AP微積分教學理念對數(shù)學分析教學改革的啟發(fā)

姚林紅 李慧生

【摘要】數(shù)學分析是高等學校數(shù)學專業(yè)的一門最核心的基礎主干課程.這門課程中有很多定理和公式的證明與應用，用傳統(tǒng)講法，既費時，又不容易讓學生理解和掌握.將AP微積分教學理念融入數(shù)學分析的教與學中，不僅可加深學生對內容的理解與掌握，同時能夠提高學生解決問題的能力和創(chuàng)新能力.

【關鍵詞】數(shù)學分析;AP微積分;教學改革

【基金項目】中北大學院級教改項目，中北大學?；穑?001-204）國家自然基金（61603351，11401541）.

數(shù)學分析[1]是高等學校數(shù)學專業(yè)的最核心的基礎主干課程之一，課程內容豐富、結構復雜、層次繁多.它不僅是數(shù)學專業(yè)學生進校后首先面臨的一門重要課程，而且也是學生學習常微分方程、復變函數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、實變函數(shù)與泛函分析等后繼數(shù)學類課程的基礎.數(shù)學分析的課程教學還直接影響到培養(yǎng)其數(shù)學思想、邏輯推理能力以及綜合數(shù)學素養(yǎng).

一、數(shù)學分析課程的現(xiàn)狀以及存在的問題

基于數(shù)學分析課程的基礎地位，在數(shù)學分析的長期教學實踐中，人們一直都在努力實現(xiàn)本課程的教學目標——“三基”，即基礎理論、基本知識、基本技能.“三基”強調在教學的過程中，基礎理論、基本知識、基本技能處于同等重要的地位.然而，實際的情況是，教師在教學內容上，側重于對定義、定理、公式的講解，片面強調知識的系統(tǒng)性，而忽視學生的基本技能的培養(yǎng).我們會發(fā)現(xiàn)，很多數(shù)學系的學生在微積分知識的應用能力上，在基本計算技能如計算極限、導數(shù)、積分上往往不如對高等數(shù)學有較高要求的一些非數(shù)學專業(yè)的學生，而對知識的系統(tǒng)掌握、對基本理論的理解又讓人堪憂.于是，數(shù)學分析課程的教學實質上陷入了學生對微積分的基本理論掌握不夠、邏輯推理能力不強、基本計算能力較差的尷尬境地.

同時，隨著時代的發(fā)展和科技的進步，學科的交叉與應用越來越廣泛和深入，比如，大數(shù)據(jù)、人工智能等都需要應用型數(shù)學人才.因此，為適應當前教學改革和素質教育的需要，培養(yǎng)大批專業(yè)實踐和創(chuàng)新能力都較強的應用型數(shù)學人才[4]，對數(shù)學分析課程教學改革勢在必行.如何在數(shù)學分析課程教學中實施研究性教學，激發(fā)學生的學習興趣、培養(yǎng)學生的研究和創(chuàng)新能力，顯得尤為重要.

二、數(shù)學分析課程的改革內容

始于1955年的美國AP課程（Advanced Placement Courses），即在高中階段開設具有大學水平的課程以供學有余力的學生在高中階段就能學習大學課程.AP微積分教學重點在微積分的理解和應用，教材比較重視與實際相聯(lián)系，語言通俗易懂，使微積分變得簡單易學.AP微積分強調圖像、數(shù)值、符號及語言四個方面多角度刻畫微積分，使學生從整合的表征中獲取更多的信息.AP微積分強調微積分技能不僅代數(shù)操作，還包括解決實際問題、畫草圖、求解、作圖、估計、確定及計算等方面.AP微積分理念力圖改變傳統(tǒng)微積分以運算技巧為主的教學思想，提倡學生通過數(shù)學實驗和數(shù)學建模來體驗和理解數(shù)學知識的發(fā)生和應用過程.

將AP微積分教學理念引入數(shù)學分析的教學實踐中，首先，借助現(xiàn)代化的教學工具，在教學中將數(shù)學分析中一些抽象的難以理解的概念和分析過程（比如，極限、連續(xù)、積分等等）多角度地直觀刻畫展示，并盡可能在計算機上以動態(tài)的方式顯示給學生.對適合用多媒體技術教學的章節(jié)制作多媒體課件，配合黑板，靈活多樣地進行教學，以克服抽象、難于理解的困難.其次，在課堂教學中引導學生適當?shù)乩脭?shù)學軟件求導數(shù)、求積分等運算，并可以進行圖像繪制，增強學生的動手能力和解決實際問題的能力，同時化解求導數(shù)、求積分等數(shù)學運算的困難，使學生有更多的精力來理解數(shù)學概念和邏輯推理.最后，考慮建模思想的融入.課堂上強調數(shù)學與相鄰學科聯(lián)系的同時，加強建立數(shù)學模型的思想和訓練，增加實際應用內容，將微積分在經(jīng)濟、物理、生物、生產(chǎn)中的應用問題引入課堂，使學生學會從實際問題中抽象出數(shù)學模型，了解利用數(shù)學理論和方法去分析和解決問題的全過程，提高學生應用數(shù)學的意識和創(chuàng)新能力，使學生適應21世紀對數(shù)學人才的培養(yǎng).

舉例1 二元函數(shù)極限——沿著不同路徑趨于原點，由于平面和一維數(shù)軸的本質區(qū)別使得二元函數(shù)極限有無窮多種可能性，這讓學生學習時感到有較大的困難，課堂教學時可以通過舉例多角度理解概念，讓學生更直觀地體會二元函數(shù)極限的概念和計算方法，可以主動去體驗如何發(fā)現(xiàn)、總結數(shù)學規(guī)律，激發(fā)學生的學習興趣.例如，[2]

舉例2 積分的幾何意義——平面圖形的面積，可以采取一個數(shù)值逼近的方法，做成一個動態(tài)過程，這樣使得教學過程更加直觀，更加富有啟發(fā)性，既能讓學生對數(shù)學產(chǎn)生濃厚的興趣，又有利于學生創(chuàng)新意識的培養(yǎng).

舉例3 不定積分、級數(shù)求和的時候，在不影響教學計劃的情況下，恰當利用Matlab、Mathematica等軟件進行計算，將相應的軟件代碼介紹給學生，淡化計算技巧.

舉例4 在講解導數(shù)的應用時，可以設置開放性題目，比如，導彈的飛行規(guī)律、人口問題等等.在講到積分的應用時，可以設置通信衛(wèi)星的覆蓋面積、不規(guī)則圖形的面積等題目.在多元函數(shù)微分中，可以布置曲線的擬合、河水的污染與凈化等問題.在級數(shù)內容中，介紹斐波那契數(shù)列、藥物問題、諧波的疊加等內容[3].對這些開放性的題目，學生可以通過小組討論、試驗等方式認識問題，并要求將題目的求解過程以書面的形式提交.這樣不僅擴大了學生的知識面，培養(yǎng)了學生的動手能力、團隊合作精神和創(chuàng)新思維，而且使學生感受到原來所學的東西跟實際問題是貼近的，從而有了一種成就感.

三、總 結

通過上面所舉的幾個例子我們可以看到，引入AP微積分理念不僅顯著增強了學生利用數(shù)學分析、解決實際問題的能力，而且通過計算機軟件的應用可以將教學過程中難以理解的內容和過程（比如，極限、積分、一致收斂等等）形象化、直觀化，通過生動、形象的實例與圖形展示基本概念與理論，讓學生主動去體驗如何發(fā)現(xiàn)、總結數(shù)學規(guī)律，激發(fā)學生的學習興趣，提高學生的實驗動手能力，發(fā)展學生的創(chuàng)新能力.

我們改革的目標是，使數(shù)學分析的內容變得平實、自然、有用、有趣.要把數(shù)學分析從一個高深莫測、苦澀乏味、讓人望而生畏的舊體系中解放出來，還它樸實的本來面目，以更好地體現(xiàn)它的基本精神、基本內容.在數(shù)學分析這門課程在教學中實施研究性教學改革，以重視學生在學習中的主體地位為前提，努力培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐創(chuàng)新能力.不僅可以提高數(shù)學分析的教學質量，也為其他相關教學質量的提高奠定了良好的基礎.

【參考文獻】

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]James Stewart.Calculus：第4版[M].ITP，1999.

[3]李聲鋒，張裕生，梅紅.將數(shù)學建模思想融入《數(shù)學分析》課程教學的探索與實踐[J].赤峰學院學報（自然科學版），2011（7）：247-248.

[4]毛安民，孫欽福，張克梅，等.數(shù)學分析專業(yè)基礎課程教學改革的探索[J].曲阜師范大學學報，2018（3）：117-119.