高中數(shù)學(xué)排列組合問題中的數(shù)學(xué)思想探究

☉江蘇省吳江中學(xué) 苗春蘭

排列組合問題不涉及新的計(jì)算方法，但是對(duì)思維能力的要求較高.要想學(xué)好這部分內(nèi)容，學(xué)生需要掌握基本概念及基本原理，在日常學(xué)習(xí)中總結(jié)常見問題及相應(yīng)的方法技巧，提高學(xué)習(xí)效率.在解決排列組合問題時(shí)，首先需要看清題目要求，辨別究竟是“排列”問題還是“組合”問題，選用準(zhǔn)確的計(jì)算方法，而不是盲目套用計(jì)算公式.因此需要對(duì)高中排列組合問題的常見形式及相應(yīng)解法進(jìn)行總結(jié)，從而提高學(xué)生的求解速度與準(zhǔn)確率.

一、常見問題及原因分析

1.理論知識(shí)薄弱

排列組合包含“排列”和“組合”兩類問題，涉及的思維及計(jì)算公式存在較大差別.很多學(xué)生在審題時(shí)往往會(huì)產(chǎn)生混淆，無法正確區(qū)分問題類型，進(jìn)而導(dǎo)致計(jì)算公式的選用錯(cuò)誤，最終導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.

2.計(jì)算不當(dāng)

雖然排列組合問題重點(diǎn)考查的是學(xué)生的思維能力，計(jì)算層面并沒有涉及新的方法，但是很多學(xué)生在計(jì)算時(shí)粗心大意，經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)計(jì)算或者遺漏數(shù)據(jù)的問題，導(dǎo)致失分甚至是不得分.

3.重要條件遺漏

排列組合問題的情境較為多樣，問題形式變化較多，在求解過程中一個(gè)符號(hào)的改變有可能就會(huì)改變計(jì)算條件，使得整個(gè)計(jì)算過程偏離原有的分析思路.在審題階段如果出現(xiàn)問題，那么就很容易遺漏重要的已知信息，導(dǎo)致“排列”或是“組合”類型的判斷失誤，最終無法正確求解出問題的結(jié)果.

二、排列組合中的數(shù)學(xué)思想探析

1.分類討論

分類討論思想的核心就是根據(jù)對(duì)象某一維度的差異性進(jìn)行類別的劃分，分類的關(guān)鍵就是分類原則的確定.在解決排列組合問題時(shí)，如何準(zhǔn)確對(duì)所有可能的情況進(jìn)行分類是這一類方法的關(guān)鍵，如果類別劃分不當(dāng)，學(xué)生很容易發(fā)生重復(fù)或者遺漏數(shù)據(jù)的問題；反之，如果類別劃分合理，就會(huì)將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，既不重復(fù)，也不遺漏，準(zhǔn)確求解出最終結(jié)果.

案例1 盒子里面有8個(gè)大小完全相同的小球，其中紅色、黃色、藍(lán)色各1個(gè)，分別表示一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)，剩下5個(gè)為白色，表示不獲獎(jiǎng).現(xiàn)將這些小球平均分給4個(gè)人，試討論獲獎(jiǎng)情況.

分析：由已知條件可知，每個(gè)人會(huì)得到兩個(gè)小球，可以進(jìn)行如下分類：

（1）有一個(gè)人獲得兩個(gè)獎(jiǎng)，一個(gè)人獲得一個(gè)獎(jiǎng)，剩下的兩個(gè)人沒有獲獎(jiǎng)；

（2）有三個(gè)人分別獲得一個(gè)獎(jiǎng)，剩下的一個(gè)人不獲獎(jiǎng).

在進(jìn)行分類處理時(shí)，不考慮內(nèi)部的具體排布，因此上面的兩種類別就可以將所有情況包含其中.接下來就是針對(duì)每一種類別展開計(jì)算.

解：（1）首先是從小球的角度考慮，從三個(gè)有獎(jiǎng)的小球里面挑出兩個(gè)，放在A位置，共有=3（種）可能，B位置為剩下的一個(gè)有獎(jiǎng)小球及一個(gè)無獎(jiǎng)小球，C、D位置各兩個(gè)無差別的無獎(jiǎng)小球；接著從抽獎(jiǎng)人角度考慮，A、B位置為有獎(jiǎng)，從4個(gè)人里面選2個(gè)出來，并且結(jié)果具有差異性，因此是排列問題，即=12.剩下的兩堆無獎(jiǎng)小球無差別，不存在先后順序.因此共有=36（種）不同的獲獎(jiǎng)可能.

（2）從四個(gè)人里面挑出三個(gè)去分別獲得不同的獎(jiǎng)項(xiàng)，剩余的一個(gè)人置后考慮，不存在先后影響，因此共有（種）可能.

綜上所述，共有60種不同的獲獎(jiǎng)情況.

2.數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是一種常見的數(shù)學(xué)思想方法，在排列組合問題中也是如此，學(xué)生需要根據(jù)題目中的已知信息繪制相關(guān)圖形來輔助思維，達(dá)到準(zhǔn)確、快速解決問題的目的.

案例2假設(shè)有一平面，面上共有10個(gè)點(diǎn)，其中有4個(gè)點(diǎn)共線，除此之外不存在任何3點(diǎn)在同一直線上.試分析過其中的兩點(diǎn)作直線，一共能畫出多少條不同的直線.

分析：繪制直線的實(shí)質(zhì)就是尋找到所有不同的兩點(diǎn)組合，分析題干信息可知，這些點(diǎn)中，共線的4個(gè)點(diǎn)比較特殊，對(duì)于其他的6個(gè)點(diǎn)而言，由于不存在多點(diǎn)（大于2）共線的問題，因此彼此之間可以看成是相同的情況，只需要考慮其中一種就可以.因此，在繪制示意圖時(shí)，選擇共線的4個(gè)點(diǎn)及直線外的2個(gè)點(diǎn)進(jìn)行分析，如圖1所示.

解：采用分類的思想可以知道，所連直線共存在以下幾種情況：

（1）由共線4點(diǎn)確定的直線，易知只存在1種情況；

3.遞推

排列組合問題在解決時(shí)經(jīng)常會(huì)用到分步計(jì)數(shù)原理，進(jìn)而確定計(jì)算表達(dá)式進(jìn)行求解，這其實(shí)就是一種遞推的思想.

案例3學(xué)校教學(xué)樓門口的樓梯共有9級(jí)，假設(shè)上樓梯時(shí)最多只能一次跨3個(gè)臺(tái)階，試求解共有多少種不同的爬樓梯方法.

分析：假設(shè)走到第n個(gè)臺(tái)階共有s（n）種方法，如果第一步爬1個(gè)臺(tái)階，那么剩下的n-1個(gè)臺(tái)階共有s（n-1）種方法；如果第一步爬2個(gè)臺(tái)階，那么剩下的n-2個(gè)臺(tái)階共有s（n-2）種方法；如果第一步爬3個(gè)臺(tái)階，那么剩下的n-3個(gè)臺(tái)階共有s（n-3）種方法.易知s（n）=s（n-1）+s（n-2）+s（n-3）且滿足s（1）=1，即第一步爬1個(gè)臺(tái)階；s（2）=2，即第一步、第二步分別爬1個(gè)臺(tái)階或第一步爬2個(gè)臺(tái)階這兩種情況；s（3）=4，即每次爬1個(gè)臺(tái)階、一次性爬3個(gè)臺(tái)階、第一步1個(gè)臺(tái)階第二步2個(gè)臺(tái)階或者第一步2個(gè)臺(tái)階第二步1個(gè)臺(tái)階這四種情況.

解：由上述分析可知：

s（4）=s（3）+s（2）+s（1）=4+2+1=7；

s（5）=s（4）+s（3）+s（2）=7+4+2=13；

s（6）=s（5）+s（4）+s（3）=13+7+4=24；

s（7）=s（6）+s（5）+s（4）=24+13+7=44；

s（8）=s（7）+s（6）+s（5）=44+24+13=81；

s（9）=s（8）+s（7）+s（6）=81+44+24=149.

綜上所述，共有149種不同的方法爬上這個(gè)9級(jí)臺(tái)階.

三、結(jié)束語

實(shí)際上，學(xué)生接觸排列組合的知識(shí)并不是始于高中，早在小學(xué)時(shí)就已經(jīng)接觸過基礎(chǔ)的計(jì)數(shù)問題.到高中階段，問題情境更多樣，難度也更大.總體來說，排列組合問題比較靈活，本文列舉的只是其中的幾種思想方法，諸如對(duì)稱思想、類比思想、集合思想等也具有較強(qiáng)的適用性.在教學(xué)過程中，教師要注意兩條線共同推進(jìn)，即教材知識(shí)、方法技能的講授這一條“明線”與數(shù)學(xué)思想的融入這條“暗線”，以此培養(yǎng)學(xué)生深入思考的習(xí)慣，提升學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.

具體來說，排列組合問題對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高，問題形式靈活多樣.在解題過程中，學(xué)生常見的問題有兩個(gè)，一是判斷錯(cuò)“排列”或是“組合”問題類型，方法選用錯(cuò)誤；二是計(jì)算不仔細(xì)，出現(xiàn)“重復(fù)”或是“遺漏”.因此，在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生要對(duì)常見的問題進(jìn)行歸納總結(jié)，抽象成模型，同時(shí)要強(qiáng)化計(jì)算能力.作為教師，在教學(xué)環(huán)節(jié)需要凸顯數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生探索排列組合問題包含的數(shù)學(xué)思想，只有這樣學(xué)生才能對(duì)這一類問題產(chǎn)生更深層次的理解，進(jìn)而科學(xué)區(qū)分“排列”或是“組合”這兩種問題類型，同時(shí)也能強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)與思維能力，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.