概念教學(xué)需篤思，勿以其小而疏之

夏青青

【摘要】概念是思維的基本單位，由此可見數(shù)學(xué)概念的重要地位.但由于數(shù)學(xué)概念自身的特點(diǎn)，在教學(xué)實(shí)踐中，還是會(huì)不同程度地存在直接給出或過快帶過數(shù)學(xué)概念，導(dǎo)致學(xué)生沒有真正掌握概念的內(nèi)涵;或者以解題教學(xué)代替概念教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生耗費(fèi)了大量時(shí)間精力學(xué)習(xí)，卻對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容，方法和意義知之甚少.不但增大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度，甚至還會(huì)讓孩子對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生偏見，滋生畏難和討厭心理，淪為無效甚至是負(fù)效教學(xué).針對(duì)這一現(xiàn)象，這幾年的教研也一直在強(qiáng)調(diào)概念教學(xué)的重要性，筆者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)例淺談幾點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的想法.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念;教學(xué)設(shè)計(jì);引導(dǎo)自然生成

教師自身要先能夠正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的作用，才能重視概念教學(xué);要先能夠認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)，才能結(jié)合學(xué)生的思維水平設(shè)計(jì)概念教學(xué).

一、教師首先要能正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，作用及特點(diǎn)

數(shù)學(xué)概念，就是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性，是人們通過實(shí)踐，從數(shù)學(xué)所研究的對(duì)象的許多屬性中，總結(jié)出其本質(zhì)屬性概括而形成的.它是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷的依據(jù)，是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn).學(xué)生在解決數(shù)學(xué)某一問題遇到困難時(shí)，如果追根求源，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，往往是由于他們?cè)谀骋粋€(gè)或某一些概念處產(chǎn)生問題，而導(dǎo)致思維受阻.可見，數(shù)學(xué)概念是學(xué)生必須掌握的重要基礎(chǔ)知識(shí)之一，是數(shù)學(xué)基本技能的形成與提高的必要條件，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容.

由于數(shù)學(xué)概念具有抽象性、發(fā)展性、生成性等特點(diǎn)，而初中學(xué)生受認(rèn)知思維水平的限制，決定了他們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中，會(huì)對(duì)一些抽象的、不常接觸的概念不容易理解，需要教師進(jìn)行合理的教學(xué)設(shè)計(jì)，使學(xué)生能夠參與概念的發(fā)生與形成過程中，了解概念的來龍去脈，理解概念的內(nèi)涵與外延，弄清概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，在頭腦中形成相關(guān)概念的網(wǎng)絡(luò)，以達(dá)到掌握并靈活運(yùn)用的程度.因此，如何設(shè)計(jì)概念教學(xué)才能達(dá)到上述目的非常關(guān)鍵，下面結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)例談一些感悟.

二、結(jié)合平時(shí)的教學(xué)實(shí)例具體解析如何設(shè)計(jì)概念課教學(xué)

（一）重視學(xué)習(xí)新概念的必要性需求，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性

在概念課的引入上，要樹立起讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)的觀念，如果能讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，對(duì)學(xué)習(xí)新概念的必要性產(chǎn)生需求，并主動(dòng)發(fā)現(xiàn)新概念是最佳途徑.這樣學(xué)生在運(yùn)用概念時(shí)不但“知其然”也“知其所以然”，同時(shí)還能培養(yǎng)他們的探究精神，激發(fā)學(xué)生的潛能.

比如，學(xué)習(xí)內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角的概念.

舊知：如圖所示的兩線四角∠1，∠2，∠3，∠4，任意兩角的關(guān)系;對(duì)頂角：∠1與∠3，∠2與∠4;鄰補(bǔ)角：∠1與∠4，∠1與∠2，∠4與∠3，∠3與∠2.

新知：如圖所示的三線八角，任意兩角的關(guān)系.

探究需求：對(duì)這八個(gè)角的任意兩個(gè)角，對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角顯然不夠用，還產(chǎn)生了新的位置關(guān)系的角組，這時(shí)就需要對(duì)其進(jìn)行探究命名.

有前面兩線四角的探究經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生已經(jīng)有能力自己去發(fā)現(xiàn)新的位置關(guān)系的角，教師只需激發(fā)學(xué)生的探究需求，并引導(dǎo)學(xué)生從位置關(guān)系去發(fā)現(xiàn)新的角組并嘗試對(duì)其進(jìn)行命名.一定要給出必要的時(shí)間讓學(xué)生去探尋，并讓學(xué)生說出命名的緣由.以同位角為例，就有學(xué)生把它命為同側(cè)角，理由是它們都處在兩條被截線的同側(cè)，在截線的同側(cè)，這其實(shí)就是掌握了同位角的內(nèi)涵，要注意給予學(xué)生充分肯定后，再冠以教科書的同位角名字.這樣學(xué)生知其所以然后，必然牢牢地掌握了這個(gè)新概念.最終學(xué)生探究出來的不止這三類角（比如，∠4和∠7就有學(xué)生發(fā)現(xiàn)并命名為外側(cè)角），很好地鍛煉了學(xué)生的思維廣度.雖然學(xué)生對(duì)新角組的命名不一定會(huì)剛好和教科書的一樣，但這并不重要，關(guān)鍵是學(xué)生經(jīng)歷了主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、分類探究、自主命名等一系列因需產(chǎn)生的自然探究過程，既真正掌握了概念的內(nèi)涵，又鍛煉發(fā)展了數(shù)學(xué)能力.

不單三線八角，還有圓心角、圓周角、相交、相切、相離、割線、切線等概念也可以按此思路來設(shè)計(jì)教學(xué).

（二）注意挖掘概念本身背后的數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，滲透數(shù)學(xué)育人價(jià)值

初中有些概念會(huì)比較抽象生澀，而且也較難引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)或?qū)ζ涿?，這時(shí)如何醞釀氛圍激發(fā)學(xué)生對(duì)新概念的學(xué)習(xí)興趣就顯得非常重要.初中的學(xué)生還是很喜歡聽故事的，而一些數(shù)學(xué)故事不單趣味性強(qiáng)，里面也滲透著很多數(shù)學(xué)文化，也應(yīng)該讓學(xué)生多了解.比如，無理數(shù)的概念教學(xué).

舊的教法：在學(xué)習(xí)平方根，立方根后，就涌現(xiàn)了很多帶根號(hào)又開不盡的數(shù)，這些都是無限不循環(huán)小數(shù)，我們稱之為無理數(shù)，從而給出無理數(shù)的概念.

問題：這樣給出概念，感覺也不會(huì)突兀，但是通過作業(yè)反饋發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生沒掌握好.甚至到了初三總復(fù)習(xí)后還是會(huì)有一部分學(xué)生對(duì)這個(gè)概念一直迷糊，比如，常把227歸為無理數(shù).

糾因：按理“無限不循環(huán)小數(shù)”對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平來說，文字的理解難度并不大.學(xué)生如果掌握概念內(nèi)涵，就算忘了整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，也能懂得通過動(dòng)手計(jì)算227來判斷它是否為無限不循環(huán)小數(shù).因此，無理數(shù)的概念在學(xué)時(shí)能理解，但就是較難記住，沒有掌握牢.

新的教法：在舊的教法給出無理數(shù)概念后，增加無理數(shù)的歷史由來：公元前500年，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子希伯修斯發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對(duì)角線與其一邊的長度是不可公度的，這與畢氏學(xué)派“萬物皆為數(shù)”（只有理數(shù)）的哲理大相徑庭.這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐、惱怒，認(rèn)為這將動(dòng)搖他們?cè)趯W(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位.希伯修斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的懲處.人們?yōu)榱思o(jì)念希伯修斯就把不可通約的量取名為“無理數(shù)”.加入故事元素后，學(xué)生對(duì)無理數(shù)自然會(huì)感興趣，而且印象更深.這時(shí)在尊重歷史的前提下再做個(gè)通俗的遷移，從歷史來看，畢氏學(xué)派抹殺真理才是“無理”.從字面上看，都無限了還不循環(huán)真的很苛刻很無理，這樣學(xué)生對(duì)無理數(shù)的概念就記憶猶新.不單掌握了概念，也能從故事中感受到很多育人的價(jià)值點(diǎn).

（三）注重在充足的感性材料里認(rèn)識(shí)新概念，在充分地動(dòng)口動(dòng)手等具體實(shí)踐中感悟內(nèi)化新概念

數(shù)學(xué)概念有具體性和抽象性雙重特性.在教學(xué)中就可以從它具體性的一面入手，使學(xué)生形成抽象的數(shù)學(xué)概念.注意給學(xué)生足夠多的感性認(rèn)識(shí)材料.比如，全等形、相似三角形的概念，要給足夠多的圖形材料，引導(dǎo)學(xué)生去觀察歸類、發(fā)現(xiàn)，并說出其共同點(diǎn)，最后抽象出其本質(zhì)特征.

要想方設(shè)法創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生親身感悟新概念，才能最大限度地掌握內(nèi)化概念內(nèi)涵.比如，在學(xué)了一元二次方程的概念后，不應(yīng)只是停留在教師給的例子辨析上，而是要讓學(xué)生自己舉例來內(nèi)化，在舉例的過程中，一個(gè)班五十個(gè)學(xué)生舉出的例子就有五十個(gè)，比教師給出的多多了，而且可以就學(xué)生給出的再進(jìn)行辨析，還可以充分暴露學(xué)生掌握的不足，最終深化對(duì)概念的真正掌握.再比如，對(duì)比較抽象的絕對(duì)值的概念：一般地，數(shù)軸上表示A的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫作數(shù)A的絕對(duì)值，記做|a|.對(duì)初一的學(xué)生而言，對(duì)這句話的理解是有難度的，如何從表面理解突破到掌握本質(zhì)，就是通過一直舉具體的例子讓學(xué)生說出其意義，比如，|7|，|-4|，|0|，…代表什么，讓學(xué)生在具體數(shù)中充分操練，才能真正掌握概念內(nèi)涵.再比如，圓的內(nèi)接四邊形，給出概念后就可以讓學(xué)生去畫，這樣不但內(nèi)化了概念，還可以認(rèn)識(shí)到對(duì)給定的圓，存在無數(shù)多個(gè)內(nèi)接四邊形;但是對(duì)給定的四邊形要么只存在一個(gè)外接圓，要么就不存在.很多數(shù)學(xué)概念若能在動(dòng)手實(shí)踐中感悟，那么掌握內(nèi)化就在自然無形中，而這種效果才是最牢固的.

（四）抓住一些概念間形異實(shí)同，一脈相承的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的類比遷移、整體架構(gòu)能力

1.牢牢立足小學(xué)的“舊概念”，輕易吃透中學(xué)的“新概念”.

隨著小學(xué)進(jìn)入初中后數(shù)域的擴(kuò)展，小學(xué)的數(shù)學(xué)概念并不會(huì)因此而改變，而是直接沿用或完善.所以從回顧小學(xué)舊知出發(fā)，直接引入或類比遷移即可.比如，倒數(shù)的概念就是直接沿用.

比如，“分式”里很多概念就可以立足于小學(xué)的知識(shí)，抓住中學(xué)從數(shù)到式這點(diǎn)，進(jìn)行類比遷移，學(xué)生較易接受和掌握.比如，分?jǐn)?shù)與分式，最簡分?jǐn)?shù)與最簡分式，公因數(shù)與公因式，小學(xué)通分與中學(xué)通分，小學(xué)約分與中學(xué)約分，小學(xué)的質(zhì)因數(shù)分解與中學(xué)的因式分解等.

2.識(shí)別出初中部分概念間的內(nèi)在一致性，學(xué)一“漁”便可獲多“魚”.

通過類比一元一次方程可以得到二元一次方程、一元二次方程的概念;類比一元一次方程的解集的概念可以得到二元一次方程的解、一元二次方程的解，一元一次不等式的解集的概念;類比方程組的解的概念可以得到不等式組的解集的概念;類比一次函數(shù)的概念可以得到二次函數(shù)的概念;類比平方根的概念就可以更容易認(rèn)識(shí)和接受立方根的概念.反過來后者的學(xué)習(xí)又能促進(jìn)對(duì)前者的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，因此，做這樣的類比更有利于學(xué)生理解和區(qū)別概念，在對(duì)比之下，既掌握了概念，又可以減少概念的混淆和學(xué)習(xí)難度.

3.注意對(duì)同類概念適時(shí)地進(jìn)行歸一，提升學(xué)生的思維認(rèn)識(shí)高度.

當(dāng)初中的同類概念都學(xué)完時(shí)，教師要注意適時(shí)對(duì)其進(jìn)行歸納.比如，在學(xué)完平行線的距離后，就可以對(duì)初中三個(gè)有關(guān)距離的概念進(jìn)行歸納反芻，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三者的內(nèi)在一致性，并引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩個(gè)圖形的距離就是：一個(gè)圖形上的任意一點(diǎn)與另一個(gè)圖形上的任意一點(diǎn)間的距離中的最小值.這樣學(xué)生的思維認(rèn)識(shí)高度就能提升一個(gè)高度，對(duì)后續(xù)高中學(xué)習(xí)兩圓的距離也做好了充足的知識(shí)鋪墊.

（五）從學(xué)生的思維特點(diǎn)及接受能力出發(fā)，逐步螺旋上升地從表面到本質(zhì)地認(rèn)識(shí)概念

對(duì)比較抽象的概念不但要站在學(xué)生的思維高度來預(yù)估學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，還要允許足夠長的時(shí)間讓其逐步從表面到本質(zhì)地認(rèn)識(shí)概念，才有可能設(shè)計(jì)出合適的方式引導(dǎo)學(xué)生掌握概念.比如，函數(shù)的概念對(duì)學(xué)生來說是相當(dāng)抽象的，不必也沒辦法第一次就掌握，按學(xué)生的思維能力和知識(shí)學(xué)習(xí)安排可分時(shí)做不同要求.

1.在一開始學(xué)習(xí)定義時(shí)，對(duì)那么長一串定義，大部分學(xué)生是相當(dāng)迷糊的.這時(shí)只要引導(dǎo)學(xué)生能結(jié)合生活實(shí)例來初步感受滿足函數(shù)關(guān)系即可.在感受過程中，要緊扣滿足函數(shù)關(guān)系的三個(gè)要求，這樣就能在具體環(huán)境中感受抽象概念.比如，氣溫與時(shí)間的關(guān)系，在這個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量，氣溫和時(shí)間，氣溫會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化，但是時(shí)間一旦確定下來，這時(shí)就只有一個(gè)唯一的氣溫與其相對(duì)應(yīng).時(shí)間就成為自變量，氣溫就為函數(shù).教師多舉幾個(gè)例子后，鼓勵(lì)學(xué)生自己去尋找生活中的函數(shù)關(guān)系，比如，同學(xué)的身高和同學(xué)之間的關(guān)系等，并且要追問學(xué)生為什么它是函數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生說出那三點(diǎn)，這樣充分引導(dǎo)，充分操練，在充足的實(shí)例環(huán)境里感悟接受概念.再舉解析式和表格形式的函數(shù)再次解析函數(shù)關(guān)系，從而很自然地引出函數(shù)的三種表示方式的需求及便利性.

2.在后續(xù)每次具體的函數(shù)（一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)）學(xué)習(xí)時(shí)，都應(yīng)先復(fù)習(xí)函數(shù)概念，抓住之前那三點(diǎn)，再次感受這些是滿足函數(shù)關(guān)系的，而且只是函數(shù)關(guān)系中的某一類.如果每次都有再細(xì)細(xì)地回頭復(fù)習(xí)解析，那么學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解這時(shí)就開始有點(diǎn)具象了，部分學(xué)生已經(jīng)能真正掌握函數(shù)概念的內(nèi)涵了.

3.如果說對(duì)一次，反比例，二次函數(shù)這種可以用解析式具體表示的函數(shù)，學(xué)生理解其函數(shù)關(guān)系難度是不大的.但是對(duì)初三下的銳角三角函數(shù)的概念學(xué)習(xí)，如果教師沒能細(xì)細(xì)解析，絕大部分學(xué)生是很難接受這個(gè)函數(shù)關(guān)系.這個(gè)更抽象，尤其是自變量是銳角，銳角的正弦值（舉一個(gè)）是函數(shù).當(dāng)然要能認(rèn)識(shí)到其函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵還是要在前面的正弦概念學(xué)習(xí)中要真正掌握正弦的內(nèi)涵.所以概念的學(xué)習(xí)也是一環(huán)緊扣一環(huán)的，相互影響制約，相互促進(jìn)的，到銳角三角函數(shù)學(xué)完后，學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)就螺旋上升到一定的高度了，這時(shí)學(xué)生會(huì)更深刻地看到函數(shù)的本質(zhì)，到一定的高度，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的喜悅感便會(huì)自然滋生，這對(duì)培養(yǎng)尖子生的素養(yǎng)是很重要的.

結(jié)合上面的分析，我們能充分感受到數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要性，其過程絕不只是停留在表層上的函數(shù)概念學(xué)習(xí)，內(nèi)在蘊(yùn)含著非常豐富的數(shù)學(xué)思想方法寶藏.教師只要用心去思考，雕琢數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，學(xué)生不僅解題是水到渠成的事情，而且還滋養(yǎng)了很多數(shù)學(xué)素養(yǎng)，事半功倍.雖然對(duì)初中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，沒有固定的模式，好的概念教學(xué)課也沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn).但是，在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)最重要的就是站在學(xué)生的思維角度和高度，讓學(xué)生能盡可能地看到新概念的引入是自然的，甚至是不可避免的.并且盡可能地發(fā)揮學(xué)生的主體性，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探求，主動(dòng)內(nèi)化概念才能非形式化地理解并掌握所學(xué)到的東西.這樣的概念教學(xué)才是有效的，對(duì)學(xué)生才具有積極的長遠(yuǎn)意義.

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]吳亞萍.中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課型研究[J].福州：福建教育出版社，2014.

[3]章建躍.章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄[J].杭州：浙江教育出版社，2017.