淺談初中數(shù)學(xué)利用建系法巧解幾何題

曾鈺玲

(福建省漳州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 363000)

一、建系法

建系法作為函數(shù)的開端，也有一定的難度.不會(huì)建系，坐標(biāo)寫不清楚，中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)距離公式不會(huì)應(yīng)用等等的問(wèn)題，都會(huì)使得一部分學(xué)生對(duì)建系法望而卻步.然而仍然不能否認(rèn)建系法對(duì)解題的幫助.

因此，本文挑選一些幾何題，對(duì)比幾何法解題和建系法解題，能更直觀的理解幾何法與建系法.從而加深對(duì)建系法的理解，學(xué)會(huì)使用建系法巧解幾何題.

解題過(guò)程中可能會(huì)用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)坐標(biāo)公式，在此先作補(bǔ)充：

二、例題講解

例1如圖1，正方形ABCD與正方形CGEF的邊長(zhǎng)分別是2和3，且B，C，G三點(diǎn)在同一條直線上，M是線段AE的中點(diǎn)，連接MF，則MF=____.

解法一幾何法

對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，幾何題用幾何法解，是最直接的思路，而幾何法通常需要作輔助線，這就是幾何法的難點(diǎn)所在.

解延長(zhǎng)AD，與FM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q(如圖2)

因?yàn)镸是線段AE的中點(diǎn)，所以AM=EM

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD與CGEF都是正方形，

所以AD∥EF

所以∠AQM=∠EFM，∠MAQ=∠MEF

所以△FME≌△QMA(AAS)

所以MQ=MF

因?yàn)椤螰DQ=90°，F(xiàn)D=FC-DC=1

DQ=AQ-AD=FE-AD=1

所以△FDQ是等腰直角三角形，腰長(zhǎng)為1

解法二建系法

思路分析要求MF的長(zhǎng)，則需要M點(diǎn)坐標(biāo)和F點(diǎn)坐標(biāo)，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)易知，所以只需求M點(diǎn)坐標(biāo)即可.而M點(diǎn)是AE中點(diǎn)，所以只需知道A、E點(diǎn)坐標(biāo)即可，A、E點(diǎn)坐標(biāo)易知.(如圖3)

解以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則A(-2，2)，E(3，3)

因?yàn)镸是線段AE的中點(diǎn)，

因?yàn)镕(0，3)

所以由兩點(diǎn)距離公式得

從以上解題過(guò)程可以很直觀看出用建系法解題相對(duì)于幾何法來(lái)說(shuō)，確實(shí)簡(jiǎn)單很多，書寫上也更簡(jiǎn)潔.減少了學(xué)生最常出錯(cuò)的輔助線描述過(guò)程，減少了思考量.思路也更為直接.

建系法有時(shí)還會(huì)涉及到求函數(shù)解析式和交點(diǎn)坐標(biāo)，也是學(xué)生非常容易出錯(cuò)的難點(diǎn).

例2如圖4，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，E，F(xiàn)分別是邊CD、AD的中點(diǎn)，BE、CF交于點(diǎn)P，求AP的長(zhǎng).

解法一幾何法

解延長(zhǎng)PF，與BA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M(如圖5)

因?yàn)锳BCD是正方形，且E，F(xiàn)是中點(diǎn)

所以△BCE≌△CDF

所以∠PBC=∠FCD

因?yàn)椤螾BC+∠BEC=180°-∠BCE=90°

所以∠FCD+∠BEC=90°

所以∠EPC=90°，所以∠FPB=90°

因?yàn)镕是AD中點(diǎn)

所以△AFM≌△DFC

所以AM=DC

所以A是BM中點(diǎn)

所以PA為RT△BPM中斜邊BM上的中線

解法二建系法

思路分析則要求AP的長(zhǎng)，需要知道A點(diǎn)坐標(biāo)和P點(diǎn)坐標(biāo)，A點(diǎn)坐標(biāo)易知，則只需求P點(diǎn)坐標(biāo)即可.而P點(diǎn)是BE與CF的交點(diǎn)，則需要求出BE和CF所在直線的表達(dá)式即可.(如圖6)

解以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.C(5，0)，B(0，0)

因?yàn)镋、F是CD、AD中點(diǎn)，所以E(5，2.5)，F(xiàn)(2.5，5)

BE、CF交點(diǎn)坐標(biāo)P為(4，2)

對(duì)比幾何法與建系法會(huì)發(fā)現(xiàn)，幾何法涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，并且不同的題目會(huì)涉及到不同的知識(shí)點(diǎn)，但建系法則比較單一，即使在不同的題目?jī)?nèi)，幾個(gè)公式也可以反復(fù)用.

以上兩個(gè)例子是在正方形的背景下，而建系法絕不僅僅能用于正方形，接下來(lái)將介紹建系法在其他題型的應(yīng)用.(注：以下只展示建系解法，不再展示幾何解法)

例3如圖7，△ABE與△DBC都是等腰直角三角形，BC=2，AB=4，G、H分別是CD、AE中點(diǎn)，則GH=____.

思路分析要求GH的長(zhǎng)，需要G、H兩點(diǎn)坐標(biāo)，G、H是CD、AE中點(diǎn)，A、E、C、D坐標(biāo)易知，因此此題用建系法做非常簡(jiǎn)單.

解以B為原點(diǎn)，BE為x軸，AB為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖8)A(0，4)，E(4，0)，C(-2，0)，D(0，2)

所以G(-1，1)，H(2，2)

從解題思路及計(jì)算過(guò)程均可看出，用建系法解幾何題，難度下降.因此平時(shí)上課時(shí)，老師也可以有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生用建系法解決較難的幾何題.

總結(jié)數(shù)學(xué)本身是一門思維非常靈活的學(xué)科，如何在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，促進(jìn)發(fā)散性思維的提升，從而形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是作為一線數(shù)學(xué)教師需要不斷學(xué)習(xí)的一種能力.

對(duì)于初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，函數(shù)是一個(gè)難點(diǎn)，但是如果函數(shù)學(xué)好了，也能成為一把利劍，幫助學(xué)生提高解題能力.本文只研究了平面直角坐標(biāo)系對(duì)解決平面幾何問(wèn)題的幫助，而高中階段，空間直角坐標(biāo)系對(duì)于立體幾何的幫助也是很大的.并且，建系法不僅在解幾何題方面有幫助，在提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力方面的幫助更大.作為一線教師，平常的解題過(guò)程可以多向?qū)W生灌輸建系法，讓學(xué)生在多次練習(xí)中熟悉，并且掌握建系法，最終實(shí)現(xiàn)能用建系法解題的目的.