數(shù)學表示：從“知識放逐”到“知識回歸”

瞿芬

[摘 要]“數(shù)學表示”是指學習者利用文字、符號、圖示等形式，將自己對數(shù)學概念的理解、問題解決的策略、結論的剖析呈現(xiàn)出來的一種學習媒介。因對“數(shù)學表示”本質認識的不足，諸多問題盤延而生。以翔實的課例為載體，圍繞“數(shù)學表示”的四個類型展開論述，提出相應的應用思路，進一步闡明了“數(shù)學表示”在小學階段學生新知學習中的重要作用。

[關鍵詞]數(shù)學表示;知識;破題

現(xiàn)代數(shù)學內容的抽象性和嚴謹性讓教師簡單地將學生的學習任務定位于單線制的模仿和復制，最后形成學生強于計算、論證，卻不善于表示的尷尬局面。從某種程度來說，這是邏輯思維和概括能力退化的表現(xiàn)。高度抽象的數(shù)學知識對于小學生而言猶如撒落在地的珍珠，亟須一根堅韌的“細繩”，將它們進行串聯(lián)。這樣的教學趨勢就需要教師從數(shù)學學科本位角度著手，利用合理、合情的方法將數(shù)學的理論知識進行轉化，通過適當?shù)膶W習媒介，幫助學生立足生活現(xiàn)實進行建模，明晰弊端和差異，提升數(shù)學素養(yǎng)。

一、“數(shù)學表示”的現(xiàn)實描述

在數(shù)學教育不斷發(fā)展的當下，利用“數(shù)學表示”為學習媒介正以其特有的可操作性及相對的運用價值，得到一線教師極力推崇。2011年版課程標準中更是在一些核心概念中滲透了“數(shù)學表示”的作用及意義。何為數(shù)學表示？“數(shù)學表示”是指學習者利用文字、符號、圖示等形式，將自己對數(shù)學概念的理解、問題解決的策略、結論的剖析呈現(xiàn)出來，它是思維過程外顯、暴露的一種學習方式，是一種學習媒介，也是一個數(shù)學化的過程。一般而言，“數(shù)學表示”分實物表示、語言表示、符號表示和圖式表示四類。但在教學實踐中因教師對“數(shù)學表示”認識的不足，從而淡化了其運用價值。

（一）信息干擾的實物表示

實物表示是“數(shù)學表示”中最為常見的一種，一般在概念教學中，為了讓學生能深層次地理解數(shù)學概念的深意，教師會提供一些物理客體，借用直觀材料，讓學生通過實物的對比、分析，掌握新知。但一些直觀的材料在呈現(xiàn)的過程中，往往伴隨著大量的無關信息，容易讓學生受到眾多非本質屬性的干擾，難以發(fā)現(xiàn)本質共性。

（二）趨于形式化的語言表示

數(shù)學語言的發(fā)展是一個循序漸進、不斷變化的過程，它從簡單、物化的自然語言為起點，經過規(guī)范的引導，內化為學生的自我語言，最后演變成外顯的數(shù)學語言表示，但因學生的自身差異，會有不同程度的偏差。一些教師把數(shù)學語言表示定位為簡單的語言重復，學生只能在對數(shù)學知識一知半解的情況下，死記硬背一些概念注解，使數(shù)學語言表示趨于形式化，難于構建自己的數(shù)學理解。

（三）過于強調標準的符號表示

為了揭示數(shù)學的本質，在解決一些數(shù)學問題時，教師都習慣讓學生通過一些數(shù)學符號，將具體形象的數(shù)學問題加于概括和抽象，從而提煉其問題的實質。但又因教師對于數(shù)學符號表示標準的局限，限制了學生思維，縮小了概念的外延描述，從而導致學生對于常見的非本質屬性的認識也產生了困惑。

（四）片面精細化的圖式表示

在認識和理解數(shù)學問題時，教師往往喜歡讓學生借用直觀、簡約的數(shù)學圖式表示，以降低學生數(shù)學思考的難度，讓學生在概括中尋找數(shù)學表征，凸顯問題的實質，進而幫助學生厘清數(shù)學思考的路徑，拓寬問題解決的途徑，實現(xiàn)問題解決策略的優(yōu)化。但在實際的教學中，教師的圖式表示往往過于精細化，而沖淡了問題解決的本意。

二 、“數(shù)學表示” 的應用思路

（一）求同與求通：突出本質，回歸知識本源

小學生雖具有一定的抽象思維能力，但面對以空間形式、數(shù)量關系為研究主題的數(shù)學學習時，還是需要一些具象物體為中介物。因而，在教學中，教師選擇適當?shù)臄?shù)學表示方式，讓學生參與數(shù)學抽象的過程，發(fā)現(xiàn)數(shù)學思維的方法，能讓學生在學習的過程中經歷“求同”到“求通”的過程，突出學科本質，實現(xiàn)問題形式化表達、方法模式化建構的價值體現(xiàn)，回歸知識本源。

1.借用數(shù)學符號表示，暴露數(shù)學思維過程

抽象的“數(shù)學表示”有著不同的層次界定，一般而言，符號的替代是問題解決的初始階段，它是學生將形象的表征特點概縮化的集中表現(xiàn)，凸顯了問題的共性，特別是在低年級的教學中最為常見。

【案例1】人教版教材二年級上冊“乘法的初步認識”。

師：學校準備給每個學生發(fā)2本書，有4個學生，學校要準備多少本書？

生1：要準備8本書。2+2+2+2=8（本）。

師：如果全班45個學生，有幾個4相加？你會列式嗎？

生2：45個2相加。

師：那你們寫一下吧！

生3：2+2+2+…+2，我寫得好累，好麻煩！

師：對！確實有點麻煩，有沒有更簡單的表示方法呢？

生4：可在2和45中間添上一個符號，寫成2△45或45△2。

生5：還可以在2和45中間加一個☆，寫成45☆2。

師：你們所說的“△、○、☆、*”也可以用 “×”表示。

師：這個符號就是乘號。仔細看這個符號，像什么？

生6：像字母“X”。

生7：我覺得它像“+”旋轉得到的。

師：2+2+2+2+2表示5個2相加，為了便于書寫和記憶，可以用一種特殊的符號“×”表示，寫成2×5。

評析：在本課例中，用“2× 45”來替代“45個2相加”這一煩瑣的加法算式，不僅使學生體會到了“符號表示”代替文字描述的簡潔性，而且能讓學生在符號呈現(xiàn)的過程中暴露出數(shù)學思維過程，從而得到啟發(fā)，形成問題解決的簡易模型。

2.利用數(shù)學圖式表示，強化數(shù)學思維體驗

小學生因為思維缺乏足夠的表象支撐，再加上教材篇幅的限制——只利用一兩道例題得出的結論引導學生學習，學生很難真正理解知識。因此，以教材例題資源為基礎，教會學生抽象的數(shù)學表示方式，在各種圖式表示的概括、比較中強化學生的數(shù)學思維體驗，是加深學生對數(shù)學本質的理解的主要方法。

【案例2】人教版教材二年級上冊“問題解決”。

出示例題：1.教室里每排有5張桌子，一共4排，問一共有多少張桌子？2.教室里有兩排桌子，一排5張，另一排4張，一共有多少張桌子？

師：你知道了些什么？

生1：對于第1題，我知道了有4排桌子，每排5張;對于第2題，我知道有兩排桌子，一排4張，另一排5張，兩道題都是求一共有幾張桌子。

師：你會解決嗎？能用你喜歡的方式把你的想法表達出來嗎？請動筆試一試。

學生作品

師：說說你們的想法。

生1：第1題因為每排有5張桌子，有這樣的4排，所以我畫了5顆五角星表示每排的5張桌子，然后畫了4排，就表示4個5。列式：5×4=20。第2題已經告訴一共有兩排，一排5張，另一排4張，求一共多少張就是把兩部分合起來用加法計算。

生2：“ 5×4”表示4個5相加，所以要一層層疊起來;“5+4”表示把兩部分合起來，求總數(shù)，所以就將兩部分合成一部分。

評析：低年級學生分析能力弱，對于一些簡單的加法應用題和乘法應用題，往往會出現(xiàn)顛倒運算的現(xiàn)象。為避免這樣的現(xiàn)象，教師可以嘗試利用圖式表示方法引導學生將抽象的概念轉化具體表象。在本案例中，教師為了給學生提供一個抽象建模的具象支架，創(chuàng)設利用畫或寫理解題意的活動情境，讓學生以整體觀念形成圖式支撐，通過畫圖、講述、比較，在自然辨識的基礎上感受用加法和乘法解決問題的區(qū)別。從圖式來看，生1呈現(xiàn)的是一種結論的驗證，而生2呈現(xiàn)的是解決數(shù)學問題的整個思維過程，更具科學性。這樣一來，最大限度地提高了學生的審題意識。

（二）勾連與突破：跨越認知，促數(shù)學技能形成

數(shù)學知識的運用是一個抽象到具體顯現(xiàn)的表示過程，為了體現(xiàn)數(shù)學知識固有的活動感及問題性，我們調和“知識儲備”與“方法強調”兩者之間的矛盾，創(chuàng)設抽象到具體的數(shù)學表示方法，教會學生解決問題的方法，促進學生跨越認知的局限，勾連知識點，突破教學的重難點，使學生的數(shù)學方法真正累加、數(shù)學技能有效形成。

1.運用數(shù)學語言表示，銜接數(shù)學思維方法

以豐富的個性概括數(shù)學本質的共性，對于小學生而言并不是易事，因為這個過程是學生數(shù)學內涵掌握、知識應用的一個完整過程，必須包含將實際獲得的發(fā)現(xiàn)過程還原為語言表達的思維過程;將邏輯演繹、推理猜想過程還原為語言表達的兩個維度目標?？梢?，數(shù)學語言表示有著重要的作用與意義。

【案例3】人教版教材一年級上冊“6～9的認識”。

師（課件出示實物圖片：課本第15、16頁）：你們能數(shù)出這些事物的數(shù)量，并根據(jù)數(shù)量說一句話嗎？

生1：我知道，8個葫蘆。

生2：還有6個哨子。

生3：我找到9個勺子。

生4：還有7把小刀。

師：這個6表示什么？ （6個哨子）我們在什么地方還能用到6？誰能用6說一句話？

生5：我有6個好朋友。

生6：我有6本課外書。

生7：我們組有6張桌子。

評析：在這個案例中，教師以問題情境為導向，先讓學生把發(fā)現(xiàn)的、看到的東西的數(shù)量分別都用具體的數(shù)字說出來，充分感受數(shù)“6”的意義;接著為了讓學生進一步體會數(shù)學語言表示的作用，借用“我們在什么地方還能用到6？誰能用6說一句話？”這些問題，讓學生呈現(xiàn)自己的思維過程，初步建立數(shù)感。這種學習方式，不是簡單地形象化表述，而是適當?shù)膯栴}延伸及等待延時的開始，因為，這樣的學習過程能讓學生的思維不斷得以拓展，真正做到對數(shù)學知識內涵的合理掌握。

2. 巧用數(shù)學實物表示，突破數(shù)學思維局限

當前的數(shù)學課堂教學與數(shù)學的本質是有所偏差的，一些學習缺失研究過程完整地呈現(xiàn)，不能讓學生對知識的本質有清晰的認識。這時，就需要為學生提供揭示知識本質的時機和方式，激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，促進學生數(shù)學思維的進一步發(fā)展。

【案例4】人教版教材五年級下冊活動課“長方體和正方體的展開和折疊”。

師：正方體展開后會得到什么形狀的圖形？

學生動手操作，初步探究。展開要求：

①沿棱展開。

②邊展邊想，相對的面跑哪里去了？

③全部展開后，將展開的圖形記錄在作業(yè)紙上。

④想一想還有沒有其他不同的展開方式。

各小組的成果

師：像這樣由立體圖形展開得到的平面圖形叫作長方體和正方體的展開圖。 觀察展開圖，有什么特點？

生：相對的面的位置隔了一個面，展開圖不唯一，有四個面連在一起的，也有三個面連在一起的。

評析：在這個環(huán)節(jié)中，教師巧妙設計，利用玩具磁力片來代替常用的盒子，先讓學生經歷實物的動手操作過程，尋找知識的切合點，促使學生對原有的知識有一個連貫、互動的運用，避免了“一四一型”的思維定式;再讓學生進行任意的展開和折疊，進而積累操作經驗。

總之，教與學是一個不重復、多元化、不斷變化發(fā)展的過程。在這一過程中，“數(shù)學表示”引領我們從一個新的視角展開教學。為促進學生數(shù)學知識的自然生成和運用，每位教師需理性地審視自己的課堂，學會合理運用“數(shù)學表示”，準確把握學生發(fā)展的轉折點，，有效建構模型，將“放逐”的知識回歸，實現(xiàn)教學資源的高效利用。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 張奠宙，過伯祥.數(shù)學方法論稿[M].上海：上海教育出版社，1996.

[2] D.A.勞格斯.數(shù)學教與學研究手冊[M].上海：上海教育出版社，1999.

[3] 劉加霞.數(shù)學表示對小學生數(shù)學學習的價值分析：兼評華應龍老師執(zhí)教的“指尖上的數(shù)學”一課[J].小學教學（數(shù)學），2015（1）：13-15.

（責編 黃春香）