從向量的坐標化策略談起

王洪蓮

摘要：高中數(shù)學的課堂教學中，時常需要安排一些習題課。本文從向量的坐標化策略入手，通過課程設(shè)計的過程，闡述針對初接觸高中數(shù)學的學生，設(shè)計習題課的橫向與縱向思考角度。

關(guān)鍵詞：向量坐標化策略;建系;轉(zhuǎn)化與劃歸

平面向量，作為有向線段而言，涉及到的問題主要還是幾何圖形中的線段長度、夾角大小、圖形面積等問題。所以，向量問題的解決策略之一還在于基底化向量。

整個高中知識中，與坐標相關(guān)的除了解析幾何方面，還有空間向量。這兩個方面，對于建立恰當?shù)淖鴺讼蹬c坐標運算都有一定的要求。設(shè)計一節(jié)習題課，讓學生初識坐標法，體會解決問題的幾個過程。而通過數(shù)學建模，把向量問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，求解其中的最值，又是讓學生體驗數(shù)學建模過程的一個很好的經(jīng)歷。

這節(jié)課，我決定把課堂內(nèi)容設(shè)定為：兩種策略對照----合理建系探究----常見點坐標處理----引入變量，建立數(shù)學模型----嘗試應用這樣幾個過程。

一、策略對照，引入課題

在日常教學中我多注重對學生的邏輯表達進行培訓。鼓勵他們主動到講臺上講解自己的思路。這樣的過程會讓學生在表達的過程中逐步清晰思路，同時也學習一類問題的思考方向。這次我依然準備設(shè)計兩個作業(yè)題目，其作用首先是通過作業(yè)中基底化方法解決問題，允許學生進一步思考其他方法，從而在比較中引出坐標化向量這一策略。另外，可以通過兩個策略的比較，分析每一種策略更適合哪類問題。第二個作業(yè)題一方面是完成基底化講析，更重要的是在策略分析結(jié)束之后，返回來應用新策略解題，從而進一步體會兩種策略的對比。

把向量來作為基底，基底化向量，可以計算得出結(jié)論?？紤]到向量之間互相垂直關(guān)系，引導學生聯(lián)想到直角坐標系。設(shè)計幾個設(shè)問問題：你準備怎樣建立直角坐標系？其中關(guān)鍵點的坐標分別是什么？你覺得這樣坐標化向量解決問題，需要哪些過程？

已知條件中給出的模長與夾角，以這兩個向量作為基底，比較容易進行計算。

二、觀察判斷，合理建系

在這一部分設(shè)計中，我想讓學生形成一定的常規(guī)認識，了解針對圖形特征怎樣建立直角坐標系比較合理，有助于計算。初期設(shè)計四個問題，其中包括已經(jīng)存在垂直關(guān)系，尋找垂直關(guān)系，多位置建系選擇，高頻點作為坐標原點的選擇方式。斟酌之后，發(fā)現(xiàn)引例特別適合作為垂直關(guān)系的說明，于是引例1又有了另一個作用，提示學生建系選擇在A點的原因。此間設(shè)計了余下的三個問題，實際操作過程中發(fā)現(xiàn)學生把專注力轉(zhuǎn)移到了對問題的計算中來，沖淡了對建系合理性判斷的探討。所以我在其中提出一個要求：根據(jù)已知條件分析建系方法，并且驗證自己的合理性，不需要計算最后結(jié)果。

在這個三角形中，有D和B兩個點是學生常選作原點的位置，引導學生針對這兩個點作為原點的區(qū)別進行分析。其合理性分別在于D點作為原點，則多個點都位于坐標軸上，而B作為坐標原點，則題目中所有與B相關(guān)的向量坐標與終點坐標相同。學生可以通過計算點的坐標分析其中的合理性。同時，也提示學生，觀察每一個相關(guān)點的坐標求解是否可行可以作為建系方式是否恰當?shù)囊粋€判斷依據(jù)。

這是一個相似模型，學生容易想到找中點去建立直角坐標系。但是，在求點和向量的坐標時候，又會看到幾個向量的坐標求解并不是十分方便。進而轉(zhuǎn)移到以C為坐標原點建立坐標系。因為C在題目中屬于高頻點，作為原點易于計算，這也可以作為建系的一個合理性標準。

綜上，可以得到幾個常見建系合理性判斷標準：依據(jù)已經(jīng)存在的垂直關(guān)系;尋找隱藏的垂直關(guān)系;把大多數(shù)點放在坐標軸上;把出現(xiàn)高頻點作為坐標原點。

建系及相關(guān)點的坐標解決了之后，把對引例2的坐標化在此處回歸求解。學生已經(jīng)可以對問題進行建系、寫點、求值幾個簡單過程進行分析求解。這個問題可以針對A與D作為坐標原點的異同進行分析，引發(fā)討論，拓寬學生的視野。

三、引入變量，轉(zhuǎn)化問題

在建立直角坐標系之后，仍然會有問題對學生造成困擾，比如引入什么樣的變量比較適合。

首先就是圓上點的變量引入方法。

探究小問：圓心在原點O的單位圓上一點A，點M，求的取值范圍.

在這個問題中，坐標系已經(jīng)存在，不需要建立坐標系。而點A的坐標如何設(shè)，就涉及到后面要求的問題取值范圍能否順利求解。設(shè)A（x，y），其中存在關(guān)系式，其中含有x、y兩個變量，這在后面求解取值范圍的時候是學生不很熟悉的范疇。聯(lián)想到三角函數(shù)的定義，在定義中有角的終邊與單位圓的交點表示方法（）。把要求的向量模長問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域問題就比較為學生所知了。設(shè)計這樣一個小問題，來探討引入角作為變量求解取值范圍時候的優(yōu)勢所在，讓學生在沒有學習參數(shù)方程知識的時候，對引入角變量有一個初識，這也為后面的最值求解埋下一個伏筆。

通過這個問題的求解，使學生初步體會數(shù)學建模的一般過程。

課程小結(jié)：坐標化向量策略適合于那些問題？坐標化與基底化在方法上各有哪些優(yōu)勢？

本節(jié)課學習過程中，應用了哪些數(shù)學方法？涉及到哪些思想？

關(guān)于數(shù)學習題課的設(shè)計，我有幾點反思。其一，層層遞進，讓學生夠得著，有的想。盡量避免把初等數(shù)學高深化。其二，為學生設(shè)計討論與思考的內(nèi)容，引導學生成為主體。其三，習題課注重知識點上的瞻前顧后。淺嘗輒止的安排一些即將學習到的知識，在這樣一些習題中解決掉后續(xù)問題中的某一些難點，這將會給學生很多時間進行消化，也在接受新知識的時候沒有陌生感。

高中數(shù)學的學習是一個潛移默化、螺旋遞進的過程。進行數(shù)學教學多年之后，慢慢的發(fā)現(xiàn)，課堂教學不需要很深刻的理論，而更加需要從學生的認知出發(fā)，站在學生角度共同學習探究。

參考文獻：

[1]洪麗敏.平面向量解題的兩大策略[J].數(shù)學教學研究，2011，30（12）：34-36.

[2]董成勇.高中生學習空間向量的困難和相應的教學策略[D].華東師范大學，2007.