分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用要點(diǎn)

紀(jì)載華

(甘肅省定西市安定區(qū)福臺(tái)初級(jí)中學(xué) 743000)

一、分類討論思想對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)的意義

人們對于現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和模式結(jié)構(gòu)的研究都可以映射到數(shù)學(xué)思維上，反之，對于數(shù)學(xué)的系統(tǒng)學(xué)習(xí)和對數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練可以幫助人們在現(xiàn)實(shí)生活中獲得幫助.數(shù)學(xué)思維幫助人們從宏觀上掌握思維結(jié)構(gòu)，提供解決問題的最優(yōu)方案.人們要想做好一件事，僅僅用一個(gè)方法或者一種思維方式是不會(huì)成功的，同理，學(xué)生要想做對一道相對復(fù)雜的數(shù)學(xué)題，有時(shí)候僅僅用一種解題方式也是解不出來的.對于初中數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)難題，往往需要將問題進(jìn)行劃分，形成一個(gè)個(gè)的小問題來逐個(gè)解決.

分類討論思想從根本上講，就是一種將復(fù)雜問題分割化，對邏輯進(jìn)行劃分的思維模式.初中數(shù)學(xué)中“化零為整”的解題方式對應(yīng)的就是我們今天所討論的分類討論思想.分類討論的思維方式與解題策略可以幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納與總結(jié)，提高學(xué)生的解題能力，提高學(xué)習(xí)效率，提高學(xué)生的自信心.學(xué)生分類討論思維的養(yǎng)成還有利于對學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，實(shí)現(xiàn)新課改的目標(biāo).

二、初中數(shù)學(xué)中分類討論思想運(yùn)用的注意事項(xiàng)

在對分類討論思想進(jìn)行運(yùn)用時(shí)，首先需要明確研究對象，一道數(shù)學(xué)題中有很多對象可以進(jìn)行討論，我們只需要確定一個(gè)即可，確定討論對象后要對擬定的討論對象進(jìn)行分類，分類標(biāo)準(zhǔn)要保證一致性.在解題過程中，如果出現(xiàn)需要多次分類的情況，要注意對問題進(jìn)行分層，即通過兩分法將互相矛盾的概念進(jìn)行分層，確保分類的科學(xué)性.

三、初中數(shù)學(xué)中分類討論思想的應(yīng)用步驟

首先，學(xué)生需要仔細(xì)閱讀題目，對題目要考察的知識(shí)點(diǎn)做到心里有數(shù)，這一步是成功解題的前提；其次，學(xué)生進(jìn)行規(guī)范答題，規(guī)范答題體現(xiàn)的是學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度，端正的學(xué)習(xí)態(tài)度有利于學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展.不僅如此，答題格式不正確還會(huì)讓學(xué)生丟失一部分分值，所以要重視答題格式.最后，學(xué)生根據(jù)教師的解題思維根據(jù)知識(shí)儲(chǔ)備進(jìn)行解題.

四、初中數(shù)學(xué)中分類討論思想的應(yīng)用策略

1.分類討論與直線型習(xí)題

直線型習(xí)題中主要是對線段和三角形的分類討論，特別是對三角形高的問題的討論.

例如，已知一等腰三角形的兩邊邊長分別為3cm和6cm，求這個(gè)三角形的周長.相信這道題曾經(jīng)難倒過很多學(xué)生，絕大部分學(xué)生見到這道題第一眼時(shí)往往覺得很簡單，三兩下解決問題后一對照答案，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)了才恍然大悟，大多數(shù)學(xué)生見到題目后急于解題，而忽略了解題的第二種方案，導(dǎo)致得出的答案片面而不完整.這是學(xué)生對于分類討論思想掌握得不夠透徹的體現(xiàn)，教師一定要在教學(xué)過程中將分類討論思想慢慢滲透給學(xué)生.

在這一個(gè)問題當(dāng)中，學(xué)生往往單純認(rèn)3cm或6cm是三角形的腰長，而沒有運(yùn)用分類討論的思維，考慮到3cm和6cm都可能是腰長.在這道題公布答案以后，老師要著重向?qū)W生介紹分類討論思想并強(qiáng)調(diào)分類討論思想的重要性，給學(xué)生留下深刻的印象.

2.分類討論與圓

根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的數(shù)量關(guān)系將其劃分為： 直線與圓相離、相切、 相交這三種位置關(guān)系.這就是使用分類討論思想進(jìn)行幾何知識(shí)教學(xué)最常見的例子，通過分類討論，可以較容易的解答與圓相關(guān)的數(shù)學(xué)題.

我們已經(jīng)知道什么是相切了，即直線與圓有且僅有唯一的一個(gè)公共點(diǎn).題目說到讓圓P向斜下方移動(dòng)，那么圓P經(jīng)過移動(dòng)后，會(huì)同x軸相切，此時(shí)圓P在第一象限，這是第一種情況，大多數(shù)學(xué)生都能考慮到，但是還有第二種情況，即圓P同x軸相交后，還可以接著向斜下方移動(dòng)，移動(dòng)到第三象限時(shí)同樣會(huì)同x軸相切，以上是教師通過運(yùn)用分類討論思維對題目進(jìn)行的一個(gè)綜合分析，接下來就可以給學(xué)生講解具體的解題步驟.題干已經(jīng)給了我們坐標(biāo)和解析式，下一步應(yīng)該將坐標(biāo)代入到解析式中，這樣就得到了m的數(shù)值為2，接下來過點(diǎn)P做一條垂直于x軸的線段，設(shè)這條線段與x軸的焦點(diǎn)為D，那么線段PD的數(shù)值就是m的數(shù)值，為2.將原點(diǎn)O，圓心P以及垂足D相連，我們得到的是一個(gè)直角三角形，根據(jù)勾股定理，可以得出線段OP的數(shù)值，角POD為30度，根據(jù)這些信息，可以依次算出兩種情況下的答案，即2秒或者6秒.由于本文并非為習(xí)題參考答案且篇幅有限，具體解題步驟就不再一一贅述.

在解決初中數(shù)學(xué)中的幾何問題時(shí)，教師還可以在分類討論的基礎(chǔ)上，疊加數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式來進(jìn)行教學(xué)，這樣就可以將抽象的數(shù)學(xué)理論具象化，增加學(xué)生對知識(shí)的理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

3.角的分類討論

角的計(jì)算問題與線段的計(jì)算方式類似，角的計(jì)算會(huì)涉及到射線的位置，而射線的位置具有不確定性，即射線既可以在角的內(nèi)部也可能在角的外部，既可以在一條邊的上面也可以在下面；角的旋轉(zhuǎn)方向同樣具有不確定性，既可以沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)也可以沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).因此對于角的計(jì)算，要充分使用分類討論思想.對于沒有圖的題目，要利用好已知條件并找出關(guān)鍵點(diǎn)，學(xué)生也可以根據(jù)題目自己畫出圖，在解題過程中，要先復(fù)制圖，再分情況進(jìn)行畫圖討論，使自己對于問題有更直觀的理解.

例如，已知角BOC為30度，角AOB等于三倍的角BOC，那么角AOC是多少度.

根據(jù)題干，可以將給出的已知角畫出來，在畫圖時(shí)，盡量使用直尺和量角器來保證圖的準(zhǔn)確性，根據(jù)已知條件，下一步就可以將角AOB畫出來，重點(diǎn)在于線段OA的方向是不確定的，它既可以在線段OB的上方也可以在線段OB的下方，這里就是在這道題中需要進(jìn)行分類討論的地方.

4.分類討論與絕對值

初中數(shù)學(xué)中的絕對值問題同樣包含了分類討論思想.下面我們來看一道例題.

已知m的絕對值為3，n的絕對值為2，且m大于n的值，那么求n的m次方的值.根據(jù)題目我們可以得到這樣的信息：m的值既可能是3也有可能是負(fù)3，n的值既可以是2也可以是負(fù)2，所以這道題，我們需要對m和n的值分別進(jìn)行分類討論.因?yàn)閙是大于n的，所以當(dāng)m的值為3時(shí)，n的值為2，這道題的答案為8；當(dāng)m的值為3時(shí)，n的值也可以為負(fù)2，這時(shí)這道題的答案為負(fù)8.綜上，這道題的答案為8或者負(fù)8.

分類討論的思維模式與解題策略體現(xiàn)在數(shù)學(xué)課程的各個(gè)環(huán)節(jié)與各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，是我們必須掌握的一項(xiàng)技能，學(xué)生要習(xí)慣于用這種思維來解決問題，使分類討論的思維模式變成一種本能.

綜上所述，分類討論就是要考慮一道題中每一個(gè)條件下產(chǎn)生的不同結(jié)果，要根據(jù)題目信息經(jīng)過排查后，留下符合條件的答案，舍棄不符合條件的答案，從而得出全面而正確的答案.分類討論的內(nèi)涵在于將復(fù)雜的數(shù)學(xué)題通過分類討論將其劃分為若干個(gè)局部問題來解決，也就是將復(fù)雜的問題進(jìn)行簡單化處理.教師將分類思考的理論通過數(shù)學(xué)習(xí)題傳授給學(xué)生，學(xué)生通過數(shù)學(xué)習(xí)題的練習(xí)培養(yǎng)分類討論的思維模式，最后再將這種思維模式應(yīng)用到習(xí)題練習(xí)中去，這就形成了一種良性循環(huán)，分類討論對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要意義.