數(shù)學(xué)推理：學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式

儲(chǔ)文亞

摘 ?要：推理是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的基本方式。從推理形式上來(lái)看，推理主要包括合情推理和演繹推理，合情推理主要包括不完全歸納推理和類比推理。在教學(xué)中，教師要為學(xué)生提供推理素材，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理活動(dòng)，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)特質(zhì)以及學(xué)生具體學(xué)情進(jìn)行推理教學(xué)，將推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)推理;學(xué)習(xí)方式

推理是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不開(kāi)推理。東北師范大學(xué)史寧中教授曾經(jīng)這樣說(shuō)過(guò)：“學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要就是抽象、推理和建模?！笨梢?jiàn)，推理是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的基本方式。從推理形式上看，推理主要包括合情推理和演繹推理，合情推理主要包括不完全歸納推理和類比推理。在教學(xué)中，教師要為學(xué)生提供推理素材，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理活動(dòng)，讓學(xué)生清晰地表達(dá)推理內(nèi)容。通過(guò)推理，將學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)引向深入。

■一、歸納性推理，發(fā)展學(xué)生合情猜想力

著名數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)：“數(shù)學(xué)，既要教證明，又要教猜想?！睌?shù)學(xué)猜想，是建立在對(duì)數(shù)學(xué)客觀事實(shí)、現(xiàn)有理論的基礎(chǔ)之上的。歸納推理，就是學(xué)生依據(jù)全部、部分的事實(shí)，做出的完全或不完全的推理。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要警惕一些形式化、空洞化、表面化、虛假性的歸納推理。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有一連串的形式化定理、定義、法則、公式等，其發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)過(guò)程，很多都是運(yùn)用歸納推理。但是教材中的歸納偏重于完成的形式。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷歸納的過(guò)程。通過(guò)歸納過(guò)程的經(jīng)歷，促進(jìn)學(xué)生合情推理的發(fā)展。

教學(xué)《三角形的三邊關(guān)系》，許多教師都是直接提供結(jié)構(gòu)性的素材，引導(dǎo)學(xué)生圍三角形，根據(jù)圍的結(jié)果，揭示出“圍成的三角形的三條邊之間的關(guān)系”。如此，學(xué)生也能理解“圍成三角形的三條線段的關(guān)系”，也能夠判斷三根小棒能否圍成三角形。但是，這樣的教學(xué)是一種“結(jié)果性的教學(xué)”，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展。立足于三角形的形成過(guò)程，教師可以引導(dǎo)學(xué)生一邊猜測(cè)、一邊推理，不僅能促進(jìn)學(xué)生的理解，更能深化學(xué)生的認(rèn)知。比如筆者在教學(xué)中，首先提出了這樣的一個(gè)問(wèn)題：是否任意三條線段都可以圍成三角形？對(duì)于這一問(wèn)題，學(xué)生的回答是清一色的“能”，因?yàn)樗麄儧](méi)有對(duì)圍成三角形的三條線段之間的關(guān)系做出思考。為此，筆者給學(xué)生提供一根線段，讓學(xué)生將這樣一根線段任意分成三份，結(jié)果讓所有學(xué)生詫異的是“不能圍成三角形”。有了實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，學(xué)生就會(huì)展開(kāi)深度思考：怎樣的三根小棒能圍成三角形呢？為什么將一根線段任意分成三根，就不能圍成三角形呢？圍成三角形的三根小棒之間有著怎樣的關(guān)系？如此，學(xué)生會(huì)根據(jù)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，將任意三根線段的關(guān)系分為三類：一是任意兩根線段的和大于第三根線段;二是任意兩根線段的和等于第三根線段;三是任意兩根線段的和小于第三根線段。根據(jù)分類，學(xué)生分別展開(kāi)不完全歸納的實(shí)驗(yàn)探究，最后將三種情況完全歸納出“圍成三角形的充要條件”。

歸納推理，是小學(xué)數(shù)學(xué)推理的重要組成部分。在歸納的過(guò)程中，學(xué)生需要運(yùn)用正例、反例、變式等多個(gè)例證方法，經(jīng)由歸納推理的過(guò)程，獲得對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論的真正理解。在歸納的過(guò)程中，教師要有意識(shí)地發(fā)展學(xué)生的合情猜想能力，充分體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的主動(dòng)性、聚焦性、積極性等。

■二、類比性推理，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)遷移力

類比，是數(shù)學(xué)合情推理的又一種推理形式。所謂“類比”，是指“根據(jù)兩類或兩類以上對(duì)象的部分相同屬性，進(jìn)而推想出它們的其他屬性也相同的推理”。類比推理，能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)聯(lián)想、遷移能力。在通常情況下，類比能讓學(xué)生形成對(duì)一類數(shù)學(xué)定義、定理等的相同屬性、內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)知。正如著名數(shù)學(xué)教育家波利亞所認(rèn)為的那樣，“類比是提出新命題、獲得新發(fā)現(xiàn)的取之不竭的源泉”。波利亞認(rèn)為，“在一切發(fā)現(xiàn)中，類比作用最大”。

對(duì)于學(xué)生的類比，教師要引導(dǎo)學(xué)生反思、比較，要讓學(xué)生說(shuō)出類比的原因，說(shuō)出類比的依據(jù)。如此，學(xué)生的類比就會(huì)“比之有向（方向）”“比之有序（順序）”“比之有理（道理）”“比之有創(chuàng)（創(chuàng)造）”。比如教學(xué)《小數(shù)的加減法》，有學(xué)生根據(jù)“整數(shù)加減法的法則”，類比出“小數(shù)加減法的法則”，即“末位對(duì)齊”。顯然，學(xué)生的類比只是“形式化的類比”。對(duì)此，教師不必苛責(zé)學(xué)生，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深度思考：末位對(duì)齊，就是什么對(duì)齊？數(shù)位對(duì)齊，本質(zhì)上就是什么相同？通過(guò)對(duì)類比的根據(jù)、類比的形式、類比的內(nèi)容的深度反思，學(xué)生能認(rèn)識(shí)到類比的可靠性、科學(xué)性等。如在《小數(shù)的加減法》教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到“末位對(duì)齊”就是“數(shù)位對(duì)齊”，“數(shù)位對(duì)齊”本質(zhì)上就是“計(jì)數(shù)單位相同”之后，就會(huì)重新進(jìn)行類比：整數(shù)加減法要末位對(duì)齊，小數(shù)加減法要小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。因?yàn)橹挥羞@樣，才能讓計(jì)數(shù)單位相同。通過(guò)反思，學(xué)生從“形式性類比”走向了“實(shí)質(zhì)性類比”。實(shí)質(zhì)性類比，有助于認(rèn)識(shí)、把握類比的本質(zhì)。

類比推理，是一種由此及彼的推理、由此及彼的聯(lián)想。如果說(shuō)，歸納是由特殊到一般，那么，類比推理就是由特殊到特殊。作為教師，要主動(dòng)為學(xué)生提供類比素材，提供類比線索，讓學(xué)生能主動(dòng)進(jìn)行類比聯(lián)想、類比猜測(cè)，從而培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、觸類旁通的能力。

■三、演繹性推理：發(fā)展學(xué)生的邏輯思維力

歸納推理、類比推理是一種合情推理，演繹推理是一種邏輯推理。因此，從根本上說(shuō)，演繹推理有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。演繹推理，又稱為論證推理，它的思維過(guò)程是從一般到特殊，是按照邏輯法則進(jìn)行的論證，比如三段論的邏輯等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生把握推理的條件、結(jié)論，并進(jìn)行從條件到結(jié)論的推理想象，以便建構(gòu)推理的思路、明晰推理的方向、知曉推理的前提等。

比如教學(xué)《長(zhǎng)方形和正方形的面積》，教師就要將實(shí)驗(yàn)推理與演繹推理相結(jié)合。如在“長(zhǎng)方形的面積”學(xué)習(xí)過(guò)程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作。每行的小正方形的個(gè)數(shù)就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，一共的行數(shù)就是長(zhǎng)方形的寬，一共的小正方形的面積單位的個(gè)數(shù)就是長(zhǎng)方形的面積。因?yàn)?，一共的小正方形面積單位的個(gè)數(shù)等于每行的小正方形面積單位的個(gè)數(shù)乘行數(shù)，所以長(zhǎng)方形的面積就是長(zhǎng)乘寬，就具有實(shí)驗(yàn)推理的特質(zhì)。如果說(shuō)，長(zhǎng)方形的面積是實(shí)驗(yàn)推理，那么，正方形的面積就是演繹推理。因?yàn)椋L(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，正方形是長(zhǎng)和寬相等的特殊的長(zhǎng)方形，所以正方形的面積就是邊長(zhǎng)乘邊長(zhǎng)。這樣的推理，就是從一般到特殊的演繹性推理。課件，演繹性推理是從一個(gè)上位概念、定律、公式等到下位概念、定律、公式等的過(guò)程。當(dāng)然，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的演繹推理可能還不是那么嚴(yán)密。對(duì)此，我們應(yīng)當(dāng)逐步引導(dǎo)學(xué)生，而不是對(duì)學(xué)生吹毛求疵，而應(yīng)當(dāng)對(duì)學(xué)生適當(dāng)?shù)匕?。有時(shí)候，“不嚴(yán)格的清楚”比“嚴(yán)格的不清楚”更好。教學(xué)中，要讓學(xué)生“說(shuō)數(shù)理”“說(shuō)算理”“說(shuō)事理”等，進(jìn)而逐步培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力。演繹推理，不僅有助于發(fā)展學(xué)生的推理技能，而且有助于豐富學(xué)生的推理經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化學(xué)生的推理品質(zhì)。

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)推理，應(yīng)當(dāng)從合情推理逐漸過(guò)渡到演繹推理。一般而言，在小學(xué)低年級(jí)學(xué)段，應(yīng)當(dāng)以合情推理為主。中年級(jí)學(xué)段，應(yīng)當(dāng)讓合情推理與演繹推理相融合，而到了高年級(jí)學(xué)段，應(yīng)當(dāng)逐步過(guò)渡到演繹推理。在教學(xué)中，教師要根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)特質(zhì)以及學(xué)生具體學(xué)情進(jìn)行推理教學(xué)，將推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。