核心素養(yǎng)背景下數(shù)學(xué)抽象教學(xué)的新思考

孫艷艷

[摘 ?要] 高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容與生活有著密切的聯(lián)系，高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，必然存在一個(gè)從生活到數(shù)學(xué)的過程，這樣的一個(gè)過程就是數(shù)學(xué)抽象的過程.站在教學(xué)的角度，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)抽象的價(jià)值與意義，尋找數(shù)學(xué)抽象的有效途徑，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的關(guān)鍵之舉. 數(shù)學(xué)抽象與一般抽象不同之處在于，其是以數(shù)和形的視角去觀察事物的，其抽象的依據(jù)也是數(shù)與形. 在核心素養(yǎng)的背景下，去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，離不開以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：一是創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，給學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象提供契機(jī);二是體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象過程，讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象能力;三是回顧數(shù)學(xué)抽象過程，將數(shù)學(xué)抽象能力進(jìn)一步上升為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)抽象

抽象是高中數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，當(dāng)用“數(shù)”與“形”概括數(shù)學(xué)學(xué)科的特質(zhì)時(shí)，就已經(jīng)意味著數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，但同時(shí)應(yīng)當(dāng)注意到的是，高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容與生活又有著密切的聯(lián)系，高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，必然存在一個(gè)從生活到數(shù)學(xué)的過程，這樣的一個(gè)過程就是數(shù)學(xué)抽象的過程. 很多時(shí)候，數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力也就存在于這樣的一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過程當(dāng)中. 正是注意到數(shù)學(xué)學(xué)科的這一特質(zhì)，有人才高度概括了數(shù)學(xué)特征，認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象體現(xiàn)了人類的活動(dòng). 站在教學(xué)的角度，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)抽象的價(jià)值與意義，尋找數(shù)學(xué)抽象的有效途徑，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的關(guān)鍵之舉. 而在核心素養(yǎng)的背景下，筆者注意到高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中，數(shù)學(xué)抽象是一個(gè)重要的因素，而且位列六個(gè)要素之首，由此可見數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)性作用.

在核心素養(yǎng)的背景之下，思考高中數(shù)學(xué)中與數(shù)學(xué)抽象相關(guān)的教學(xué)，一個(gè)很重要的平臺(tái)就在于，教師要尋找適當(dāng)?shù)妮d體，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程，在這個(gè)過程中形成認(rèn)知與情感兩個(gè)方面的收獲，從而促進(jìn)自身對(duì)數(shù)學(xué)抽象的理解——這個(gè)理解可以是隱性的，只要能夠促進(jìn)學(xué)生有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)就行. 從核心素養(yǎng)培育的角度來看，這其實(shí)也是一種關(guān)鍵能力，一種將生活中相關(guān)的素材進(jìn)行抽象，只留下與問題解決相關(guān)的要素，并且能夠用數(shù)學(xué)語言來進(jìn)行描述的能力.

■傳統(tǒng)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的基本意義

在核心素養(yǎng)背景下思考數(shù)學(xué)抽象，不能完全脫離于已有的教學(xué)傳統(tǒng). 事實(shí)上作為數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一個(gè)具有持續(xù)生命力的熱點(diǎn)，數(shù)學(xué)抽象歷來受到數(shù)學(xué)教師的重視. 因此在核心素養(yǎng)的背景下理解數(shù)學(xué)抽象，是不能脫離傳統(tǒng)教學(xué)背景中數(shù)學(xué)抽象基本意義的理解的.

數(shù)學(xué)抽象是抽象的下位概念.抽象是從眾多的事物中抽取出共同的、本質(zhì)性的特征，而舍棄其非本質(zhì)特征的思維過程. 數(shù)學(xué)抽象是一種特殊的抽象，其特殊性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)抽象的對(duì)象是“空間形式和數(shù)量關(guān)系”，現(xiàn)實(shí)世界中的“空間形式和數(shù)量關(guān)系”與思維想象中的“空間形式和數(shù)量關(guān)系”都是數(shù)學(xué)研究的范疇，因此數(shù)學(xué)抽象既可以是現(xiàn)實(shí)世界中的，也可以是數(shù)學(xué)思維世界中的. 由此可以看見，數(shù)學(xué)抽象與一般抽象不同之處在于，其是以數(shù)和形的視角去觀察事物的，其抽象的依據(jù)也是數(shù)與形. 這是一個(gè)非常奇妙的過程，在數(shù)學(xué)人的眼里，生活中紛繁復(fù)雜的事物，被抽象為簡(jiǎn)潔的數(shù)與形后，就是一種非常美的結(jié)果.

以圓錐曲線為例，根據(jù)一般教材的邏輯，圓錐曲線被認(rèn)為是一個(gè)平面通過不同的方式去截圓錐面的結(jié)果，這當(dāng)然可以演繹出數(shù)學(xué)的抽象美. 而如果在實(shí)際教學(xué)中，能夠結(jié)合實(shí)際的事物，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到在生活中圓錐曲線的存在，然后再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，那學(xué)生對(duì)圓錐曲線的理解就可以建立在形象的生活事物基礎(chǔ)之上，從學(xué)習(xí)心理特點(diǎn)的角度來看，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)更符合學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，更利于學(xué)生的記憶與理解.

所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)抽象的意義，是有利于學(xué)生有效地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)而形成用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問題能力的.

■核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)抽象理解

如果說傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)核心素養(yǎng)的理解，還帶有一定的功利指向，那核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)抽象，就是真正為了培養(yǎng)學(xué)生的素養(yǎng)，其理解是指向?qū)W生的社會(huì)發(fā)展與終身發(fā)展的，是學(xué)生所需要的關(guān)鍵能力的組成部分. 從學(xué)生思維加工的角度來看，數(shù)學(xué)抽象很大程度上就是培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，這里所說的符號(hào)包括數(shù)與形以及它們之間的關(guān)系. 當(dāng)學(xué)生能夠熟練地運(yùn)用符號(hào)去表征數(shù)學(xué)規(guī)律時(shí)，就可以認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)具有了較強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象能力. 進(jìn)一步研究表明，有效的數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)的基本步驟是：分離屬性與建構(gòu)模型—概括與普適化—定義與符號(hào)化—系統(tǒng)化，數(shù)學(xué)抽象必須借助“數(shù)學(xué)直觀”. 這種抽象活動(dòng)的認(rèn)知機(jī)制給數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示是：設(shè)計(jì)有針對(duì)性的抽象活動(dòng)步驟，全面而有側(cè)重點(diǎn)地開展各種抽象活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行及時(shí)的反思和總結(jié).

基于這樣的理解，筆者以為在核心素養(yǎng)的背景下，去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，離不開以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：

一是創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，給學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象提供契機(jī)

對(duì)于高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，情境的作用不言而喻. 在學(xué)習(xí)“函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)”這一內(nèi)容時(shí)，首先要學(xué)的就是函數(shù)的單調(diào)性. 從字面意義上來看，“單調(diào)性”不足以讓學(xué)生立即想到函數(shù)的某種性質(zhì)，因此就需要教師提供形象的生活素材，讓學(xué)生通過有效的思維加工，去理解函數(shù)的單調(diào)性. 常見的鮮活的素材有某個(gè)地方的氣溫隨著時(shí)間的變化圖像等. 通過這樣的素材所創(chuàng)設(shè)出來的情境，關(guān)鍵在于讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到在不同的時(shí)間段（定義域）內(nèi)，函數(shù)的變化趨勢(shì)是不一樣的，而要描述這種變化特征，就需要賦予函數(shù)一定的概念表達(dá)，這就是函數(shù)的單調(diào)性.

二是體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象過程，讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象能力

教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)給出學(xué)生一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的氣溫隨著時(shí)間的變化圖像時(shí)，如果提出恰當(dāng)?shù)膯栴}如“氣溫的變化與時(shí)間之間是一個(gè)什么樣的關(guān)系”，那絕大多數(shù)學(xué)生很快就能發(fā)現(xiàn)，這種關(guān)系并不是一種單一的關(guān)系，其需要分段討論，而這個(gè)分段的過程，實(shí)際上也就是將整個(gè)定義域進(jìn)行劃分的過程. 這樣的一個(gè)過程對(duì)于絕大多數(shù)學(xué)生而言，并不是一件困難的事情，主要的困難在于用數(shù)學(xué)語言去描述自己的發(fā)現(xiàn)，也就是“怎樣用數(shù)學(xué)語言去刻畫不同的時(shí)間段內(nèi)‘氣溫隨時(shí)間的變化而變化的特征”.這是一個(gè)在學(xué)生體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言去描述發(fā)現(xiàn)的過程，本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)抽象——將形象的事例抽象為數(shù)學(xué)語言. 經(jīng)驗(yàn)表明在這一教學(xué)環(huán)節(jié)，教師的主要任務(wù)在于鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語言去描述發(fā)現(xiàn)，然后再將學(xué)生的語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言. 只要有效地實(shí)現(xiàn)了這一轉(zhuǎn)換，那數(shù)學(xué)抽象的過程就是成功的.

三是回顧數(shù)學(xué)抽象過程，將數(shù)學(xué)抽象能力進(jìn)一步上升為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

在上述環(huán)節(jié)中，學(xué)生可以有效地經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程，但是需要注意的是，體驗(yàn)帶給學(xué)生的往往是一種理性的認(rèn)識(shí)，學(xué)生很難顯現(xiàn)的，感覺到在這樣的一個(gè)過程中，自己已經(jīng)經(jīng)歷了一個(gè)數(shù)學(xué)抽象過程，而如果長(zhǎng)此以往，并不利于學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象意識(shí). 所以很大程度上這里要設(shè)計(jì)一個(gè)讓學(xué)生進(jìn)行回顧與反思的環(huán)節(jié)，以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)抽象的價(jià)值，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)抽象的基本步驟.這是抽象能力有效上升為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

就筆者實(shí)踐過的若干案例而言，通過類似于以上的教學(xué)環(huán)節(jié)，去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，是行之有效的.

■傳統(tǒng)現(xiàn)代結(jié)合驅(qū)動(dòng)核心素養(yǎng)落地

在上面兩點(diǎn)當(dāng)中，筆者闡述了傳統(tǒng)視角下以及現(xiàn)代核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)抽象的理解與價(jià)值. 從核心素養(yǎng)落地的角度來看，以數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)為契機(jī)，推動(dòng)整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地是可行的. 而要做到這一點(diǎn)，就必須在繼承傳統(tǒng)的技術(shù)上，在核心素養(yǎng)的視角之下，對(duì)數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行理解與實(shí)踐上的創(chuàng)新.

從經(jīng)驗(yàn)的角度來看，傳統(tǒng)視角下的數(shù)學(xué)抽象理解已經(jīng)相對(duì)比較成熟，而考慮到核心素養(yǎng)已經(jīng)成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的新背景，那數(shù)學(xué)抽象很自然地就是數(shù)學(xué)教學(xué)的永恒主題. 在核心素養(yǎng)背景下思考數(shù)學(xué)抽象，有著重要的歷史意義與現(xiàn)實(shí)意義. 其具體可從理解核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)抽象概念、發(fā)掘核心素養(yǎng)背景下數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵、在數(shù)學(xué)抽象的三個(gè)階段中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力等角度來進(jìn)行.

其實(shí)從上面“函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)”這個(gè)教學(xué)案例可以發(fā)現(xiàn)，在核心素養(yǎng)的背景下去實(shí)施數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)，本質(zhì)上就是引導(dǎo)學(xué)生走入所創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境，讓學(xué)生去對(duì)教學(xué)情境中的素材進(jìn)行加工，去對(duì)教師提出的問題進(jìn)行深入理解，這樣學(xué)生就可以經(jīng)歷一個(gè)豐富的數(shù)學(xué)抽象過程，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在這樣的過程中就可以有效落地.

總體而言，數(shù)學(xué)抽象作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重視、核心素養(yǎng)的背景下亦重視的對(duì)象，其在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中必須受到高度重視，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)以數(shù)學(xué)抽象為抓手，去促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的理解與落地. 這對(duì)于當(dāng)前核心素養(yǎng)處于初步的探索階段來說，具有現(xiàn)實(shí)意義. 可以肯定地講，如果能夠在數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)落地的教學(xué)上取得突破，那整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地就是有保證的，其可以有效打開核心素養(yǎng)培育的大門.