數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透研究

柯明欣

[摘 要] 新課程標(biāo)準(zhǔn)推出以來，很多高中數(shù)學(xué)教師開始對教學(xué)模式創(chuàng)新變革進(jìn)行反思. 其中，數(shù)形結(jié)合思想作為一種數(shù)學(xué)教學(xué)的基本思路，可實現(xiàn)抽象概念圖形化和幾何圖形公式化的目標(biāo)，能夠幫助學(xué)生更好地掌握知識點. 為此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，教師可巧妙融入數(shù)形結(jié)合思想，通過數(shù)字和圖形的靈活轉(zhuǎn)化，增強(qiáng)學(xué)生的直觀感受. 研究首先對數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行簡要概述，然后分析當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的運用現(xiàn)狀，最后提出數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中的應(yīng)用策略.通過研究，以期為高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式創(chuàng)新帶來啟發(fā).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；滲透

前言

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)理和圖形是非常重要的兩個板塊. 數(shù)理和圖形既相互獨立，又聯(lián)系密切，有著內(nèi)在的邏輯關(guān)系. 正因為如此，數(shù)形結(jié)合思想才有了豐富的內(nèi)涵. 然而，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，目前很多高中數(shù)學(xué)教師在授課時運用數(shù)形結(jié)合思想的意識十分淡薄，教學(xué)模式過于單一，導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣不濃. 按照新課程指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該積極創(chuàng)新教學(xué)模式，在教學(xué)實踐中積極融入數(shù)形結(jié)合思想，化難為簡，輔助學(xué)生更好地理解基本知識點，并有效掌握解題技巧，進(jìn)而提高教學(xué)質(zhì)量.

數(shù)形結(jié)合教學(xué)是指在講授某一個公式概念或圖形轉(zhuǎn)換時，可將抽象的數(shù)理轉(zhuǎn)化為具體圖形，也可將具體的圖形轉(zhuǎn)化為相關(guān)概念，有效結(jié)合抽象和形象的思維模式，以使教學(xué)知識點簡單化，利于學(xué)生更好地理解和記憶. 而要有效應(yīng)用數(shù)形結(jié)合教學(xué)思想，務(wù)必要遵循雙向性、互動性等原則. 其中，雙向性原則表示在直觀分析幾何圖形之前，先考慮其代數(shù)的抽象性. 代數(shù)語言自身較強(qiáng)的邏輯性和精準(zhǔn)性可彌補直觀分析的缺陷，進(jìn)而將數(shù)形結(jié)合的功效有效彰顯出來. 而互動性原則要求增強(qiáng)教學(xué)過程中師生的交流互動，教師應(yīng)有效進(jìn)行情景教學(xué)，通過創(chuàng)設(shè)情景引導(dǎo)學(xué)生更好地理解知識點，并快速掌握知識點，最終增強(qiáng)教學(xué)實效.

高中數(shù)學(xué)教師運用數(shù)形結(jié)合思想的現(xiàn)狀及存在問題

目前，部分高中數(shù)學(xué)教師存在著形式主義的問題，在運用數(shù)形結(jié)合思想時尚未達(dá)到應(yīng)有的水平. 雖然許多教師對數(shù)形結(jié)合教學(xué)思想有所提及，但缺乏一套有目的、有計劃、有步驟的實踐滲透模式，因此未能真正在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮好數(shù)形結(jié)合教學(xué)思想的積極作用. 概括而言，高中數(shù)學(xué)教師在運用數(shù)形結(jié)合思想時普遍存在以下問題：

（一）數(shù)形結(jié)合教學(xué)意識不強(qiáng)

在教學(xué)實踐中，多數(shù)教師只是對數(shù)形互補或互譯進(jìn)行盲目講授，但對數(shù)形結(jié)合真正的含義理解不夠，更不能對此教學(xué)思想進(jìn)行靈活應(yīng)用. 很多教師的教學(xué)模式基本是照本宣科，單純對教材中的公式定理進(jìn)行講解，未有效拓展、補充和引申教學(xué)內(nèi)容. 在講解數(shù)形結(jié)合思想時，也存在模糊不清、指代不明等問題，給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了不小的困難.

（二）教師制圖能力有限

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，不少教師在進(jìn)行圖形制作過程中缺乏準(zhǔn)確性、規(guī)范性，致使圖形制作不能很好地表述知識點，數(shù)形結(jié)合教學(xué)思想就失去了原本的意義. 此外，教師也缺乏對學(xué)生幾何語言的訓(xùn)練，因而大多數(shù)的學(xué)生在學(xué)習(xí)某一知識點或主題時，對幾何語言的理解不透，觀看圖形時想象力也十分有限，因此在很大程度上阻礙著數(shù)形結(jié)合思想的運用.

（三）師生構(gòu)圖技巧缺乏

由于學(xué)生的圖形制作訓(xùn)練少之又少，因而在處理相關(guān)數(shù)學(xué)問題時，多數(shù)學(xué)生在幾何構(gòu)圖板塊有心無力，抑或是掌握的圖形制作技巧不足，不能快速、高效地處理好學(xué)習(xí)問題.由上可知，當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中普遍提及數(shù)形結(jié)合思想，如何將這些教學(xué)思想有計劃、有實效地滲透到教學(xué)實踐中還待探討.

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用途徑

（一）培養(yǎng)師生數(shù)形結(jié)合意識

培養(yǎng)師生數(shù)形結(jié)合意識，是高效運用數(shù)形結(jié)合思想的前提條件之一. 教師作為授課的主體，其自身的教學(xué)思想和素質(zhì)將直接影響到教學(xué)的質(zhì)量. 為此，要真正發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的作用，首先需要保證教師自身的教學(xué)素質(zhì)，并提升學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的運用能力. 具體來說，就是教師應(yīng)該擯棄傳統(tǒng)照本宣讀的教學(xué)模式，根據(jù)學(xué)生身心發(fā)展的規(guī)律展開教學(xué)，采取多樣化教學(xué)手段，將學(xué)生學(xué)習(xí)的潛能最大限度激發(fā)出來. 在教學(xué)實踐中，教師應(yīng)該抓住時機(jī)巧妙融入數(shù)形結(jié)合教育思想，從感受、解釋、應(yīng)用和內(nèi)化四方面層層遞進(jìn)，讓學(xué)生在潛移默化中得到積極影響.

在此基礎(chǔ)上，教師還需要輔助學(xué)生理解知識點的深層次內(nèi)涵. 學(xué)生通過運用數(shù)形結(jié)合思想，可以形成一種清晰、明確的數(shù)形結(jié)合思維規(guī)律，并掌握其中的思想含義和應(yīng)用技巧. 接下來，就能夠引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)形結(jié)合思想有效運用到解題過程中. 此外，還要求學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想和方法有一個系統(tǒng)全面的認(rèn)識，并將其轉(zhuǎn)變?yōu)樽陨淼囊环N固有的解題思維和模式，并在學(xué)習(xí)過程中靈活調(diào)用. 這是提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維意識的系統(tǒng)過程，期間需要教師將此思想層層貫徹，讓學(xué)生在潛移默化中獲得進(jìn)步.

此外，為培養(yǎng)師生數(shù)形結(jié)合意識，還需要遵循三大原則，具體為：

（1）等價性原則. 教師在指導(dǎo)學(xué)生解題時，應(yīng)該提醒學(xué)生考慮好選擇代數(shù)解題還是圖形解題更為簡易便捷，隨后再進(jìn)一步展開工作. 在進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)換時，保證轉(zhuǎn)換指標(biāo)間的等價性. 例如，在平面直角坐標(biāo)系中將函數(shù)的位置標(biāo)出來，則可找到每個函數(shù)值唯一相應(yīng)的點，這就需要保持函數(shù)和圖像的一致性.數(shù)量關(guān)系可通過圖形來確定，要將數(shù)量中的那個特殊點找出來，以此作為問題解答的切入點，可提高解題的速度和效率.

（2）雙向性原則. 教師在進(jìn)行某一知識點講解時，可以將代數(shù)解題和構(gòu)圖解題等方法呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生了解到數(shù)形結(jié)合學(xué)習(xí)的功效. 代數(shù)的特點是比較抽象，而幾何圖形的特點是相對直觀，教師應(yīng)向?qū)W生講解二者結(jié)合解題的優(yōu)勢和技巧. 例如，對于一些相對簡單的數(shù)學(xué)題，就可采取代數(shù)解題方式，不必勾勒出復(fù)雜的圖形. 而對一些難度較大的數(shù)學(xué)題，為了便于學(xué)生理解，則可勾畫出相關(guān)圖形輔助學(xué)生理解.

（3）互動性原則. 從某種程度上說，在教學(xué)實踐中融入數(shù)形結(jié)合思想就是增強(qiáng)師生互動的一個過程. 學(xué)生通過與教師的交流互動，進(jìn)而實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在自身思維模式中的轉(zhuǎn)化. 新課程標(biāo)準(zhǔn)要求，當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該增強(qiáng)學(xué)生的自學(xué)能力，學(xué)生在解題過程中既可靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法，又可找到自我發(fā)展的突破點. 由此可知，要促使數(shù)形結(jié)合思想有效地滲透到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，務(wù)必要先增強(qiáng)師生對其的意識和認(rèn)識.

（二）靈活轉(zhuǎn)換數(shù)理和圖形

為更好地運用數(shù)形結(jié)合思想，首先可化數(shù)為圖，實現(xiàn)抽象數(shù)據(jù)的具體化. 圖形較之?dāng)?shù)學(xué)語言具備更強(qiáng)的直觀性. 因此在教學(xué)實踐中，對于一些抽象的、難以求解的代數(shù)問題可以選擇數(shù)形轉(zhuǎn)換的方法來解答. 通過這種方式，有利于引導(dǎo)學(xué)生形成靈活的解題思維，并提高其解題質(zhì)量和解題技巧. 例如，教師在教學(xué)“集合”板塊內(nèi)容時，由于初次向?qū)W生呈現(xiàn)這一概念，因而學(xué)生難以理解集合間的關(guān)系. 對此，教師就可通過構(gòu)圖方式輔助學(xué)生理解. 換而言之，教師可通過維恩圖去表示集合，用平面內(nèi)一條封閉曲線的內(nèi)部表示一個集合，要求學(xué)生找出兩條封閉曲線的位置關(guān)系有幾種，并將其畫出來. 此時，學(xué)生一般會畫出以下不同的四種位置關(guān)系. 見圖1.

隨后，引導(dǎo)學(xué)生找出這四種關(guān)系的相同點和不同點，并通過集合語言進(jìn)行表述，因此可得除了（1），其余的A，B都有公共部分. 其中，（2）中的A，B有共同元素，但一部分元素并不所屬另一集合中. （3）中的集合B完全包含了集合A，集合A中的所有元素均屬集合B. （4）中的A，B集合重合. 為此，教師就可對問題進(jìn)行總結(jié)，即集合A為集合B的子集.通過構(gòu)造維恩（Venn）圖，學(xué)生可以對“子集”這一抽象概念有更直觀、形象的認(rèn)識，并很快理解和掌握知識點，這就是數(shù)形結(jié)合思想的價值所在. 再如，教師要解答例題“已知方程x2-1=k+1，當(dāng)k取值不同時，可得出幾個方程的解”時，可對學(xué)生如此引導(dǎo)：先分解方程式為兩個函數(shù)，即是y1=x2-1和y2=k+1，畫出函數(shù)圖像（見圖2），隨后將方程式解答出來.

觀察圖像，可發(fā)現(xiàn)如下問題：①當(dāng)k<-1時，兩個函數(shù)無交集，此時可知原方程無解；②當(dāng)k=-1時，函數(shù)有2個交點，由此可知原方程的解有2個；③當(dāng)-10時，則可見2個交點，由此可證原方程的解有2個. 上述可知，通過觀察直觀的圖形，不僅可以更便捷地找出函數(shù)的交點個數(shù)及方程的解，還保證學(xué)生觀察能力和邏輯思維能力得到有效鍛煉.

其次，可化圖為數(shù)，實現(xiàn)具體圖形的公式化. 盡管圖形解題比較直觀、形象，但其精準(zhǔn)性并不高，且缺乏邏輯性，因此在某些題目中單純依靠觀察圖形難以找出答案. 對此，教師便可巧妙應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，將相關(guān)的圖形公式化，讓學(xué)生找準(zhǔn)解題的切入點.例如，教師在講解例題“當(dāng) f（x）=x2-2ax+2時，若x不小于-1，則可得f（x）>a恒成立，那么a取值范圍是什么”時，可以題目中給出的已知條件為根據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生展開思考：由“若x不小于-1，則可得f（x）>a恒成立”可知，在“[-1，+∞）的范圍內(nèi)，x2-2ax+2>a恒成立，此時的函數(shù)g（x）=x2-2ax+2-a處在x軸上方（見圖3）. 而不等式的成立應(yīng)該保證以下條件得到滿足：①Δ=4a2-4（2-a）≥0，g（-1）>0，a<-1，則可求得a值處在（-3，-2）之間；②Δ<0時，則可求得a值處在（-2，1）之間.

由上述可知，面對一些要求具體值的數(shù)學(xué)問題時，單憑圖形觀察難以準(zhǔn)確找到答案，但如若將圖形化作代數(shù)語言，則可增強(qiáng)題目的邏輯性和關(guān)聯(lián)性，從而準(zhǔn)確、全面地探索出問題答案.

（三）開展公式圖形相輔教學(xué)

研究發(fā)現(xiàn)，盡管代數(shù)解題和圖形解題均具有自身的優(yōu)勢，但兩者還是存在一定的缺陷，唯有將兩者密切聯(lián)系起來，進(jìn)行數(shù)理和圖形的靈活轉(zhuǎn)換，才能實現(xiàn)公式圖形輔助教學(xué)的目標(biāo). 因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)該有效結(jié)合這兩種解題思維的優(yōu)勢，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確、快速地求得問題答案. 例如，教師在講解“靜態(tài)函數(shù)問題”時，可以圖像及坐標(biāo)系的形式為根據(jù)，以使問題表述更加直觀、動態(tài)，便于學(xué)生理解. 由于函數(shù)解析式計算相對精準(zhǔn)，因而可使圖像精準(zhǔn)度低這一缺陷得到彌補；而圖形自身的特點為直觀形象，則可彌補數(shù)理過于抽象、虛幻的問題，通過數(shù)理和圖形的有效結(jié)合，可促使數(shù)學(xué)問題得到有效解決.在教學(xué)實踐過程中，數(shù)形結(jié)合思想一般適用于以下知識板塊，包括一次函數(shù)、二次函數(shù)和三角函數(shù)等，對于一些代數(shù)的變化，可通過直線、曲線等表達(dá)出來，以輔助學(xué)生理解題意. 例如，教師在講解例題“在圓（x-2）2+y2=3上存在任意的一點N（x，y），分別找出x-y的最大值和最小值”時，可對學(xué)生進(jìn)行如下引導(dǎo)：首先，設(shè)x-y=b，轉(zhuǎn)換到直線方程為y=x-b，此時直線與圓相切，則可求得直線y=x-b于y軸上的截距為-b（見圖4），那么可求得x-y的最小值和最大值分別為-b1，b2.

通過上述例題可知，在高中數(shù)學(xué)解題過程中有效融入數(shù)形結(jié)合思想意義重大，一方面可促使復(fù)雜問題簡單化，另一方面又可活躍學(xué)生解題思維模式，增強(qiáng)學(xué)生的審題能力和解題技巧. 由此可見，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效滲透數(shù)形結(jié)合思想有一定的積極意義，然而，要最大限度發(fā)揮其功能，還需要學(xué)生進(jìn)行大量鞏固練習(xí)來提供保障. 高中數(shù)學(xué)難度較大，單憑熟記公式定理和解題技巧難以實現(xiàn)質(zhì)的提升，還需要學(xué)生懂得學(xué)以致用，能夠從自身的知識體系中靈活調(diào)取相關(guān)知識點或關(guān)聯(lián)因素. 因此，學(xué)生自身也應(yīng)做到自主、自覺學(xué)習(xí)，多接觸不同題型，學(xué)會總結(jié)知識點，總結(jié)解題技巧，這樣才能靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題.

結(jié)束語

按照新課程的標(biāo)準(zhǔn)，高中數(shù)學(xué)教師必須要創(chuàng)新教學(xué)模式，促進(jìn)代數(shù)解題和圖形解題的有效結(jié)合，將數(shù)形結(jié)合思想貫徹到數(shù)學(xué)教學(xué)的始終. 在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中有效融入數(shù)形結(jié)合思想，既可將復(fù)雜問題簡單化，輔助學(xué)生更快速、更準(zhǔn)確地做出解答，還可使學(xué)生的思維模式在潛移默化中得到拓展，能夠從整體上提升他們的理解和應(yīng)用能力.