìn)邏輯順序出發(fā)，探索概念內(nèi)容的發(fā)展主線.

縱觀上述文獻(xiàn)，對(duì)于內(nèi)容主線的研究并不是很多，并且研究的主線相對(duì)比較集中;確定主線的主要依據(jù)是數(shù)學(xué)內(nèi)容在課程中的重要地位、與其他數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系以及其思想方法和育人價(jià)值;發(fā)展主線的依據(jù)是這條主線所蘊(yùn)含的核心概念及其邏輯順序.

2?數(shù)學(xué)課程內(nèi)容發(fā)展主線具體分析

2.1?內(nèi)容發(fā)展主線的內(nèi)涵

“主線”一詞雖然還沒有一個(gè)統(tǒng)一的界定，但從已有研究看主要是與“學(xué)習(xí)進(jìn)階”進(jìn)行類比的基礎(chǔ)上來進(jìn)行界定的.但實(shí)際上，“學(xué)習(xí)進(jìn)階”一詞尚未有統(tǒng)一的定義，目前較為大家認(rèn)可的是美國(guó)國(guó)家研究理事會(huì)（National Research Council，簡(jiǎn)稱NRC）給出的定義，即在一個(gè)較大的時(shí)間跨度內(nèi)，學(xué)生對(duì)某一學(xué)習(xí)主題的思考和認(rèn)識(shí)不斷豐富和深入的一種過程，是基于大量實(shí)證研究的一種可檢驗(yàn)的假說[15].可見學(xué)習(xí)進(jìn)階強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生學(xué)習(xí)某一主題的縱向發(fā)展過程.

借鑒學(xué)習(xí)進(jìn)階的定義，冀偉民[6]、鄧少博[7]、鄭明月[8]、楊潔[9]、邵銘宇[10]五人將發(fā)展主線定義為：從小學(xué)到高中，某一數(shù)學(xué)課程主題的核心內(nèi)容以適合學(xué)生學(xué)習(xí)的方式是如何從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從低水平到高水平，不斷發(fā)展、深入的過程，并揭示蘊(yùn)含在這一主題內(nèi)不斷深刻的思想方法和數(shù)學(xué)能力.可見，發(fā)展主線仍與學(xué)習(xí)進(jìn)階不同，前者偏向于對(duì)某一主題知識(shí)內(nèi)容的縱向發(fā)展過程的刻畫，強(qiáng)調(diào)的是知識(shí)內(nèi)容在中學(xué)階段的縱向展開方式.

除此之外，王嶸、章建躍[16]在對(duì)五國(guó)教材進(jìn)行比較時(shí)發(fā)現(xiàn)，各國(guó)都在圍繞著核心概念建立教材的結(jié)構(gòu)體系，建構(gòu)以核心概念為中心的概念圖，包括縱向發(fā)展主線和橫向聯(lián)系節(jié)點(diǎn)，以形成一個(gè)主線明確、聯(lián)系暢通的網(wǎng)絡(luò)體系.

可見，對(duì)內(nèi)容主線的關(guān)注主要是知識(shí)內(nèi)容的縱向發(fā)展，目的是為了呈現(xiàn)出每個(gè)學(xué)段學(xué)生能夠接受的內(nèi)容并且整理出這一內(nèi)容所蘊(yùn)含的思想方法， 但同時(shí)也有人已經(jīng)關(guān)注到了主線的網(wǎng)絡(luò)式發(fā)展.

2.2?內(nèi)容發(fā)展主線的確定

內(nèi)容主線是由一些知識(shí)內(nèi)容組合而成的，那么如何確定核心內(nèi)容（概念）、哪些內(nèi)容可以以什么樣的方式連成主線呢？

2.2.1?確定核心概念的原則

由上述可知，內(nèi)容主線蘊(yùn)含數(shù)學(xué)中的核心概念，我國(guó)學(xué)者對(duì)此給出了確定核心概念的一些原則.如章建躍[17]認(rèn)為：梳理數(shù)學(xué)核心概念時(shí)，需要考慮這幾個(gè)問題：首先對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本身而言，是否具有重要性，是否處于主干地位;其次對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)而言，是否具有重要的，不可或缺的基礎(chǔ)地位;最后在數(shù)學(xué)上是否具有邏輯的連貫性和一致性，在思維上是否與人的思維發(fā)展水平相協(xié)調(diào)，這樣分析出的概念和構(gòu)建的體系才能形成中學(xué)數(shù)學(xué)課程的主干.

所以，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主線的核心概念必須在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中處于中心地位，其他的數(shù)學(xué)內(nèi)容可以圍繞它進(jìn)行展開，同時(shí)有利于學(xué)生發(fā)展適應(yīng)社會(huì)生活所必不可少的數(shù)學(xué)能力.

2.2.2?主線的發(fā)展途徑

①縱向發(fā)展

數(shù)學(xué)是站在“巨人的肩膀”上發(fā)展起來的，其特點(diǎn)是不斷完善和深化概念.根據(jù)這一特點(diǎn)，內(nèi)容主線可以通過縱向發(fā)展.如尤西斯金的中學(xué)數(shù)學(xué)課程發(fā)展的九條主線是按照上、下位概念逐步展開，從縱向展示學(xué)生從小學(xué)到高中學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容順序.如冀偉民[6]研究函數(shù)的發(fā)展主線時(shí)其主要思路如下：首先，確定中小學(xué)課程中函數(shù)知識(shí)的主要內(nèi)容;其次，研究學(xué)生可以以什么樣的順序?qū)W習(xí)這些內(nèi)容，從而來確定函數(shù)在基礎(chǔ)教育階段的呈現(xiàn)方式.

②網(wǎng)絡(luò)發(fā)展

由于數(shù)學(xué)具有整體性和系統(tǒng)性特點(diǎn)，并且核心概念是數(shù)學(xué)概念體系的中心點(diǎn)，自我生長(zhǎng)能力強(qiáng)，可以生成一個(gè)“概念群”.因此，有學(xué)者認(rèn)為在研究數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主線時(shí)，可以將核心概念作為數(shù)學(xué)學(xué)科的主干知識(shí)，根據(jù)其內(nèi)容的豐富性、聯(lián)系的廣泛性、表現(xiàn)方式的多樣性和育人功能的全面性等特點(diǎn)，網(wǎng)絡(luò)式發(fā)展相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容.如章建躍[17]認(rèn)為核心概念的組織和呈現(xiàn)，既要考慮此概念的發(fā)生和形成，還要從整體入手，做到以此概念為中心，形成概念網(wǎng)絡(luò)的體系和節(jié)點(diǎn).

3?反思與展望

通過以上對(duì)已有文獻(xiàn)的分析后發(fā)現(xiàn)，內(nèi)容（發(fā)展）主線研究已經(jīng)得到了大家的關(guān)注，但是核心內(nèi)容的展開方式比較單一，內(nèi)容主線有待細(xì)化.因此，我們認(rèn)為還可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)一步研究：

3.1?關(guān)注網(wǎng)絡(luò)式的內(nèi)容主線

在所查到的文獻(xiàn)中，大多數(shù)研究只關(guān)注了核心內(nèi)容的縱向或橫向一個(gè)維度.如在5篇碩士論文中，他們對(duì)于核心內(nèi)容的展開方式只考慮了這個(gè)核心內(nèi)容的縱向發(fā)展主線，容易使人忽視數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)連貫的、統(tǒng)一的整體，知識(shí)與知識(shí)之間有很多聯(lián)系.比如，在研究向量?jī)?nèi)容的發(fā)展主線時(shí)，沒有對(duì)向量與函數(shù)、解析幾何、三角等其他屬性內(nèi)容的聯(lián)系;而吳春燕在梳理主線時(shí)主要考慮了函數(shù)與其它數(shù)學(xué)知識(shí)的橫向聯(lián)系，忽略了函數(shù)的縱向發(fā)展脈絡(luò).我們認(rèn)為，合理的發(fā)展主線應(yīng)該既考慮核心內(nèi)容縱向的聯(lián)系，又考慮橫向聯(lián)系，建立網(wǎng)狀的知識(shí)結(jié)構(gòu).如王嶸、章建躍[16]

在比較五國(guó)教材中函數(shù)概念的發(fā)展主線時(shí)發(fā)現(xiàn)各國(guó)都注重函數(shù)內(nèi)容的聯(lián)系性，并且聯(lián)系的方式表現(xiàn)出多樣性.

章建躍[18]在分析美國(guó)高中數(shù)學(xué)的“核心概念圖”所用的方法對(duì)于我們進(jìn)一步梳理主線有著借鑒作用.首先，選取各領(lǐng)域中的基本知識(shí)作為繪制概念圖的節(jié)點(diǎn);其次，根據(jù)知識(shí)的概括性和包容性確定知識(shí)的等級(jí)，按照從上位到下位逐漸分化的原則對(duì)知識(shí)進(jìn)行分層;最后，用線條將相關(guān)概念連接起來，這種連接可以是同一領(lǐng)域內(nèi)的連接，也可以是建立在不同領(lǐng)域的交叉連接.這樣的概念圖是一個(gè)主線明確、聯(lián)系通道順暢的網(wǎng)狀體系，不同領(lǐng)域的概念圖通過一些聯(lián)系點(diǎn)也能表明相互之間的聯(lián)系.這樣構(gòu)建起來的課程結(jié)構(gòu)體系能讓學(xué)生了解知識(shí)的發(fā)展脈絡(luò)，體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.2?進(jìn)一步細(xì)化內(nèi)容主線

目前，《標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》所確定的四條主線有點(diǎn)寬泛，需要進(jìn)一步細(xì)化這些主線.數(shù)學(xué)核心概念之所以具有強(qiáng)大的生命力和深刻思想性，原因就在于它是一個(gè)擁有“核”的“概念群”，是由核心概念及其生長(zhǎng)出的子概念組成的知識(shí)體系.因此，可以從核心概念的子概念著手，去探索四大核心概念下的子概念是否也有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，將粗的主線細(xì)化成若干個(gè)小主線.我們還可以站在國(guó)際數(shù)學(xué)課程發(fā)展的視角，借鑒國(guó)外課程中的主線去挖掘我國(guó)數(shù)學(xué)課程發(fā)展主線.如趙炯美、鮑建生[12]通過與美國(guó)、英國(guó)、韓國(guó)等課程內(nèi)容的比較分析，理出蘊(yùn)涵在“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”中的“度量”這一內(nèi)容主線.

3.3?確定主線縱向發(fā)展的深度

大部分文獻(xiàn)在研究主線時(shí)，關(guān)注的是在這條主線上，數(shù)學(xué)課程應(yīng)該設(shè)置什么內(nèi)容，即應(yīng)該學(xué)習(xí)哪些核心概念，對(duì)于學(xué)生掌握核心概念到什么樣的程度關(guān)注的并不多.關(guān)注主線縱向發(fā)展的深度，一方面可以結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展過程，為學(xué)生學(xué)習(xí)過程提供恰當(dāng)?shù)哪_手架;另一方面，可以讓教師準(zhǔn)確把握教學(xué)知識(shí)，在教學(xué)過程中做到有詳有略.所以，今后可以進(jìn)一步關(guān)注主線縱向發(fā)展的深度，如可以借鑒學(xué)習(xí)進(jìn)階的研究.學(xué)習(xí)進(jìn)階中有兩個(gè)要素為成就水平和預(yù)期表現(xiàn).其中，成就水平指的是學(xué)習(xí)進(jìn)階發(fā)展路徑中的多個(gè)中間層級(jí)，反映了學(xué)生不同階段的能力發(fā)展;預(yù)期表現(xiàn)指的是每個(gè)發(fā)展階段學(xué)生所應(yīng)達(dá)到的發(fā)展層級(jí)的操作性定義，之后通過試卷或者其他的評(píng)價(jià)工具可以測(cè)評(píng)學(xué)生的現(xiàn)有知識(shí)儲(chǔ)備、目前所處的學(xué)習(xí)階段、可能存在的學(xué)習(xí)障礙，有助于教師優(yōu)化和改進(jìn)教學(xué)過程.因此，從成就水平和預(yù)期表現(xiàn)等方面進(jìn)一步關(guān)注內(nèi)容主線發(fā)展的深度.

3.4?關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展和生活經(jīng)驗(yàn)

由以上分析發(fā)現(xiàn)，在確定內(nèi)容主線時(shí)主要依據(jù)知識(shí)的邏輯發(fā)展，在一定程度上忽略了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展和學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn).然而，學(xué)習(xí)進(jìn)程或?qū)W習(xí)軌跡關(guān)注的是學(xué)生在學(xué)習(xí)某一主題時(shí)，從尚未接受教學(xué)到開始學(xué)習(xí)，最后至完成此學(xué)習(xí)階段，學(xué)習(xí)者對(duì)于該主題概念的想法與理解程度逐漸精致化并趨于成熟的發(fā)展變化[18].因此，以后在構(gòu)建內(nèi)容主線時(shí)，需要重視學(xué)生對(duì)某一核心知識(shí)的認(rèn)知發(fā)展，在大量教學(xué)實(shí)踐中不斷地修正主線;同時(shí)，在今后的研究中要關(guān)注學(xué)生的哪些生活經(jīng)驗(yàn)有助于構(gòu)建學(xué)生對(duì)核心概念的深入理解[19].

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主線已經(jīng)受到教育理論者和實(shí)踐者的關(guān)注，但相對(duì)而言還是一個(gè)新的研究領(lǐng)域，需要在不斷研究和實(shí)踐中完善其體系結(jié)構(gòu)，還有待進(jìn)一步實(shí)踐探索.

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